暑假作业11 数据的分析（3个知识点+7个题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 数据的分析 【知识点1 平均数】 1.算术平均数：一般地，对于个数据，我们把 叫做这组数据的算术平均数。简称平均数。用 来表示，读作“拔”，记做 。 2.加权平均数：对于个数据，他们的权重分别是，则用 表示这组数据的加权平均数。 3.在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，...出现次（其中），那么这个数的平均数= 也叫做这个数的加权平均数。其中是这个数的权重。（权重一般用比、百分数以及出现的次数来表示。） 【知识点2 中位数和众数】 1.中位数：将一组数据按照 从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间 位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据 的平均数就是这组数据的中位数。 2.众数：一组数据中出现次数 最多 的那个数据就是这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 3.平均数、中位数和众数的综合： 优点 缺点 平均数 平均数代表平均水平，与每一个数据都有关，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数。 在计算平均数时，所有的数据都参与计算，它极易受极端值的影响。 中位数 中位数不会受到个别极端数据的影响，当一组数据中个别数据变动很大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势。 不能充分利用各数据的信息。 众数 众数考察的各个数据出现的频率，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 当各个数据重复出现的次数大致相同时，众数基本上就没有意义。 联系 平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数据 【知识点3 数据的波动情况】 1.方差的定义与计算公式： 定义：若有个数据，他们的平均数是，我们可以用这些数与平均数的差的平方，即的平均数来衡量这组数据的 波动大小。并把它叫做这组数据的方差。 计算公式：＝ 。 2.方差的意义： 方差是用来衡量一组数据的 波动大小，一组数据的方差越大，数据的波动 越大 ，一组数据的方差越小，数据波动 越小 。 3.方差的拓展：若数据的方差是： （1）数据的方差是 。 （2）数据的方差是 。 （3）数据的方差是 。 4.标准差：求方差的算术平方根即为一组数据的标准差。 5.极差：一组数据的 最大值 与 最小值 的差即为一组数据的极差。 6.用样本方差估计总体方差：就像用样本平均数估算整体平均数一样，在考察总体方差时，如果考察的总体包含很多个体时，或者考察本身具有破坏性，则在实际中常常用样本方差估算整体方差。 7.数据分析的步骤： （1）收集数据：确定样本与抽取样本的方法。 （2）制成统计表。 （3）描述数据：根据统计表画出统计图（条形图、直方图以及折线图等），使得数据分布的信息更清楚的展现出来。 （4）数据分析：根据原始数据以及各种统计图表，计算各组数据的平均数，中位数，众数以及方差等，通过分析图表以及计算结果得出结论。 两层必刷：巩固提升+能力培优 【题型1 算术平均数的计算】 1．若数据m，2，5，7，1，4，n的平均数为4，则m，n的平均数为（　　） A．7.5 B．5.5 C．2.5 D．4.5 【分析】求出m、n的和，然后求出其平均数． 【解答】解：∵m+n＝7×4﹣2﹣5﹣7﹣1﹣4＝28﹣19＝9， ∴4.5， 故选：D． 2．已知一组数据x1、x2、x3、x4的平均数是3，则数据x1﹣1、x2﹣1、x3﹣1、x4﹣1的平均数是　 　 ． 【分析】据平均数的性质知，要求x1﹣1、x2﹣1、x3﹣1、x4﹣1的平均数，只要把数x1，x2，x3，x4的和表示出即可． 【解答】解：∵x1，x2，x3，x4的平均数是3， ∴x1+x2+x3+x4＝4×3＝12， ∴x1﹣1、x2﹣1、x3﹣1、x4﹣1的平均数是： （x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1+x4﹣1）÷4 ＝（12﹣4）÷4 ＝2． 故答案为：2． 3．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数是 　 　 ． 【分析】根据x1，x2，x3，x4的平均数为5得到4个数据的关系，把这组数据做相同的变化，数据的倍数，后面的加数影响平均数． 【解答】解：∵一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数为5， ∴数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数为：55＝5×5﹣5＝20， 故答案为：20． 【题型2 加权平均数的计算】 4．博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为 　 　 分． 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【解答】解：张三最后的成绩为：94×50%+90×30%+95×20%＝93（分）， 故答案为：93． 5．对某小区20户家庭某月的节约用水情况进行分组统计，结果如表所示．这20户家庭该月节约用水量的平均数是　 　 t． 节约用水量x/t 0.5≤x＜1.5 1.5≤x＜2.5 2.5≤x＜3.5 3.5≤x＜4.5 户数 6 4 8 2 【分析】根据加权平均数的定义求解即可． 【解答】解：这20户家庭该月节约用水量的平均数是（1×6+2×4+3×8+4×2）＝2.3（t）， 故答案为：2.3． 6．学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2：3：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 　 　 ． 【分析】根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【解答】解：由题意可得，9（分）， 故答案为：（9分）． 【题型3 中位数和众数的计算】 7．在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：9.2，8.8，9.4，9.3，8.8（单位：分），则这五个有效评分的中位数与众数分别是（　　） A．9.4，8.8 B．9.2，9.2 C．9.1，8.8 D．9.2，8.8 【分析】根据中位数和众数的定义求解即可． 【解答】解：将数据从小到大排列可得：8.8，8.8，9.2，9.3，9.4， 可知中位数是9.2 8.8出现两次，次数最多，故众数是8.8， ∴这五个有效评分的中位数与众数分别是9.2，8.8， 故选：D． 8．五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（　　） A．40% B．56% C．60% D．62% 【分析】根据题意可得最大的三个数的和是6+7+7＝20，再求出这五个数据另外2个数的和的取值范围，再写出五个学生投中的次数可能的一组数即可． 【解答】解：∵中位数是6，唯一众数是7， ∴最大的三个数的和是：6+7+7＝20， ∴另外2个数的和＜10或另外2个数的和＞0， ∴五个学生投中的次数的和＜30或五个学生投中的次数的和＞20， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率60%或40%， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是56%， 故选：B． 9．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（　　） A．7 B．6 C．9 D．5 【分析】先根据中位数的定义列方程求出x的值，继而可得众数． 【解答】解：由题意知6， 解得x＝7， 所以这组数据为1，3，5，7，7，9， 则这组数据的众数为7， 故选：A． 10．学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 7 10 7 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 【分析】根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可． 【解答】解：数据排序后，第15个和第16个数据均为9， ∴中位数为9， ∵9出现的次数最多， ∴众数为9， 故选：D． 11．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【解答】解：16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16； 把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16， 则这组数据的中位数是16． 故选：C． 12．若3个正数a1，a2，a3的平均数是a，且a1＞a2＞a3，则数据a1，a2，0，a3的平均数和中位数是（　　） A．a1，a2 B． C． D． 【分析】根据平均数和中位数的定义计算即可． 【解答】解：∵3个正数a1，a2，a3的平均数是a， ∴a1+a2+a3＝3a， ∴a1，a2，0，a3的平均数为， ∵3个正数a1，a2，a3，且a1＞a2＞a3 ∴把数据a1，a2，0，a3从大到小排列为a1，a2，a3，0， ∴中位数为， 故选：B． 13．某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小/cm 38 39 40 41 42 销量/件 64 199 180 110 47 你认为商店最感兴趣的是这里数据的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；既然是对衬衫的领口大小销售情况作调查，那么应该是看适合大众的衬衫，故商店最感兴趣的是众数． 【解答】解：∵由于众数是数据中出现次数最多的数， ∴商店最感兴趣的是众数． 故选：C． 14．一次测试中，五名同学的得分分别为60，85，50，60，90，后经过校对发现，得90分的同学应得85分，校对后的五个数据与之前五个数据相比，集中趋势不变的是（　　） A．只有中位数 B．只有平均数 C．只有众数 D．中位数与众数 【分析】根据平均数、中位数和众数的定义求解即可． 【解答】解：校对前5个数据为：50，60，60，85，90， 则中位数是60，众数是60，平均数是（分）； 校对后5个数据为：50，60，60，85，85， 则中位数是60，众数为60和85，平均数是（分）； ∴集中趋势不变的只有中位数． 故选：A． 【题型4 统计量的判断】 15．一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的定义判断即可． 【解答】解：一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数；平均数、众数、方差都会发生改变； 故选：B． 16．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差定义，判断四个数据中只改变一个数据，各统计量的是否变化． 【解答】解：一组数据“12，12，28，35，■”，该数据■在30～40之间， 四个数据的和随数据■的变化而变化，所以平均数是变化的，选项A错误． 众数也变化，选项B错误． 中位数是28，不变，选项C正确． 因为平均数改变，方差随着改变，选项D错误． 故选：C． 17．数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表： 年龄（岁） 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（人） 7 18 x 10﹣x 那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　） A．平均数、方差 B．中位数、方差 C．平均数、中位数 D．众数、中位数 【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第18个数据，可得答案． 【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10﹣x＝10， 则总人数为：7+18+10＝35， 故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁， 即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 【题型5 方差的计算】 18．已知一组数据136，138，139，137，140，则该组数据的方差为 　 　 ． 【分析】先求出一组数据的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解答】解：一组数据136，138，139，137，140的平均数为： 138， 该组数据的方差为： [（136﹣138）2+（138﹣138）2+（139﹣138）2+（137﹣138）2+（140﹣138）2]＝2， 故答案为：2． 19．若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，a+2，b+2这五个数据的方差是 　 　 ． 【分析】根据每个数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即可得出答案． 【解答】解：由题意知，数据4，5，8，a+2，b+2这五个数据是将原数据分别加2所得， ∴新数据的波动幅度与原数据一致， ∴这五个数据的方差是3， 故答案为：3． 20．已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则数据x1+6，x2+6，…，xn+6的方差是 　 　 ． 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，根据方差的计算方法解答即可． 【解答】解：由题意知，原数据的平均数为 ，新数据的每一个数都加上了6，则平均数变为 6， 设原来的方差[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]＝5， 则现在的方差[（x1+66）2+（x2+66）2+…+（xn+66）2] [（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]＝5， 所以方差不变． 故答案为：5． 21．已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 【分析】利用平均数、方差的定义和性质直接求解． 【解答】解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b， ∴数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为：3×a﹣2＝3a﹣2，方差为：32×b＝9b． 故选：D． 【题型6 方差的计算】 22．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 【分析】先找出平均数小的种类，再根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：∵甲种类和乙种类开花时间最短， ∴从甲种类和乙种类进行选， ∵甲的方差大于乙的方差， ∴开花时间最短的并且最平稳的是乙种类． 故选：B． 23．甲、乙、丙、丁四名运动员进行射击训练，四人的训练成绩的平均数及方差S2如表所示，根据表中数据，要从中选出一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的是（　　） 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.3 9.3 S2 0.4 2.1 0.4 2.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】由平均数与方差的含义可得答案． 【解答】解：由表知甲、乙射击成绩的平均数相等，且大于丙、丁的平均数， ∴从甲、乙中选择一人参加竞赛， ∵甲的方差比乙小，成绩更稳定， ∴选择甲参加比赛， 故选：A． 24．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可． 【解答】解：根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定． 故选：C． 25．甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为甲，乙，方差分别为s甲2，s乙2，则甲　 　 乙，s甲2　 　 ，s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】根据图形给的数据计算平均数，再利用平均数计算方差即可． 【解答】解：（9+9+8+10+8）＝8.8． （8+8+7+9+7）＝7.8． ∵8.8＞7.8． ∴． S2甲[（9﹣8.8）2+（9﹣8.8）2+（8﹣8.8）2+（10﹣8.8）2+（8﹣8.8）2]＝0.56． S2乙[（8﹣7.8）2+（8﹣7.8）2+（7﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（7﹣7.8）2]＝0.56． ∴S2甲＝S2乙． 故答案为：＞；＝． 26．一组数据3，2，4，2，6，5，6的平均数为，方差为．再添加一个数据4，得到一组新数据，新数据平均数为，方差为，则　 　 ，　 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【分析】根据平均数及方差的计算公式可得答案． 【解答】解：一组数据3，2，4，2，6，5，6的平均数为，方差为． ，， 再添加一个数据4，得到一组新数据，新数据平均数为，方差为， ，， ，． 故答案为：＝，＞． 【题型7 统计的综合应用】 27．2024年6月是全国第23个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各随机抽取了25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：a＝　9　 ，八年级绝大多数学生的竞赛成绩为 　10　 分，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是 　七　 年级（填“七”或“八”）； （2）该校七年级有学生750人，八年级有学生1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可； （2）分别将样本中七、八年级优秀所占比例分别乘750，1000，相加即可得解． 【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分， ∴a＝9， ∵八年级A等级人数最多， ∴b＝10， 七年级更好，理由如下： 七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好． 故答案为：9，10；七； （3）， 答：七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有约1020人． 28．《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，岳池县某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 　85　 85 九（2）班 　85　 80 　100　 （1）根据图示填写表格； （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由． 【分析】（1）由条形图得出两班的成绩，根据中位数、平均数及众数分别求解可得； （2）由平均数相等得前提下，中位数高的成绩好解答可得； （3）分别计算两班成绩的方差，由方差小的成绩稳定解答． 【解答】解：（1）九（1）班5位同学的成绩为：75、80、85、85、100， ∴其中位数为85分； 九（2）班5位同学的成绩为：70、100、100、75、80， ∴九（2）班的平均数为85（分），其众数为100分， 补全表格如下： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 85 85 九（2）班 85 80 100 （2）九（1）班成绩好些， ∵两个班的平均数都相同，而九（1）班的中位数高， ∴在平均数相同的情况下，中位数高的九（1）班成绩好些． （3）九（1）班的成绩更稳定，能胜出． ∵S九（1）2[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（85﹣85）2+（100﹣85）2]＝70（分2）， S九（2）2[（70﹣85）2+（100﹣85）2+（100﹣85）2+（75﹣85）2+（80﹣85）2]＝160（分2）， ∴S九（1）2＜S九（2）2， ∴九（1）班的成绩更稳定，能胜出． 29．校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表． 甲、乙两家公司套餐得分表 1 2 3 4 5 6 7 甲公司套餐 70 85 86 88 95 96 96 乙公司套餐 80 84 86 90 90 92 94 甲、乙两家公司套餐得分统计表 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 c 根据以上信息，请回答下列问题： （1）a＝ 　88　 ，b＝ 　88　 ，c＝ 　90　 ． （2）从方差的角度看，　乙　 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”） （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得； （2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得； （3）从中位数和方差的意义进行分析即可得． 【解答】解：（1）将乙公司套餐得分相加除以7可得： 乙公司套餐平均数：， 将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数， 则b＝88， 在乙公司套餐得分中，90出现的次数最多，为2次， 则其众数为90， 故答案为：88，88，90； （2）甲公司套餐得分方差为：， 乙公司套餐得分方差为：， ∵， ∴乙公司套餐的得分较稳定； （3）∵甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好， ∴选择乙公司套餐品质较好． 30．某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①　9　 0.56 乙 8.8 9 ②　0.96　 丙 ③　8.8　 8 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s2，则s2　＜　 0.56．（填“＜”或“＞”或“＝”） 【分析】（1）分别根据中位数，方差和加权平均数的定义计算即可； （2）根据平均数和方差的意义解答即可； （3）根据方差的公式解答即可． 【解答】解：（1）甲的中位数为9； 乙的方差为[（7﹣8.8）2+3×（9﹣8.8）2+（10﹣8.8）2]＝0.96； 丙的平均数为：10×40%+8×60%＝8.8； 故答案为：9；0.96；8.8； （2）选甲更合适，理由如下： 因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适； （3）去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为， 方差s2[]0.56． 故答案为：＜． 31．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 a b c （1）填空：a＝　7.5　 ，b＝　8　 ，c＝　1.4　 ； （2）八年级的甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由； （3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由． 【分析】（1）根据中位数、众数和方差的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【解答】解：（1）把八年级10名学生的测试成绩排好顺序为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，8， 所以中位数为a7.5，众数b＝8， 方差c[2×（5﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+5×（8﹣7）2]＝1.4； 故答案为：7.5，8，1.4； （2）甲的说法不对， 理由：八年级的中位数7.5大于7.2，所以甲位于年级中下水平； （3）八年级的阅读情况较好， 理由：因为七、八年级的平均数相等，但是八年级的中位数、众数都大于七年级的，方差小于七年级的方差，所以八年级的阅读情况较好． 32．某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加法制知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图（图1）： （1）根据统计图，补充下列表格中的数据： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 ① ② 93 乙 90 87.5 ③ 填空：①＝　90　 ；②＝　91　 ；③＝　85　 ． （2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？请说明理由． 【分析】（1）根据图中数据计算即可； （2）根据甲、乙平均数、中位数、众数、方差进行分析即可． 【解答】解：（1）根据甲成绩条形统计图，可得甲的平均数为（分）， 中位数：（分）， 根据乙折线统计图，可知乙的众数：85分； （2）从平均分看，甲、乙的成绩相当； 从中位数和众数看，甲的成绩比乙高； 从方差看，甲成绩的方差比乙小，更稳定． 因此我会选择甲同学参加知识竞赛． 33．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会已在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：b＝　78.5　 ，c＝　80　 ． （2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 【分析】（1）根据七年级10名同学测试成绩求出a的值，根据中位数和众数的概念分别求出b、c的值； （2）用各年级人数乘以对应的比例，然后相加即可； （3）根据中位数、众数、平均数、方差的定义解答即可． 【解答】解：（1）将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在90≤x＜100范围内的数据有2个， 故a＝2． 中位数， 将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92， 其众数c＝80， 故答案为：78.5，80； （2）由题意得：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人； （3）可以推断出八年级学生知识竞赛成绩更好， 理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级， 说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）． 34．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕．某校组织七、八年级进行了奥运知识竞赛，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析： 【数据的收集与整理】 素材1：竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级： A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70． 素材2：八年级20名学生的竞赛成绩统计图如图所示，其中B等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82． 素材3：七年级20名学生的竞赛成绩为： 30，45，50，55，60，60，65，71，74，78，78，78，78，83，85，87，90，93，100，100． 素材4：七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如表： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 73 a 78 35% 八年级 73 81 b c 【数据的分析与应用】 （1）任务一：结合上述素材，直接写出素材4中，a＝　78　 ，b＝　80.5　 ，c＝　55%　 ； （2）任务二：结合上述竞赛成绩统计表，你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（至少写出一条理由）； （3）任务三：若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有600人（七、八年级人数相同），请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可求出a、b的值，用优秀的人数除以总人数即可得c的值； （2）根据平均数、中位数、众数和优秀率进行判断即可； （3）用样本估计总体可得结果． 【解答】解：（1）在七年级20名学生的竞赛成绩中78出现的次数最多，故众数a＝87； 把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，中位数是第10位、第11位的平均数，故中位数b80.5； 八年级的优秀率c55%， 故答案为：78，80.5，55%； （2）八年级的学生成绩更好，理由如下： 因为七八年级的平均数相同，但八年级的中位数（众数、优秀率）高于七年级，所以八年级的学生成绩更好（答案不唯一）； （3）300×35%+300×55%＝270（人）， 答：该校七八年级大约共有270人成绩优秀． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 数据的分析 【知识点1 平均数】 1.算术平均数：一般地，对于个数据，我们把 叫做这组数据的算术平均数。简称平均数。用 来表示，读作“拔”，记做 。 2.加权平均数：对于个数据，他们的权重分别是，则用 表示这组数据的加权平均数。 3.在求个数的平均数时，如果出现次，出现次，...出现次（其中），那么这个数的平均数= 也叫做这个数的加权平均数。其中是这个数的权重。（权重一般用比、百分数以及出现的次数来表示。） 【知识点2 中位数和众数】 1.中位数：将一组数据按照 从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于 中间 位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据 的平均数就是这组数据的中位数。 2.众数：一组数据中出现次数 最多 的那个数据就是这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。 3.平均数、中位数和众数的综合： 优点 缺点 平均数 平均数代表平均水平，与每一个数据都有关，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数。 在计算平均数时，所有的数据都参与计算，它极易受极端值的影响。 中位数 中位数不会受到个别极端数据的影响，当一组数据中个别数据变动很大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势。 不能充分利用各数据的信息。 众数 众数考察的各个数据出现的频率，其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 当各个数据重复出现的次数大致相同时，众数基本上就没有意义。 联系 平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数据 【知识点3 数据的波动情况】 1.方差的定义与计算公式： 定义：若有个数据，他们的平均数是，我们可以用这些数与平均数的差的平方，即的平均数来衡量这组数据的 波动大小。并把它叫做这组数据的方差。 计算公式：＝ 。 2.方差的意义： 方差是用来衡量一组数据的 波动大小，一组数据的方差越大，数据的波动 越大 ，一组数据的方差越小，数据波动 越小 。 3.方差的拓展：若数据的方差是： （1）数据的方差是 。 （2）数据的方差是 。 （3）数据的方差是 。 4.标准差：求方差的算术平方根即为一组数据的标准差。 5.极差：一组数据的 最大值 与 最小值 的差即为一组数据的极差。 6.用样本方差估计总体方差：就像用样本平均数估算整体平均数一样，在考察总体方差时，如果考察的总体包含很多个体时，或者考察本身具有破坏性，则在实际中常常用样本方差估算整体方差。 7.数据分析的步骤： （1）收集数据：确定样本与抽取样本的方法。 （2）制成统计表。 （3）描述数据：根据统计表画出统计图（条形图、直方图以及折线图等），使得数据分布的信息更清楚的展现出来。 （4）数据分析：根据原始数据以及各种统计图表，计算各组数据的平均数，中位数，众数以及方差等，通过分析图表以及计算结果得出结论。 两层必刷：巩固提升+能力培优 【题型1 算术平均数的计算】 1．若数据m，2，5，7，1，4，n的平均数为4，则m，n的平均数为（　　） A．7.5 B．5.5 C．2.5 D．4.5 2．已知一组数据x1、x2、x3、x4的平均数是3，则数据x1﹣1、x2﹣1、x3﹣1、x4﹣1的平均数是　 　 ． 3．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1﹣5，5x2﹣5，5x3﹣5，5x4﹣5的平均数是 　 　 ． 【题型2 加权平均数的计算】 4．博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为 　 　 分． 5．对某小区20户家庭某月的节约用水情况进行分组统计，结果如表所示．这20户家庭该月节约用水量的平均数是　 　 t． 节约用水量x/t 0.5≤x＜1.5 1.5≤x＜2.5 2.5≤x＜3.5 3.5≤x＜4.5 户数 6 4 8 2 6．学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2：3：2：2：1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为 　 　 ． 【题型3 中位数和众数的计算】 7．在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：9.2，8.8，9.4，9.3，8.8（单位：分），则这五个有效评分的中位数与众数分别是（　　） A．9.4，8.8 B．9.2，9.2 C．9.1，8.8 D．9.2，8.8 8．五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（　　） A．40% B．56% C．60% D．62% 9．一组数据按从小到大的顺序排列为1，3，5，x，7，9，若这组数据的中位数为6，则这组数据的众数是（　　） A．7 B．6 C．9 D．5 10．学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校八年级30名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示： 课外书数量（本） 6 7 9 12 人数 6 7 10 7 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（　　） A．8，9 B．10，9 C．7，12 D．9，9 11．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图．这组数据中，众数和中位数分别是（　　） A．16，15 B．16，15.5 C．16，16 D．17，16 12．若3个正数a1，a2，a3的平均数是a，且a1＞a2＞a3，则数据a1，a2，0，a3的平均数和中位数是（　　） A．a1，a2 B． C． D． 13．某商店销售5种领口大小分别为38，39，40，41，42（单位：cm）的衬衫，一个月内的销量如下表： 领口大小/cm 38 39 40 41 42 销量/件 64 199 180 110 47 你认为商店最感兴趣的是这里数据的（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 14．一次测试中，五名同学的得分分别为60，85，50，60，90，后经过校对发现，得90分的同学应得85分，校对后的五个数据与之前五个数据相比，集中趋势不变的是（　　） A．只有中位数 B．只有平均数 C．只有众数 D．中位数与众数 【题型4 统计量的判断】 15．一组数据中，去掉一个最高分和一个最低分，下列数据一定不发生变化的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 16．小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 17．数学组老师在统计数学文化节志愿者参与情况时得到本次志愿者年龄情况统计如表： 年龄（岁） 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（人） 7 18 x 10﹣x 那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是（　　） A．平均数、方差 B．中位数、方差 C．平均数、中位数 D．众数、中位数 【题型5 方差的计算】 18．已知一组数据136，138，139，137，140，则该组数据的方差为 　 　 ． 19．若2，3，6，a，b这五个数据的方差是3，则4，5，8，a+2，b+2这五个数据的方差是 　 　 ． 20．已知一组数据x1，x2，…，xn的方差是5，则数据x1+6，x2+6，…，xn+6的方差是 　 　 ． 21．已知五个数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，方差是b，则3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2这五个数据的平均数和方差分别是（　　） A．3a﹣2，3b﹣2 B．3a，3b﹣2 C．3a，3b D．3a﹣2，9b 【题型6 方差的计算】 22．科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最短的并且最平稳的是（　　） 种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类 平均数 2.3 2.3 2.8 3.1 方差 1.05 0.78 1.05 0.78 A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类 23．甲、乙、丙、丁四名运动员进行射击训练，四人的训练成绩的平均数及方差S2如表所示，根据表中数据，要从中选出一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择的是（　　） 甲 乙 丙 丁 9.5 9.5 9.3 9.3 S2 0.4 2.1 0.4 2.1 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 24．A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 25．甲、乙两名射击爱好者5次射击测试成绩（单位：环）的统计图如图所示．记甲、乙两人这5次测试成绩数据的平均数分别为甲，乙，方差分别为s甲2，s乙2，则甲　 　 乙，s甲2　 　 ，s乙2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 26．一组数据3，2，4，2，6，5，6的平均数为，方差为．再添加一个数据4，得到一组新数据，新数据平均数为，方差为，则　 　 ，　 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【题型7 统计的综合应用】 27．2024年6月是全国第23个“安全生产月”，某校组织七、八年级学生开展了一次应急避险逃生知识的竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各随机抽取了25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.76 a 9 1.06 八年级 8.76 8 b 1.38 （1）根据以上信息可以求出：a＝　 　 ，八年级绝大多数学生的竞赛成绩为 　 分，两个年级学生竞赛成绩更稳定的是 　 　 年级（填“七”或“八”）； （2）该校七年级有学生750人，八年级有学生1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？ 28．《朗读者》自开播以来，以其厚重的文化底蕴和感人的人文情怀，感动了数以亿计的观众，岳池县某中学开展“朗读”比赛活动，九年级（1）、（2）班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示． 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 　 　 85 九（2）班 　　 80 　 （1）根据图示填写表格； （2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好； （3）如果规定成绩较稳定班级胜出，你认为哪个班级能胜出？说明理由． 29．校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质（卫生、口味等）进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7份样品，对套餐的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表． 甲、乙两家公司套餐得分表 1 2 3 4 5 6 7 甲公司套餐 70 85 86 88 95 96 96 乙公司套餐 80 84 86 90 90 92 94 甲、乙两家公司套餐得分统计表 平均数 中位数 众数 甲公司套餐 88 b 96 乙公司套餐 a 90 c 根据以上信息，请回答下列问题： （1）a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）从方差的角度看，　 　 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”） （3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由． 30．某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分2 甲 8.8 ①　 　 0.56 乙 8.8 9 ②　 　 丙 ③　 　 8 0.96 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为s2，则s2　 　 0.56．（填“＜”或“＞”或“＝”） 31．为了解初中生的课外阅读情况，某校通过问卷调查，收集了七、八年级学生平均每周阅读时长数据，现从两个年级段分别随机抽取10名学生的平均每周阅读时长（单位：小时）进行统计： 七年级：7，6，8，7，4，7，6，10，7，8． 八年级：6，8，8，5，5，8，8，8，7，7． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7 7 7 2.2 八年级 7 a b c （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）八年级的甲同学说“我平均每周阅读7.2小时，位于年级中上水平”，你认为甲的说法对吗？请说明理由； （3）结合以上数据你认为那个年级的阅读情况较好，请说明理由． 32．某校为了从甲、乙两位同学中选拔一人去参加法制知识竞赛，举行了6次选拔赛，根据两位同学6次选拔赛的成绩，分别绘制了如下统计图（图1）： （1）根据统计图，补充下列表格中的数据： 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 ① ② 93 乙 90 87.5 ③ 填空：①＝　 　 ；②＝　 　 ；③＝　 　 ． （2）如果你是校方领导，从平均数、中位数、众数、方差的角度看，你会选择哪位同学参加知识竞赛？请说明理由． 33．2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会已在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下： 【收集数据】 七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95 八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82 【整理数据】两组数据各分数段如下表所示： 成绩 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 1 5 2 a 八年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 b 72 66.6 八年级 80 80 c 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由． 34．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕．某校组织七、八年级进行了奥运知识竞赛，并从七、八年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析： 【数据的收集与整理】 素材1：竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级： A：90≤x≤100，B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：0≤x＜70． 素材2：八年级20名学生的竞赛成绩统计图如图所示，其中B等级包含的所有数据为：80，81，81，81，82． 素材3：七年级20名学生的竞赛成绩为： 30，45，50，55，60，60，65，71，74，78，78，78，78，83，85，87，90，93，100，100． 素材4：七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计如表： 年级 平均数 众数 中位数 优秀率 七年级 73 a 78 35% 八年级 73 81 b c 【数据的分析与应用】 （1）任务一：结合上述素材，直接写出素材4中，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）任务二：结合上述竞赛成绩统计表，你认为该校七、八年级的奥运知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（至少写出一条理由）； （3）任务三：若该校七、八年级参加本次竞赛活动的共有600人（七、八年级人数相同），请估计该校七、八两个年级共有多少人成绩为优秀． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$