第17讲 函数的奇偶性（8知识点+10大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第17讲 函数的奇偶性（含周期性与对称性） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数奇偶性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 知识点2：具备奇偶性函数的对称性 如果函数是奇函数或偶函数,那么我们称函数具有奇偶性. 根据函数奇偶性的定义可知,偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 知识点3：具备奇偶性函数的定义域 易错点：具有奇偶性的函数，定义域关于原点对称 知识点4：奇函数的特性 定义在上（在原点处有定义）的奇函数，必过原点，即： 知识点5：奇偶性的四则运算 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)一g(x) f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点6：函数的周期性（拓展） （差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点7：函数的对称性（拓展） （和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点8：函数的性质综合（拓展） 1. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 2. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【题型1 判断函数的奇偶性】 例1．判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)偶函数. (2)奇函数 (3)偶函数. (4)既不是奇函数，也不是偶函数. 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断； （2）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断； （3）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断； （4）根据题意，由函数奇偶性的定义，即可判断； 【详解】（1）函数的定义域是. 因为对于任意的，都有，且 ， 所以函数是偶函数. （2）函数的定义域是. 因为对于任意的，都有，且 ， 所以函数是奇函数. （3）函数的定义域是. 因为对于任意的，都有，且 ， 所以函数是偶函数. （4）函数的定义域是. 因为，，所以 ，. 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数既不是奇函数，也不是偶函数. 【变式1-1】判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数 (2)奇函数 (3)偶函数 (4)既不是奇函数也不是偶函数 (5)偶函数 (6)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义判断. 【详解】（1），定义域为，关于原点对称， ， 故既不是奇函数也不是偶函数. （2），定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. （3），定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数. （4），定义域为，关于原点对称， ， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数. （5），定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为偶函数. （6），定义域为，关于原点对称， ， 故函数为奇函数. 【变式1-2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 【题型2 用定义法证明函数的奇偶性】 例2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 【分析】（1）根据具体函数的解析式得出函数的定义域； （2）先根据定义域关于原点对称，再化简解析式应用偶函数的定义即可证明. 【详解】（1）因为函数，所以且不等于2， 所以且不等于0，所以函数的定义域为； （2）函数是偶函数. 函数的定义域为关于原点对称， 又因为, , 所以是偶函数. 【变式2-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的表达式为． (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入求值即可； （2）画出函数图象即可判断奇偶性，利用定义法证明即可. 【详解】（1）由题意； （2）的函数图象如图所示： 由图可知是上的奇函数，定义法证明如下： 显然，定义域是， 若，则，此时， 若，则，此时， 综上所述，是上的奇函数. 【变式2-2】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据奇函数的定义证明即可； （2）根据增函数的定义证明即可. 【详解】（1）由函数,可得其定义域为R，关于原点对称, 又由, 所以函数为定义域R上的奇函数. （2）当时,, 任取,且, 可得 因为,且，可得, 所以，即. 所以函数在上是增函数. 【变式2-3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)求函数在区间上的最值. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义证明即可； （2）先通过分离常数将函数式化简为，再利用函数的单调性求最值. 【详解】（1）函数是奇函数 证明如下： 由，得，函数的定义域为，关于原点对称， 又， 函数是定义在上的奇函数 （2）， ，∴， ， 即， 在区间上的最小值为，最大值为. 【题型3 抽象函数奇偶性的应用】 例3-1．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）应用赋值法，令得，再由及奇偶性定义证明； （2）令，应用单调性定义证明单调性，进而求区间最大值； （3）根据奇函数性质及条件得，结合单调性并整理得，由含参一元二次不等式解法求解集. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 令，则， 令，则，故， 所以为奇函数. （2）令，则， 而，所以， 所以在R上单调递增，则在区间的最大值. （3）由，则， 所以，因为为增函数，则，即， 当，则解集为； 当，则解集为； 当，则解集为； 例3-2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明：在上单调递减. 【答案】(1)0； (2)偶函数，理由见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令代入已知条件即可得结果； （2）令求得，再令并结合奇偶性定义，即可得判断； （3）令，且，结合已知即可证结论. 【详解】（1）令，则. （2）为偶函数，理由如下： 令，则， 令，则，即为偶函数. （3）令，则，故， 所以，则， 故，在上单调递减，得证. 例3-3．已知函数在上有意义，且任意，满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在上的单调性，并说明理由． 【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2)单调递减，理由见解析 【分析】（1）根据题意，利用可以任意取值的特点令,从而求出，再令，从而利用奇偶性的定义证明的奇偶性. （2）取，且，判断的大小关系，即可根据单调性的定义求出的单调性. 【详解】（1）令，则，解得， 令，则，则， 又因为定义域为，关于原点对称，所以为奇函数． （2）在上单调递减，理由如下： ，设，令， 则， 即， 因为，所以，， 所以，所以， 因为时，，所以，故， 所以，所以在上单调递减． 例3-4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可； （2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 不妨令，得， 解得或， 又不存在，使得，故， 令，得， 故，即， 因此为奇函数； （2）时，， 则， 当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，则， 于是时，， 又为奇函数，则时，， 于是对， 任取，则， 而， 又，则， 于是，故， 因此在上单调递增； 【点睛】思路点睛：先赋值及结合奇函数定义可证明奇偶性；通过判定，再根据单调性的定义作差证明即可. 【变式3-1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）应用赋值法即可； （2）应用奇函数的定义即可判断； （3）结合（2）转化为求，即可求解. 【详解】（1）当时，，则； （2）当时，，则； 设，则，则， 则，即， 即函数为奇函数. （3）由（2）知，为奇函数，则 . 【变式3-2】（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解. （2）赋值结合奇函数定义即可证明. （3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解. 【详解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； （2）依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 【变式3-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再根据单调性定义可得答案； （3）由已知求出，然后已知不等式化简后由函数的单调性转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得，∴， 令，得， ∴，， ∴为奇函数； （2）时，，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得，∴，∴时，， 又∵为奇函数，∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，∴，∴， ∴，，∴在上单调递增； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立， 即对恒成立， 设，，即对成立 当时，符合题意； 当时，，解得：. 综上可知：的取值范围是. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 【题型4 已知函数或判断函数的奇偶性求值】 例4-1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出函数值. 【详解】依题意，. 故答案为： 例4-2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，解得且．所以． 例4-3．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】设，由得，所以. 【详解】设，则， 由，得，所以. 故答案为：. 例4-4．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【答案】4048 【分析】将函数，化简为，，构造函数，判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案. 【详解】由题意 ，， 令，， 则，即为奇函数， 则， 结合函数（）的最大值为，最小值为， 得，则， 故答案为：4048 【变式4-1】（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知为偶函数，且当时，则，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由函数的解析式可得的值，结合函数的奇偶性可得，即可得答案. 【详解】根据题意，当时，，则， 又由函数为偶函数，则. 故答案为： 【变式4-2】（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知函数满足，且，则 . 【答案】675 【分析】通过观察发现函数值之间存在着一定的规律，即每隔个单位，函数值增加，我们可以利用这个规律从已知的逐步递推到. 【详解】由题意得 ． 故答案为：675. 【变式4-3】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【分析】利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得. 【详解】， . 故答案为：2. 【变式4-4】（24-25高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】构造函数，由其为奇函数即可求解； 【详解】， 构造函数定义域为，则，故为奇函数， 所以， 所以， 故答案为：2 【题型5 由奇偶性求函数解析式】 例5-1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质，当自变量互为相反数时，函数值相等. 【详解】当时，. 因为当时，，所以此时. 又因为是偶函数，即，所以当时，. 故答案为：. 例5-2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 【变式5-2】（24-25高一上·江苏·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， 【答案】 【分析】设，则，把代入已知解析式后利用偶函数的概念求解即可. 【详解】设，则， 所以， 又因为为偶函数， 所以， 所以当时，. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数奇偶性的定义构造方程组，求出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①， 所以，，即②， 联立①②得，，故. 故答案为：. 【题型6 由奇偶性求参数】 例6-1．（24-25高一下·江西赣州·期中）若函数是奇函数，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质来建立关于的方程，进而求解的值. 【详解】已知是奇函数，则. 先求：将替换为，可得. 对进行化简： 因为，所以. 移项可得：. 可得. 故答案为：. 例6-2．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案． 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 【变式6-1】（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）若函数为奇函数，则 【答案】2 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域为， 所以，即， 整理得， 故答案为： 【变式6-2】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】A 【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可； 【详解】易知的定义域为， 由奇函数的定义可知，， 则， 整理得恒成立， 所以，解得. 故选：A 【变式6-3】（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义域的对称性得到a的值，进一步根据偶函数的定义和函数的解析式得到b的值，进而计算即可. 【详解】是定义在上的偶函数， 所以其定义域关于原点对称，即，所以， 因为，所以， 所以恒成立，则， 所以， 故选：C． 【题型7 由函数奇偶性解不等式】 例7-1．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 例7-2．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 【变式7-1】（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单调性的定义，在上为增函数，又函数为定义在上的奇函数，所以当时，，当时，即可得解． 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 【变式7-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 【变式7-3】（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设结合函数单调性定义求得函数在上单调递增，接着研究函数的奇偶性和函数值，再将不等式等价变形为或即可求解. 【详解】因为当时，都有成立， 不妨令，则都有成立， 即对任意，且，都有成立， 所以函数在上单调递增， 因为是定义在上的奇函数， 所以，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 又，则， 所以不等式或或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B 【变式7-4】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知函数是定义在上是偶函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性解不等式. 【详解】因为函数为偶函数，所以函数图象关于轴对称； 又时，，所以函数在上单调递增，且， 所以函数在上单调递减，且. 作函数草图如下： 对不等式， 当时，； 当时，. 综上可知：不等式的解集为： 故选：B 【题型8 由函数的周期性求函数值】 例8-1．（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，且对任意实数x恒有，当时，，则（   ） A．1052 B．1051 C．1050 D．0 【答案】B 【详解】由函数对任意实数x恒有可得，则函数为周期函数，周期为4．因为当时，，所以． 例8-2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】D 【分析】先判断函数的周期性，利用周期性和偶函数的性质计算即得. 【详解】由可得， 故为周期函数，且4是函数的一个周期， . 故选：D 【变式8-1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】先求出的一个周期为6，结合函数为偶函数得到，代入求值，得到答案. 【详解】由得， 故，故的一个周期为6， 又为偶函数，故， ，，故. 故选：B 【变式8-2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，则等于（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】由函数的周期即可求解； 【详解】由， 可知函数周期为2， 所以， 又时，， 所以， 故选：B 【变式8-3】（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】探索函数的周期性，根据函数性质求出，，，的值，可得问题答案. 【详解】因为函数为奇函数，所以，且， 所以，即， 所以. 所以函数是以4为周期的周期函数. 又， ，，， 所以， . 所以. 故选：B 【题型9 函数的对称性及应用】 例9-1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的图象变换求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位， 向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是， 故选：B 例9-2．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心. 【详解】因为：. 由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象. 所以的对称中心为：. 故选：C 例9-3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得的定义域，从而得到，再利用奇函数的性质列式求得，从而得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为， 而的图象的对称中心为，则， 所以为奇函数，则有， 即， 所以，故. 故选：C. 例9-4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【答案】C 【详解】与图象的交点两两关于点对称，所以，故． 【变式9-1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于函数为偶函数，表明函数的图象关于直线对称. 对于函数为奇函数，表明函数的图象关于点对称. 然后利用函数的对称性和奇偶性的性质来分析选项中的函数值是否为. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，即， 所以，. 又因为为奇函数，所以，且， 所以即的图象关于点对称，. 所以，无法确定， 故A正确，BCD无法判断. 故选：A. 【变式9-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解； 【详解】， 因为， 所以的对称中心为， 由题意得函数为奇函数关于对称， 则关于对称， 解得， 故选：A. 【变式9-3】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】根据题意，化简得到，结合倒序相加法求和，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可得 ， 所以 . 故选：D. 【变式9-4】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 因为函数是偶函数，所以， 即，化简得，则； 所以，又，则，解得，则， 因为， 所以 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据所求和式的特征，通过计算得，即可求值. 【变式9-5】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）已知函数满足，若函数与图像的交点为，其中，则（   ） A．0 B．m C． D． 【答案】B 【分析】函数满足，得到是关于点对称，函数经过化简也可以得到关于对称，由此可知两个函数的交点就关于对称，根据点的对称性，就可以得到的值. 【详解】因为函数满足，即函数满足，所以是关于点对称， 函数等价于，所以函数也关于点对称， 所以函数与图像的交点为，也关于点对称， 故交点成对出现，且每一对点都关于对称， 所以 故选：B. 【题型10 函数基本性质的综合应用】 例10-1．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】赋值求解，赋式证明奇偶性性与周期性，再利用性质转化求值. 【详解】函数的定义域为，由，， 令，则，解得； 令，则，则； 因为①， ①式中，用替换，则， 故，所以为偶函数. ①式中，用替换，则， 所以，即②， ①②可得，，则③， ③式中，用替换，得④， ④式中，用替换，⑤， 由④⑤得，则为周期函数且周期为6， 所以，， 故. 故选：C. 例10-2．已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，求出、、、的值，结合周期性可求得的值. 【详解】由可得，① 对任意的，，所以，，② 由①②可得，所以函数是周期为的周期函数． 因为为偶函数，则， 因为，由可得，且， 由可得， 因为，所以，，故函数为偶函数， 因为，则，所以，， 由可得， 因为，所以， . 故选：B. 例10-3．（多选）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 【答案】BD 【分析】由得函数的图象关于直线对称，由为奇函数得函数的图象关于点对称，从而函数是周期函数，周期为4，由得的图象关于点对称，从而函数与的交点也关于点对称，由此可判断各项. 【详解】因为， 所以函数的图象关于直线对称， 又为奇函数， 所以， 即，则函数的图象关于点对称， 则，故B正确； 所以， ， 即，所以函数是周期函数，周期为4，故C错误； ，故A错误； 又，所以函数 的图象关于点对称， 因此函数与的交点也关于点对称， 则， 故D正确， 故选：BD. 【变式10-1】已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足．若，则等于（　　） A．－50 B．50 C． D．2 【答案】D 【分析】运用函数奇偶性、对称性可得函数周期为4，运用赋值法可得、、的值进而运用周期性可求得结果. 【详解】因为图象关于原点对称， 所以且 又因为，① 所以， 所以， ② 所以， 所以，③ 即的周期为4， 将代入①得：， 将代入②得：， 又因为， 所以， 将代入③得：， 所以， 所以， 故选：D. 【变式10-2】（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【分析】利用赋值法令根据表达式可判断A正确，再根据偶函数定义可得B正确；取并根据对称中心定义可得C正确，由对称中心以及偶函数性质可判断是的一个周期，可得D错误. 【详解】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 【变式10-3】（多选）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】利用取特殊值方法求解选项A,B,利用抽象函数的关系式结合函数的单调性和奇偶性求解选项C,D. 【详解】对A，令可得，，解得，A正确； 对B，令可得，， 再令可得，，解得，B错误； 对C，因为，，所以,C错误； 对D，令，则， 所以，即， 所以函数为奇函数，D正确； 故选:AD. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是奇函数，故A错误；单调递减，且在上单调递减，故B正确；是偶函数，但在上不是单调递减的，故C错误；是偶函数，且在上单调递增，故D错误． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是偶函数，所以，故． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足． 4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数性质得，，再利用其单调性即可比较出大小. 【详解】因为偶函数，则，， 又因为其在区间上单调递减，则， 即. 故选：A. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数都是奇函数，在上有最大值6，则定义在上的函数有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】C 【详解】由得，故是奇函数．又当时，，由奇函数图象关于原点对称知当时，，得． 二、多选题 6．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在内单调递减 D． 【答案】AD 【分析】令分母不为解出定义域判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，举反例判断C，利用函数的运算性质判断D即可. 【详解】对于A，令，解得，则的定义域为，故A正确， 对于B，因为，所以，得到为偶函数，故B错误， 对于C，因为，，所以，则在内不可能单调递减，故C错误， 对于D，因为，所以，，则，故D正确. 故选：AD 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】运用赋值法，结合奇偶性定义，单调性定义逐个判断即可. 【详解】对于A，B，令，得，再令，得，，，再令，则，即， 因为（若，则无意义），所以. 即，，即与同号， 时，，当时，也成立，时，，A正确，B不正确； 对于C，令，，，当时，，由已知得，，由A选项知，，C正确； 对于D，，，互换即可得到，D正确． 故选：ACD． 8．（24-25高一下·四川达州·期中）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且对任意实数都有，则下列结论正确的有（   ） A．函数的图像关于轴对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用函数是奇函数得，再由题干另一条件得， 故，即为偶函数；对于B，由可知确实是关于对称， 对于C，由可知周期为；对于D，易知也是周期为4的周期函数， 且由的对称性可知，由此可判断D选项. 【详解】对于A，由函数是奇函数，则，用代换上式中的， 得，又因为对任意实数都有，即有， 也即，故，所以函数的图像关于轴对称，故A正确； 对于B，由上述分析知，即， 也即函数的图像关于对称，故B正确； 对于C，由上述分析知，用代换上式中的， 得，故是周期为4的周期函数，故C错误； 对于D，由题意知，则， 故也是周期为4的周期函数，而为满足条件的函数， 但此函数的周期为任意非零实数，故C错误. 则， 由上述分析知，所以， 所以， 故，故D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数、定义域为，函数是偶函数，函数是奇函数，且，则（   ） A． B． C．关于中心对称 D． 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性可得、，变换后可得，故可得的周期性，再结合赋值法逐项计算后可得正确项的选项. 【详解】因为是偶函数，故， 因为函数是奇函数，故， 因为，故， 故，故关于中心对称，故C正确， 令，故即，故A正确； 由可得， 故即， 故，所以， 故为周期函数且周期为4， 在令，则， 再令，则，故，且 故，故D正确； 对于B，在中令，则， 而，故，故B错误， 故选：ACD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．的解集为 D．的解集为 【答案】AD 【详解】当时，，易求得当时，的最大值为，A正确；在上单调递减，B错误；的解集为，C错误；当时，的解集为，当时，无解，故D正确． 三、填空题 11．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，时， 所以，即， 所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，得到，即可求解. 【详解】因为是定义域为的偶函数，且在上为严格减函数， 由，得到，整理得到，解得， 故答案为：. 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以． 14．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解. 【详解】由，即关于对称， 又在上为严格减函数，则在上为严格增函数， 由，则，即， 所以不等式的解集为. 故答案为： 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在其定文域内为偶函数，且，则 ． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以，所以，所以且x不恒为0，所以，则．又因为，所以，解得，所以，故，所以． 四、解答题 16．函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求，的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）由奇函数定义可知.设时，，根据已知函数式及奇函数定义即可求解. 【详解】（1）因为时，，所以. 因为为上的奇函数，所以. （2）证明：因为时，， ，，且， ， 因为，，，所以，， 所以，即， 所以在上是减函数. （3）当时，； 当时，，则，所以. 综上，. 17．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数； (2) 【分析】（1）通过证明来证得为奇函数. （2）利用单调性的定义来证得在上为增函数，根据所奇函数及单调性解不等式即可. 【详解】（1）由已知，函数的定义域为． ，都有， ． 所以函数为奇函数． （2）任取，且，则， 那么 因为 ， 所以 ，，， 所以 ， 所以 ， 所以 在上是增函数． 因为，所以，且在上是增函数． 所以，所以， 所以不等式的解集 18．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 【答案】(1) (2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为， (3)或. 【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出； （2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间； （3）结合图象写出的解集即可. 【详解】（1）当时，，则. 因为为奇函数，所以. 所以； （2） 由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，. （3）由图可知，使的的取值集合为或. 19．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）对已知式中的依次赋值，求得，，利用奇偶性定义证明即得； （2）先证明 时, ，由是上的奇函数，可得，再由函数的单调性定义证明在 在上单调递增，再由奇函数即得为上的增函数； （3）通过赋值法，将题设不等式化成，再利用在上是增函数将其化成对任意的 成立问题，结合一次函数的图象即可求得. 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 20．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇函数的定义来证明即可； （2）变形构造函数，通过赋值来研究新函数的单调性，结合新函数的奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）证明：因为的定义域为，关于原点对称， 又对任意，都有， 令，得， 令，得， 令， 得， 是奇函数. （2）， ， ， 设，则，所以， 在上是减函数， 因为的定义域为， 又， 所以是偶函数， 因为， ，则，解得， 不等式的解集为或. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 函数的奇偶性（含周期性与对称性） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：10大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数奇偶性的定义 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 知识点2：具备奇偶性函数的对称性 如果函数是奇函数或偶函数,那么我们称函数具有奇偶性. 根据函数奇偶性的定义可知,偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 知识点3：具备奇偶性函数的定义域 易错点：具有奇偶性的函数，定义域关于原点对称 知识点4：奇函数的特性 定义在上（在原点处有定义）的奇函数，必过原点，即： 知识点5：奇偶性的四则运算 f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)一g(x) f(x)g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点6：函数的周期性（拓展） （差为常数有周期） ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） 知识点7：函数的对称性（拓展） （和为常数有对称轴） 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 知识点8：函数的性质综合（拓展） 1. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 2. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： 【题型1 判断函数的奇偶性】 例1．判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1-1】判断下列函数是否具有奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式1-2】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【题型2 用定义法证明函数的奇偶性】 例2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数； (1)求函数的定义域; (2)判断函数的奇偶性，并证明. 【变式2-1】（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数的表达式为． (1)求的值； (2)作出该函数的图象，判断并证明其奇偶性． 【变式2-2】（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)用定义证明：函数在上是增函数. 【变式2-3】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数. (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)求函数在区间上的最值. 【题型3 抽象函数奇偶性的应用】 例3-1．（24-25高一上·河北保定·期末）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间的最大值； (3)解关于的不等式：. 例3-2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)判断的奇偶性，并说明理由； (3)证明：在上单调递减. 例3-3．已知函数在上有意义，且任意，满足． (1)求的值，判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若时，，判断在上的单调性，并说明理由． 例3-4．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在R上单调递增； 【变式3-1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且. (1)求的值； (2)令，求证:函数为奇函数； (3)求的值. 【变式3-2】（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【变式3-3】（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【变式3-4】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)若，不等式对恒成立，试求的取值范围. 【题型4 已知函数或判断函数的奇偶性求值】 例4-1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 例4-2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 例4-3．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知函数，且，则 ． 例4-4．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则= 【变式4-1】（24-25高一上·云南大理·阶段练习）已知为偶函数，且当时，则，则 . 【变式4-2】（24-25高一下·广东韶关·阶段练习）已知函数满足，且，则 . 【变式4-3】（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，其中为常数，若，则 . 【变式4-4】（24-25高一下·广东广州·开学考试）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【题型5 由奇偶性求函数解析式】 例5-1．（24-25高一下·北京·开学考试）已知函数为偶函数，且当时，，则时， . 例5-2．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【变式5-1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【变式5-2】（24-25高一上·江苏·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， 【变式5-3】（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【题型6 由奇偶性求参数】 例6-1．（24-25高一下·江西赣州·期中）若函数是奇函数，则 . 例6-2．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）若函数为奇函数，则 【变式6-2】（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或2 【变式6-3】（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是定义在上的偶函数，则（   ） A． B． C． D．0 【题型7 由函数奇偶性解不等式】 例7-1．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例7-2．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·湖北咸宁·开学考试）已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·广东·阶段练习）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·山东·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，当时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知函数是定义在上是偶函数，当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题型8 由函数的周期性求函数值】 例8-1．（25-26高一上·全国·课后作业）设是定义在上的函数，且对任意实数x恒有，当时，，则（   ） A．1052 B．1051 C．1050 D．0 例8-2．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且，若时，，则（   ） A．3 B． C． D．1 【变式8-1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）若偶函数对任意都有，且当时，，则（   ） A．8 B． C．12 D． 【变式8-2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知定义在上的函数满足，当时，，则等于（   ） A． B． C．2 D．1 【变式8-3】（24-25高一上·四川内江·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（   ） A．0 B．2 C．2024 D．2025 【题型9 函数的对称性及应用】 例9-1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 例9-2．（24-25高一上·辽宁丹东·期末）已知函数的对称中心为（   ） A． B． C． D． 例9-3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 例9-4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，则（    ） A．9 B．6 C．18 D．12 【变式9-1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式9-4】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ） A．0 B． C．2025 D． 【变式9-5】（24-25高一上·山东日照·阶段练习）已知函数满足，若函数与图像的交点为，其中，则（   ） A．0 B．m C． D． 【题型10 函数基本性质的综合应用】 例10-1．已知函数的定义域为，且，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 例10-2．已知函数的定义域为，值域为，若，函数为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 例10-3．（多选）定义在上的函数满足为奇函数，函数满足，若与恰有2023个交点，则下列说法正确的是（ 　 ） A． B． C．2为的一个周期 D． 【变式10-1】已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足．若，则等于（　　） A．－50 B．50 C． D．2 【变式10-2】（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【变式10-3】（多选）已知函数的定义域为，对任意实数满足，且，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数是偶函数，且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）设偶函数的定义域为，在区间上单调递减，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数都是奇函数，在上有最大值6，则定义在上的函数有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 二、多选题 6．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．为奇函数 C．在内单调递减 D． 7．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D． 8．（24-25高一下·四川达州·期中）已知函数的定义域为R，函数是奇函数，且对任意实数都有，则下列结论正确的有（   ） A．函数的图像关于轴对称 B．函数的图像关于点对称 C．函数是最小正周期为2的周期函数 D．若函数满足，则 9．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数、定义域为，函数是偶函数，函数是奇函数，且，则（   ） A． B． C．关于中心对称 D． 10．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．在上单调递增 C．的解集为 D．的解集为 三、填空题 11．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）若函数为奇函数，且当时，，则当时，的解析式为 . 12．（24-25高一下·上海·期中）已知定义域为的偶函数在上为严格减函数，则不等式的解集为 ． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 14．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为 . 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数在其定文域内为偶函数，且，则 ． 四、解答题 16．函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求，的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)求函数的解析式. 17．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数是定义在区间上的函数． (1)判断的奇偶性； (2)证明在区间上是增函数，并求不等式的解集． 18．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 19．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 20．已知定义域为的函数满足对任意，都有 (1)求证：是奇函数； (2)设，且当时，，求不等式的解集． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$