第16讲 函数的单调性（6知识点+11大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第16讲 函数的单调性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数单调性与单调区间的定义 一般地，设函数的定义域为，区间 如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递增（增函数） 如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递减（减函数） 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 知识点2：用定义法证明函数的单调性 设函数的定义域为，区间，如果 ①，有，则为↑ ②记自变量的改变量为，因变量的改变量为，若，， 则为↑ ③若 ，则为↑ ④若，则为↑ 总结：同增异减 知识点3：复合函数单调性 内层函数u=g(x)的单调性 外层函数y=f(u)的单调性 复合函数y=f(g(x))的单调性 增函数 增函数 增函数(同增) 增函数 减函数 减函数(异减) 减函数 增函数 减函数(异减) 减函数 减函数 增函数(同增) 知识点4：函数的最值 一般地，设的定义域为, 如果存在, 使得对于任意的. 都有 那么称为的最大值,记为 如果存在. 使得对于任意的. 都有 那么称为的最小值,记为 知识点5：恒成立问题 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点6：能成立（有解）问题 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 【题型1 求函数的单调区间】 例1-1．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    【答案】（开闭均可） 【分析】根据根据函数图象即可得解. 【详解】由函数图象可知， 函数的单调递增区间是. 故答案为：.（开闭均可） 例1-2．函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的性质求解即可. 【详解】的对称轴为， 因为，所以的图象开口向上， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 例1-3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 【变式1-1】已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象上升下降的情况判断即可. 【详解】函数的图象在区间和是下降的，在区间和是上升的， 故该函数的减区间为． 故选：C. 【变式1-2】函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【答案】C 【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】， 函数的定义域为， 其图象如下： 由图象可得函数在和上是增函数. 故选：C 【变式1-3】画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间. 【答案】图象见解析；单调递减区间为，单调递增区间为. 【分析】将函数解析式写成分段函数的形式，进而结合一次函数的图象即可作出函数的图象，然后数形结合即可求出单调区间. 【详解】因为，作出函数图象如图所示： 结合图象可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式1-4】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数以及二次函数的单调性求解. 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 【题型2 根据解析式直接判断函数的单调性】 例2．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反比例函数、对勾函数、二次函数单调性依次判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，在上单调递增，B不是； 对于C，函数在上单调递增，C是； 对于D，函数在上单调递减，在上单调递增，D不是. 故选：C 【变式2-1】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，在上单调递减，故A不符合题意， 对于B，在和上单调递增，在定义域上不是单调递增函数，故B不符合题意， 对于C，在上单调递减，在上单调递增，故C不符合题意， 对于D，在上单调递增，故D符合题意。 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是上单调减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合一次、二次已经反比例函数的性质判断即可得答案. 【详解】对于A，结合一次函数的性质可知是R上的递增函数，故A错误； 对于B，结合反比例函数的性质可得在上的单调递增，故B错误； 对于C，结合二次函数的性质可得在上的单调递减，故C满足题意； 对于D，因为与都是上的增函数，所以在上的单调递增，故D错误， 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数、分式型及根式型函数性质判断区间单调性，即可得答案. 【详解】函数对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增，A错误； 函数对称轴为，故函数在上单调递增，在上单调递减，B错误； 函数的定义域为，C错误； 函数的定义域为，且函数在其定义域内单调递增，D正确． 故选：D 【题型3 复合函数的单调性】 例3．（24-25高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 设，则， 函数的对称轴为， 所以函数在区间上单调递增，且， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 函数在区间上单调递减，且， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为， 故选：C 【变式3-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【变式3-2】函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，求得函数的定义域，本题即求在定义域内的单调减区间，利用二次函数的性质可得在定义域 内的单调减区间． 【详解】令，求得，故函数的定义域为， 本题即求在内的减区间． 利用二次函数的性质开口向下，对称轴，可得在内的减区间为， 即函数的单调减区间为， 故选:B． 【变式3-3】（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为 . 【答案】 【分析】先求函数的定义域，然后根据复合函数单调性同增异减来求得正确答案. 【详解】由， 解得，二次函数的开口向下，对称轴为， 函数在上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知，的单调递增区间是. 故答案为： 【题型4 用定义法证明函数的单调性】 例4-1．证明：函数在定义域R上是增函数． 【答案】证明见解析 【分析】利用定义法即可证明其单调性. 【详解】证明：任取，且， 则 因为，所以，所以， 所以函数在定义域上是增函数. 例4-2．证明：在区间上是单调递增函数. 【答案】证明见解析. 【分析】利用函数的单调性的定义证明即可. 【详解】设，且， 则， 因为，所以，，所以， 所以，即. 故在区间上是单调递增函数. 例4-3．已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明． 【答案】在区间上单调递增，证明见解析； 【详解】解：在区间上单调递增， 证明：设任意的、且，则 ， 因为、且，所以、、，，所以，即，所以在区间上单调递增； 例4-4．证明：函数在区间上是增函数. 【答案】证明见解析. 【分析】设，且，然后对进行因式分解进而判断其正负，然后结果函数单调性的概念即可得出结论. 【详解】设，且， 而 因为，则， 所以，即， 所以函数在区间上是增函数. 例4-5．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数对， 都有且时，. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明： (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据所给条件利用赋值法计算可得； （2）根据函数单调性的定义，利用作差法证明即可； （3）首先求出，即可求出，从而将转化为，结合函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为， 都有， 令，可得， 令，可得， 所以； （2）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则， 因为当时，，又，则，所以， 即，即， 所以在上单调递减； （3）因为，则， 令，可得，所以为奇函数， 令，则， 所以不等式，即， 即， 即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 【变式4-1】根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可. 【详解】，，且，有 . 由，，得，，所以，， 又由，得，于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 【变式4-2】证明： （1）函数在区间上是增函数； （2）函数在区间上是减函数； （3）函数在区间和上都是增函数. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】证明函数单调性的步骤为：设,且，然后因式分解判断正负，进而根据函数单调性的概念即可判断，进而根据解题步骤逐题证明即可. 【详解】（1）设任意，且， 而 因为，所以，即，因此, 所以函数在区间上是增函数. （2）设任意，且， 而， 因为，所以，即，因此， 所以函数在区间上是减函数； （3）设任意，且， 而 因为，所以，即，因此, 所以函数在区间上是增函数. 设任意，且， 而 因为，所以，即，因此, 所以函数在区间上是增函数. 综上：函数在区间和上都是增函数 【变式4-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 【变式4-4】（24-25高一上·全国·课后作业）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【答案】单调递增 【分析】根据题意结合单调性的定义分析证明即可. 【详解】任取，则，，，所以 . 故在区间上恒成立，即. 所以函数在区间上单调递增． 【变式4-5】（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知定义在上的函数同时满足下面两个条件：对任意x，，都有；当时，. (1)求； (2)求证：在上单调递减； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最小值为2 【分析】（1）令，即可求解； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）原不等式等价于，利用函数的单调性将条件转化为存在，使得成立，令，，即可求解. 【详解】（1）令，得， 所以； （2）任取，，且， ， 由，得， 因为当时，，所以， 即，故， 所以在单调递减； （3）由， 得， 即， 又在上单调递减， 所以条件等价于存在，使得成立， 即存在，使得成立， 令，， 则， 所以，即实数的最小值为2. 【题型5 已知函数单调性求参数】 例5-1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先对a是否为零讨论，再让在对称轴的右边即可求得结果 【详解】当时，上单调递减，满足题意； 当时，的对称轴为直线，由在上单调递减， 知，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：D. 例5-2．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数在R上单调递增，需满足在每一段上单调递增，且分段处左端点函数值小于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】在上单调递增， 要想是R上的增函数，需满足， 解得， 故的取值范围为. 故选：C 【变式5-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】当，，显然符合， 当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合， 当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足 ， 即， 综上实数的取值范围是， 故选：C 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次函数的单调性可解. 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在区间上是减函数， 所以，即． 故选：C 【变式5-3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A 【题型6 根据函数的单调性解不等式】 例6-1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 例6-2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为上的减函数，且，所以，即，解得或． 例6-3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设有在定义域上单调递减，结合已知判断的区间符号，进而求不等式的解集. 【详解】由题设，在定义域上单调递减，且， 所以，在上，在上， 所以，当时，当时，当时， 由，可得解集为. 故选：C 例6-4．（24-25高一下·四川内江·开学考试），其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图像，结合对称性构造不等式即可求解； 【详解】    画出函数的图像， 当时，， , 即， 同理：当时，也可得， 所以的图像的图像关于对称； 所以等价于， 即， 解得：或， 又， 所以得取值范围是， 故选：B 【变式6-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的定义化简函数式，结合单调性求解． 【详解】， ，则，解得， 故选：C． 【变式6-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的定义域，再利用函数的单调性可求得的解集． 【详解】函数，所以定义域为，解得， 因为是单调递增函数，是单调递增函数， 所以是上的单调递增函数， 由不等式得，解得， 故选：C． 【变式6-3】（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【变式6-4】（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，则由，可得，构造函数，从而可得出函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意，不妨设， 则由，可得， 则， 所以， 令，则， 所以函数在上单调递减， 由，得， 由，得， 因为函数的定义域为，所以， 所以，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式6-5】定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可. 【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数， 所以在上是减函数， 又，所以， 所以当时，，满足， 当时，，，也满足， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【题型7 比较函数值的大小关系】 例7-1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 例7-2．已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知的函数性质，把比较函数值的大小转化到同一个单调区间上的函数值比较大小的问题来解决. 【详解】因为，所以，， 因为在上单调递减，所以. 故选：A. 例7-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解. 【详解】因为，所以，， 又因为在R上严格增，所以，， 所以. 故选：A． 【变式7-1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的对称性和单调性即可得到答案. 【详解】因为二次函数的最大值为， 所以的图象关于直线对称，所以，且在上是减函数， 因为，所以. 故选：A． 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增函数的定义求解即可. 【详解】因为在上是增函数，且， 所以. 故选：. 【变式7-3】函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D. 【详解】是定义在上的减函数，， 与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误； ，时，；时，，故的关系不确定，故B错误； ，，，故C正确． ，时，；时，，故关系不确定，D错误， 故选：C． 【题型8 利用函数单调性求最值或值域】 例8．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1），且， 则 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 【变式8-1】已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2)最大值为，最小值为； (3)作图见解析，. 【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。 （2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值. （3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域. 【详解】（1）函数在区间上单调递增. 任取，则， 由，得，则， 即，因此， 所以函数在区间上单调递增. （2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. （3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下： 函数，而，则， 所以的值域为. 【变式8-2】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为：，单调减区间为； (2)最大值为13，最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法、二次函数的单调性进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 由可得：， 根据：，可得： 整理得：，可得：，解得， 可得为的解析式． 因为可得：对称轴为 且二次项系数为， 可知：函数的单调递增区间为：，单调减区间为； （2）由二次项系数为，和函数的单调性可得，函数在处最小值，即． 当时，，当时，． 因此函数的最大值为13，最小值为． 【变式8-3】已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 【题型9 根据函数的最值求参数】 例9-1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解. 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 例9-2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可. 【详解】因为，所以当时，在上单调递减， 则，解得，与矛盾，不符合题意； 当时，根据对勾函数单调性可知， 函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减， 所以，解得，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，与矛盾，不符合题意； 综上所述，. 故选：D 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】，当时，，不符合题意； 当，即时，在内单调递减，，符合题意； 当，即时，在内单调递增，， 解得，与矛盾，舍去． 综上所述，． 故选： 【变式9-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】先得到在上恒成立，参变分离得到，求出，故，再由在上有根， 即在上有根，求出，需满足，故. 【详解】由题意得在上恒成立， 故， ， 故只需求出， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 且或2时，，故的最大值为3， 故， 故， 另外，在上有根， 即，， 故在上有根， 根据的单调性可知，在处取得最小值， 故，， 要想在上有根， 需满足， 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为： 第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式， 第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解. 第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论. 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】当时，利用定义判断函数的单调性求出函数的最小值为；当时，分和两种情况讨论，根据二次函数的性质结合题意可得不等式，两种情况取并集即可求解. 【详解】当时，任取，则， 由于，则，，当时，， 当时，，则函数在区间内单调递减， 在区间上单调递增，则； 当时，的对称轴为， 若，则，符合题意； 若，则， 要使函数最小值为，则，解得：， 综上，的取值范围为． 故答案为： 【题型10 恒成立问题】 例10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由不等式恒成立转化为利用函数的单调性求函数的最小值得参数范围． 【详解】由题意知在上严格单调递增，则当时，. 故答案为：． 【变式10-1】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用恒成立的不等式分离参数，借助二次函数求出最大值即可. 【详解】当时，不等式， 依题意，恒成立，而当时，， 当且仅时取等号，因此，ABC不是，D是. 故选：D 【变式10-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数求出最小值，再借助恒成立建立不等式求解. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 由对任意实数恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 【变式10-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】已知的范围，构建关于的一次函数，不等式恒成立，则一次函数的两个端点处都大于0恒成立即可. 【详解】令， 由题意得：， 即，解得， 所以或. 故选：D. 【题型11 能成立（有解）问题】 例11．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，将问题转化为存在，使得，求出的最值得解. 【详解】由，得， 又， 故存在，使得， 令，，则， ， . 故选：B. 【变式11-1】若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】C 【分析】设，由题意可得，求出二次函数最值即可求解. 【详解】设，开口向上，对称轴为直线， 若存在，使不等式成立，则只要即可， 函数在上单调递减，所以，所以， 所以实数的最大值为0. 故选：C 【变式11-2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数在上的最小值，可得出，再结合恒成立可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则该函数在上为增函数， 当时，， 因为对均有， 所以，，则，解得. 故选：D. 【变式11-3】若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数得在上有解，从而，利用对勾函数的单调性求得最值即可求解. 【详解】因为存在，有成立， 所以在上有解，所以， 记，，令，则，， 由对勾函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，的函数值为，当时，的函数值为，且, 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数，若，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数的图象如图所示，当时，即，解得或，则由图象可知． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 【答案】C 【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【详解】①当时，由题可得不符合题意；②当时，由题可得解得．综上，． 二、多选题 6．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故A正确，B错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增． 8．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】由基本不等式求得当，时的范围，进而可求解. 【详解】当时，； 当时：，当且仅当，即时等号，此时. 当时，，当且仅当，即时等号，此时， 综上，. 若，则，由题，所以； 若，则，由题，所以， 故选：BC. 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】变换得到在上有解，设，则，得到，根据对勾函数的单调性计算最值得到答案. 【详解】由，即，， 故在上有解， 设，则， 则， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则的最大值为，故. 故选：AB. 10．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程，解得或， 解方程，解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或，此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故选：BCD. 三、填空题 11．（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 12．（25-26高一上·全国·课后作业）设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 【答案】（2）（3） 【详解】由单调函数的性质知（2）（3）正确． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为 ，单调递增区间是 ，单调递减区间为 ． 【答案】 且 【详解】因为，所以，即．函数的单调递增区间为，单调递减区间为的图象是由的图象向左平移3个单位长度得到的，所以的单调递增区间为，单调递减区间为 14．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】考虑各段函数的单调性以及分段点处的函数值大小关系，由此可求结果. 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 15．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，原题意化为对恒成立，利用二次函数性质列不等式组，解一元二次不等式组即可． 【详解】设， 则不等式对满足的一切实数m恒成立 对恒成立． 当时， 即解得 故x的取值范围是． 故答案为： 四、解答题 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设． 当时，，所以，所以函数在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）解：①当时，，不满足条件． ②当时，易知函数在上单调递增，则满足即解得，不满足条件． ③当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值应在处取得．当时，函数在上的最小值为，所以，解得，经检验，符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件．综上，． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，画出函数的图象，根据图象写出增区间； (2)若函数为上的增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)作图见解析， (2) 【详解】解：（1）当时，的图象如图所示． 由图可知，函数的增区间为． （2） 因为函数为上的增函数， 所以解得， 所以实数a的取值范围是． 18．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 19．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数． (1)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)当时，对任意,恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求其对称轴，则或即可求得； （2）参变分离，求函数的值域即可. 【详解】（1）其对称轴为， 若在上具有单调性，则或，得或， 则实数的取值范围为. （2）在上恒成立， 则在上恒成立， 因在上单调递减，在上单调递增，则， 故，则数的取值范围为. 20．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)证明的单调性； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性. （2）借助函数的单调性，结合函数的定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【详解】（1）函数在上为增函数，下面用定义证明： 设任意， 则 因为，所以，所以. 即，所以函数在上为增函数. （2）因为，所以. 由. 所以所求不等式的解集为：. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 函数的单调性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：11大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：函数单调性与单调区间的定义 一般地，设函数的定义域为，区间 如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递增（增函数） 如果，当时，都有，那么就称在区间上单调递减（减函数） 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间. 知识点2：用定义法证明函数的单调性 设函数的定义域为，区间，如果 ①，有，则为↑ ②记自变量的改变量为，因变量的改变量为，若，， 则为↑ ③若 ，则为↑ ④若，则为↑ 总结：同增异减 知识点3：复合函数单调性 内层函数u=g(x)的单调性 外层函数y=f(u)的单调性 复合函数y=f(g(x))的单调性 增函数 增函数 增函数(同增) 增函数 减函数 减函数(异减) 减函数 增函数 减函数(异减) 减函数 减函数 增函数(同增) 知识点4：函数的最值 一般地，设的定义域为, 如果存在, 使得对于任意的. 都有 那么称为的最大值,记为 如果存在. 使得对于任意的. 都有 那么称为的最小值,记为 知识点5：恒成立问题 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ② ，则只需要 ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） 知识点6：能成立（有解）问题 假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式， （1）若的值域为 ①，则只需要 ，则只需要 ②，则只需要 ，则只需要 （2）若的值域为 ① ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 ② ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比） ，则只需要 【题型1 求函数的单调区间】 例1-1．已知函数的图像如图所示，则函数的单调递增区间是 .    例1-2．函数的单调增区间是 ． 例1-3．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数的图象如图所示，则该函数的减区间为（    ）    A． B． C． D． 【变式1-2】函数在（    ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【变式1-3】画出函数的图象，并根据图象写出的单调区间. 【变式1-4】（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据解析式直接判断函数的单调性】 例2．（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·广西柳州·开学考试）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）下列函数中，是上单调减函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 复合函数的单调性】 例3．（24-25高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为 . 【题型4 用定义法证明函数的单调性】 例4-1．证明：函数在定义域R上是增函数． 例4-2．证明：在区间上是单调递增函数. 例4-3．已知，试判断在区间上的单调性，并加以证明． 例4-4．证明：函数在区间上是增函数. 例4-5．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知函数对， 都有且时，. (1)求的值； (2)判断函数的单调性，并给出证明： (3)若，求不等式的解集. 【变式4-1】根据定义证明函数在区间上单调递增. 【变式4-2】证明： （1）函数在区间上是增函数； （2）函数在区间上是减函数； （3）函数在区间和上都是增函数. 【变式4-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【变式4-4】（24-25高一上·全国·课后作业）根据定义，研究函数在区间上的单调性． 【变式4-5】（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）已知定义在上的函数同时满足下面两个条件：对任意x，，都有；当时，. (1)求； (2)求证：在上单调递减； (3)若存在，使得不等式成立，求实数m的最小值. 【题型5 已知函数单调性求参数】 例5-1．若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例5-2．（24-25高一上·河南漯河·阶段练习）已知是R上的增函数，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据函数的单调性解不等式】 例6-1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6-2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例6-3．（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数的定义域为，满足且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例6-4．（24-25高一下·四川内江·开学考试），其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（24-25高一上·重庆·阶段练习）定义在上的函数，满足对任意，且，都有. 已知，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【变式6-5】定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型7 比较函数值的大小关系】 例7-1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 例7-2．已知，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 例7-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知二次函数的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】函数为定义在上的减函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 利用函数单调性求最值或值域】 例8．（24-25高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性 (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【变式8-1】已知函数 ． (1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. (2)求出函数在区间上的最大值和最小值. (3)画出函数图象并求出其值域 【变式8-2】（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【变式8-3】已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【题型9 根据函数的最值求参数】 例9-1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数 的最小值为，则 例9-2．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（   ） A． B．1 C． D． 【变式9-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间内的最大值为3，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【变式9-2】（24-25高一上·上海闵行·期末）若函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为 【变式9-3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 ． 【题型10 恒成立问题】 例10．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式10-1】（24-25高一上·北京海淀·期末）已知函数.若恒成立，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若对任意，不等式恒成立，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【题型11 能成立（有解）问题】 例11．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知存在使成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．0 D．3 【变式11-2】（24-25高一上·福建南平·期中）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】若存在，有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高一上·全国·课后作业）设函数，若，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）若一次函数在上的最小值和最大值分别为和8，则的值是（   ） A．6 B．3 C． D． 二、多选题 6．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若函数的最小值为，则实数的取值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 9．（24-25高一上·广东湛江·阶段练习）已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 三、填空题 11．（24-25高一上·广东湛江·期中）函数的单调递减区间为 . 12．（25-26高一上·全国·课后作业）设都是单调函数，有如下四个命题： （1）若单调递增，单调递增，则单调递增； （2）若单调递增，单调递减，则单调递增； （3）若单调递减，单调递增，则单调递减； （4）若单调递减，单调递减，则单调递减． 其中为真命题的是 （填序号）． 13．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为 ，单调递增区间是 ，单调递减区间为 ． 14．（24-25高一下·河北保定·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 15．已知不等式对满足的一切实数m恒成立，则x的取值范围为 ． 四、解答题 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 17．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)当时，画出函数的图象，根据图象写出增区间； (2)若函数为上的增函数，求实数a的取值范围． 18．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 19．（24-25高一下·广东梅州·阶段练习）已知函数． (1)若在上具有单调性，求实数的取值范围； (2)当时，对任意,恒成立，求实数的取值范围． 20．（24-25高一上·吉林松原·阶段练习）已知定义在区间上的函数满足，且当时，.若. (1)证明的单调性； (2)解关于的不等式. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$