第三章 不等式综合测试-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第三章 不等式综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 6．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 7．若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 11．已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知，当取得最小值时，则的值为 ． 13．关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 14．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 16．设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 17．已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 18．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 19．法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 不等式综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 2．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求出和，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则，解得，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 3．不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据题意解一元二次不等式即可. 【详解】由，可得，即， 解得，所以不等式的解集为. 故选：B 4．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由二次函数的对称轴为， 所以由函数在上是减函数，则， 故选：D. 5．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入药剂后，药剂的浓度（单位：）随时间（单位：h）的变化关系可近似的用函数刻画．由此可以判断，要使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（   ） A．1h B．2h C．3h D．4h 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解最值可得． 【详解】依题意，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h． 故选：C 6．若关于的方程的两个实数根的平方和等于11，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】设方程的两个实数根为，结合根的判别式和韦达定理求解即可. 【详解】设方程的两个实数根为， 则，即， 且， 由题意，得， 则，解得（舍去）或. 故选：C. 7．若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助基本不等式可得的最小值，结合该值，再解出与有关一元二次不等式即可得. 【详解】由，则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 即恒成立，故， 即，解得或. 故选：B. 8．实数，，满足：，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用立方和公式和完全平方公式将用与表示，再分离出，使用基本不等式求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵，，令，则 易知与均不为且符号相同，∴，解得或. （此时，可通过验证时，满足题意，，结合选项确定选项D正确.） 又∵，，，， ∴由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， ∴， 又∵， ∴，（当时，）， ∴解得，即，当且仅当时，等号成立. ∴综上所述，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】易错点睛：本题若忽视中的与同号，直接使用基本不等式求解，就容易错解，而优先考虑与同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．已知，则下列不等关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用特值法判断C，利用不等式性质判断ABD. 【详解】对A：因为，所以，所以，故A错误； 对B：， 因为，所以必定成立，即原不等式成立，故B正确； 对C：取，，，不成立，故C错误； 对D：，因为，所以， 故原不等式成立，故D正确. 故选：BD. 10．已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 11．已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】应用基本不等式及应用常值代换分别计算判断各个选项即可. 【详解】对于A：，当且仅当时取“=”，A正确； 对于B： ，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C：， 令，，则， ， 当且仅当，即，时取“=”， 的最小值为，C正确； 对于D： 当且仅当时取“=”，D错误； 故选：ABC. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知，当取得最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】利用基本不等式求得最值，根据等号成立条件可得，即可求出结果. 【详解】由可得，则 ； 当且仅当，即时， 等号成立，取得最小值为，此时. 故答案为： 13．关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论两根大小解不等式，结合题意分析求解即可. 【详解】对于不等式，可得不等式， 若，解得，无正整数解，不合题意； 若，不等式无解，不合题意； 若，解得，由题意可得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 14．设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】利用换元法可得，进而根据不等式的性质求解. 【详解】令其中， 所以， 因为，则，即， ， 则,故,则， 当且仅当且时等号成立， 如取时可满足等号成立， 所以的最小值为， 故答案为： 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 16．设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题设有且仅有一个根，讨论参数a，结合函数性质求参数值. （2）由题设，应用分类讨论求一元二次不等式的解集. 【详解】（1）函数，又有且只有一个元素， 则方程有且仅有一个根， 当时，，即，则，满足题设； 当时，，即，则，满足题设， 所以的取值集合为. （2）依题意，，整理得， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 17．已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，方程有两个不等根、，由题意可得出，利用韦达定理结合，可求得实数的值； （2）分析可知，方程在区间上有个不等根，根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 18．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车.新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车等.目前新能源汽车越来越普及，对充电桩的需求量也越来越大，某商场计划在地下停车库安装公共充电桩，以满足顾客的需求.据市场分析，公共充电桩的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成一元二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，营运六年时总利润最大，最大为110万元． (1)求出y关于x的函数关系式； (2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润÷营运年数）． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】（1）根据已知条件，设出二次函数的顶点式，再结合题意列出式子即可求解； （2）结合（1）的结论，先求出，再结合基本不等式的公式即可求解. 【详解】（1）因为营运六年时总利润最大，最大为110万元， 所以二次函数的开口向下，且顶点坐标为， 所以设该函数为， 营运三年时总利润为20万元， 即，解得， 所以. 即. （2）由（1）知， 所以营运的年平均总利润为， 当且仅当，即时，等号成立， 故营运的年平均总利润的最大值为20万元. 19．法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【详解】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． （3）由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$