第06讲 全称量词命题与存在量词命题（4知识点+5大题型+思维导图+过关测试）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第06讲 全称量词命题与存在量词命题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全称量词与存在量词 （1）全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”. （2）存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在 x”. 知识点2：全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 （2）全称量词命题的符号及记法 记作：， 读作：对任意属于，有成立 （3）存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 （4）存在量词命题的符号及记法 记法：， 读法：存在中的元素，使得成立 知识点3：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为真即可;否则命题为假. 要判定一个全称量词命题为真,必须对给定的集合中的每一个元素,命题都为真;但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为假. 知识点4：全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题：，否定为：， 存在量词命题：，否定为：， 其中,“”是对语句“”的否定 对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”. 一般地,对全称量词命题的否定,主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”;对存在量词命题的否定,主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有” 【题型1 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【变式1-1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 【变式1-3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【题型2 判断全称量词命题/存在量词命题的真假】 例2．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【变式2-1】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【变式2-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【变式2-4】（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 【题型3 全称量词命题的否定】 例3-1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）命题“，”的否定为 （    ） A．， B．， C．， D．， 例3-2．（24-25高一上·河南驻马店·期中）命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为 ，否定后的命题是 命题（填“真”或“假”）. 【变式3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【变式3-3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）命题：菱形的对角线相等的否定是 【变式3-4】（24-25高三上·山东菏泽·期中）命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是 ． 【题型4 存在量词命题的否定】 例4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-2】（2025高三下·全国·专题练习）已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（    ） A．：“任意，使得” B．：“不存在，使得” C．：“任意，使得” D．：“任意，使得” 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【题型5 全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解】 例5-1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 例5-2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 例5-3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 例5-4．已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【变式5-1】若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式5-4】已知命题命题若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）命题，是假命题，则实数的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（     ） A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．任意实数的平方大于0 C．有些菱形是正方形 D．对任意的整数不是4的倍数 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 8．（24-25高一上·山西晋城·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．， B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．若n为整数，则是偶数 D．若，则 9．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列命题是真命题的有（    ） A．“，”是真命题 B．“，”的否定是真命题 C．“至少有一个x使成立”是全称量词命题 D．命题“，”的否定是“，或” 三、填空题 11．（24-25高一上·广西·阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是 . 12．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“不是所有的实数都能写成小数形式”用量词符号“”或“”表示为 ．它是 （填“真”或“假”）命题． 13．若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ． 14．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 15．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 16．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假： （1）一切矩形都是平行四边形； （2）有些无理数的平方也是无理数； （3）对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0； （4）存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立 （5）无论取什么实数，方程必有实根； （6）方程至少存在一个负根； （7）存在一个x∈R，使； （8）有一个角α，使. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 18．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于x的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B. (1)求集合A、B； (2)若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 20．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 全称量词命题与存在量词命题 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：全称量词与存在量词 （1）全称量词 “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”. （2）存在量词 “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在 x”. 知识点2：全称量词命题与存在量词命题 （1）全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题 （2）全称量词命题的符号及记法 记作：， 读作：对任意属于，有成立 （3）存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题 （4）存在量词命题的符号及记法 记法：， 读法：存在中的元素，使得成立 知识点3：判断全称量词命题与存在量词命题的真假 要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为真即可;否则命题为假. 要判定一个全称量词命题为真,必须对给定的集合中的每一个元素,命题都为真;但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为假. 知识点4：全称量词命题与存在量词命题的否定 全称量词命题：，否定为：， 存在量词命题：，否定为：， 其中,“”是对语句“”的否定 对一个命题进行否定,就得到了一个新的命题,这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”. 一般地,对全称量词命题的否定,主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”;对存在量词命题的否定,主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有” 【题型1 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题】 例1．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 【变式1-1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 【变式1-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题： (1)负数没有倒数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除；又能被5整除； (3){x|x是无理数}，是无理数； (4)，则. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题定义判断即可 【详解】（1）负数没有倒数是“任意负数没有倒数”，有全称量词是全称量词命题 （2）至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；有存在量词“至少有一个”是存在量词命题 （3）{x|x是无理数}，是无理数；有全称量词是全称量词命题 （4），则.有全称量词是全称量词命题 【变式1-3】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 (3)答案见详解 【分析】先根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，再用符号表示即可． 【详解】（1）全称量词命题．表示为，． （2）存在量词命题．表示为一次函数，它的图象过原点． （3）全称量词命题．表示为二次函数，它的图象的开口都向上． 【题型2 判断全称量词命题/存在量词命题的真假】 例2．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)对每一个无理数x，也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)，有. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)，满足. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)全称量词命题，假命题 (2)全称量词命题，真命题 (3)全称量词命题，假命题 (4)存在量词命题，真命题 (5)存在量词命题，假命题 (6)存在量词命题，真命题 (7)存在量词命题，真命题 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用全称量词命题和存在量词命题的定义及真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）是全称量词命题，因为是无理数，但是有理数， 所以“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）是全称量词命题，因为每一个末位是零的整数，都能被5整除， 所以“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）是全称量词命题，当时，不满足， 所以“，有”为假命题． （4）是存在量词命题，由于空集中不含有任何元素． 因此 “有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）是存在量词命题，由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6）是存在量词命题，，有，因此“，”是真命题． （7）是存在量词命题，由于存在整数3只有正因数1和3， 所以“有些整数只有两个正因数”为真命题． 【变式2-1】（24-25高一上·广东东莞·期中）下列命题中，是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．梯形是四边形 B．， C．， D．存在一个实数x，使 【答案】A 【分析】分别判断各命题是否为全称量词命题，是否为真命题. 【详解】对于A，是全称量词命题且为真命题，A选项正确； 对于B，是全称量词命题，当时，，命题为假命题，B选项错误； CD选项都为存在量词命题，不合题意. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 【变式2-3】（24-25高一上·全国·课后作业）指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假． (1)任意两个等边三角形都相似； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数，，若，都有； (4)存在一个实数x，使得． 【答案】(1)全称量词命题，真命题； (2)存在量词命题，真命题； (3)全称量词命题，假命题； (4)存在量词命题，假命题. 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的描述判断全称、存在量词命题，进而确定其真假. 【详解】（1）全称量词命题，所有的等边三角形都有三边对应成比例，该命题是真命题． （2）存在量词命题，存在一个实数零，它的绝对值不是正数，该命题是真命题． （3）全称量词命题，存在，但，该命题是假命题． （4）存在量词命题，由于，则，因此使得的实数x不存在，该命题是假命题． 【变式2-4】（24-25高一上·全国·随堂练习）判断下列全称量词或存在量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x2也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)∀x∈R，有|x＋1|>1. (4)有的集合中不含有任何元素． (5)存在对角线不互相垂直的菱形． (6)∃x∈R，满足3x2＋2>0. (7)有些整数只有两个正因数． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)假命题 (6)真命题 (7)真命题 【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的真假判断方法，逐一判断各个命题得解. 【详解】（1）因为是无理数，但是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题． （2）因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题． （3）当时，不满足，所以“，有”为假命题． （4）由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． （5）由于所有菱形的对角线都互相垂直，所以不存在对角线不垂直的菱形， 因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题． （6），有，因此存在量词命题“，”是真命题． （7）由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题． 【题型3 全称量词命题的否定】 例3-1．（24-25高一下·广西柳州·开学考试）命题“，”的否定为 （    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据含全称量词的命题的否定规则即得. 【详解】根据含全称量词的命题的否定规则，改变量词，否定结论即得：命题“，”的否定为“，”. 故选：C. 例3-2．（24-25高一上·河南驻马店·期中）命题“任何正数的立方根都是正数”的否定为 ，否定后的命题是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】 存在正数的立方根不是正数 假 【分析】根据全称命题的否定及真假判断即可. 【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“存在正数的立方根不是正数”，正数的立方根是正数所以是假命题. 故答案为：存在正数的立方根不是正数；假. 【变式3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定求解即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：B. 【变式3-2】（2025·甘肃·模拟预测）若命题，则（    ） A．是真命题，且 B．是真命题，且 C．是假命题，且 D．是假命题，且 【答案】C 【分析】由命题的否定的定义以及命题真假性的定义即可求解. 【详解】当时，，所以是假命题，且. 故选：C. 【变式3-3】（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）命题：菱形的对角线相等的否定是 【答案】有些菱形的对角线不相等. 【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出结论即得. 【详解】“菱形的对角线相等”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以菱形的对角线相等的否定是：有些菱形的对角线不相等. 故答案为：有些菱形的对角线不相等. 【变式3-4】（24-25高三上·山东菏泽·期中）命题：“所有能被4整除的正整数能被2整除”的否定是 ． 【答案】存在能被4整除的正整数不能被2整除 【分析】利用全称量词命题的否定方法即可求解. 【详解】“所有能被4整除的正整数都能被2整除”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以“所有能被4整除的正整数都能被2整除”的否定是：“存在能被4整除的正整数不能被2整除”． 故答案为：存在能被4整除的正整数不能被2整除． 【题型4 存在量词命题的否定】 例4．（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在性命题的否定求解. 【详解】由存在性命题的否定知， ，的否定是，. 故选：C 【变式4-1】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【变式4-2】（2025高三下·全国·专题练习）已知命题：“存在，使得”，则下列说法正确的是（    ） A．：“任意，使得” B．：“不存在，使得” C．：“任意，使得” D．：“任意，使得” 【答案】C 【分析】利用存在量词命题的否定即可得到结果. 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以：“任意，使得”． 故选：C 【变式4-3】（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，命题是奇数，则（   ） A．是奇数．是假命题 B．是奇数．是真命题 C．是奇数．是真命题 D．是奇数．是假命题 【答案】A 【详解】因为，且1是奇数，所以A正确． 【题型5 全称量词命题和存在量词命题的综合问题及参数求解】 例5-1．已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 例5-2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，然后求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 因为当时， 所以. 故选：B 例5-3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若命题，是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题，是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）由于，是真命题，所以，所以，解得，故m的取值范围是． （2）由题意，所以，即，解得．当时，或，解得．所以当时，．故m的取值范围是． 例5-4．已知命题，命题. (1)若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得命题为真命题，列出不等式，即可得到结果； （2）根据题意，先求得当命题为真命题时的范围，即可得到为真命题时的范围，再结合（1）中的结论，即可得到结果. 【详解】（1）若命题为假命题，则命题为真命题， 即在恒成立，所以， 即实数的取值范围是. （2）当命题为真命题时，因为， 所以，解得或， 因为为真命题，则， 又由（1）可知，命题为真命题时， 所以且，即实数的取值范围是. 【变式5-1】若命题“，”是真命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，，所以，解得 故选：A 【变式5-2】命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 【变式5-3】设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解. （2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 【变式5-4】已知命题命题若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据命题为真命题，得到，写出，根据为真命题，得到，求出答案. 【详解】为真命题，故，解得， 为真命题，故，解得， 所以实数的取值范围是. 一、单选题 1．（24-25高一下·江西·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可得解. 【详解】因为命题“”为存在量词命题， 所以其否定为“”. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，若，则不成立，故A错误；对于B，当时，恒成立，故B正确；对于C，当时，不成立，故C错误；对于D，若，则不成立，故D错误. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）命题，是假命题，则实数的值可能是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】因为命题，是假命题，所以命题：，是真命题，也即，恒成立，则有，解得，根据选项的值，可判断选项B符合． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知“”为真命题，“”为真命题，那么p，q的取值范围分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】“”为真命题，则，“”为真命题，则． 二、多选题 6．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（     ） A．每一个末位是0的整数都是5的倍数 B．任意实数的平方大于0 C．有些菱形是正方形 D．对任意的整数不是4的倍数 【答案】AD 【分析】根据命题所含量词判断全称量词命题，再判断真假即可. 【详解】由题意，ABD是全称量词命题，C是存在量词命题， 其中AD都是真命题，B 中，为假命题. 故选：AD 7．（25-26高一上·全国·课后作业）下列是全称量词命题的否定的有（   ） A．存在一个能被2整除的整数不是偶数 B．存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上 C．存在实数不是方程的根 D．没有一个平行四边形是菱形 【答案】ABC 【详解】对于A，“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故A是；对于B，“每一个三角形的三个顶点在同一个圆上”的否定是“存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上”，故B是；对于C，“任何实数都是方程的根”的否定是“存在实数不是方程的根”，故C是；对于D，“有些平行四边形是菱形”的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形，是存在量词命题的否定，故D不是． 方法总结 全称量词命题和存在量词命题是互为否定的关系1．总结起来就是“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，的范围没有变，只是对结论进行了否定． 2．一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 8．（24-25高一上·山西晋城·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．， B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．若n为整数，则是偶数 D．若，则 【答案】AC 【分析】举例判断A，根据菱形定义判断B，根据整数性质判断C，因式分解判断D. 【详解】对于A，当时，，所以，为真命题. 对于B，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，为假命题. 对于C，，相邻两个整数必有一个奇数，一个偶数，乘积为偶数，为真命题. 对于D，若，则，所以或，假命题. 故选：AC 9．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据存在量词命题为真命题求出的取值范围，结合集合的包含关系可得出结果. 【详解】若命题“，”为真命题，则， 因为，，， 所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是BD选项. 故选：BD. 10．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）下列命题是真命题的有（    ） A．“，”是真命题 B．“，”的否定是真命题 C．“至少有一个x使成立”是全称量词命题 D．命题“，”的否定是“，或” 【答案】ABD 【分析】结合全称量词命题与存在量词命题的真假逐个分析解答． 【详解】对于A，当时，，是真命题，故A正确； 对于B，显然“”是假命题，所以其否定是真命题，故B正确； 对于C，“至少有一个”是存在量词，命题为存在量词命题，故C错误； 对于D，命题“”的否定为“或”，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题 11．（24-25高一上·广西·阶段练习）若命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可由恒成立求解最值求解. 【详解】命题“，”是假命题，则命题的否定“，”是真命题， 所以，实数a的取值范围是 故答案为：. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“不是所有的实数都能写成小数形式”用量词符号“”或“”表示为 ．它是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 不能写成小数形式 真 【详解】因为“不是所有的实数都能写成小数形式”即“存在实数不能写成小数形式”，所以可以表示为：不能写成小数形式．又无理数是不能写成小数形式的，所以它是真命题． 13．若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得，列不等式求的取值范围. 【详解】因为“”为假命题， 所以“”为真命题， 即方程没有实数根， 所以，故， 所以的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若命题“，”为真命题，则实数k的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得，利用单调性可求在的最小值. 【详解】命题“，”为真命题， 所以，又在上单调递增， 所以，所以， 所以实数k的最大值为. 故答案为：. 15．（2025高一·全国·专题练习）已知命题，都有，命题，使，若命题为真命题，命题的否定为假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】命题的否定为假命题，所以为真命题， 命题，都有，为真命题，则，即． 命题，使，为真命题，则，即． 因为命题同时为真命题，所以和同时成立，故， 故答案为： 四、解答题 16．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假： （1）一切矩形都是平行四边形； （2）有些无理数的平方也是无理数； （3）对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0； （4）存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立 （5）无论取什么实数，方程必有实根； （6）方程至少存在一个负根； （7）存在一个x∈R，使； （8）有一个角α，使. 【答案】（1）（3）（5）是全称量词命题，（2）（4）（6）（7）（8）是存在量词命题；（1）（2）（3）（4）（6）（8）是真命题，（5）（7）是假命题. 【分析】（1）一切矩形表示所有的矩形，所以是全称量词命题；（2）有些表示部分含义，所以是存在量词命题；（3）任意表示全部含义，所以是全称量词命题；（4）存在表示部分含义，所以是存在量词命题；（5）无论表示全部含义，所以是全称量词命题；（6）至少表示部分含义，所以是存在量词命题；（7）存在表示部分含义，所以是存在量词命题；（8）有一个表示部分的含义，所以是存在量词命题 【详解】（1）一切矩形表示所有的矩形，所以是全称量词命题，由矩形的定义可知此命题是真命题； （2）有些无理数表示一部分无理数，所以是存在量词命题，如，和无均为无理数，所以此命题为真命题； （3）对任意x表示全部的含义，所以是全称量词命题，由得，所以，所以，所以此命题为真命题； （4）存在a＝1且b＝2，表示部分含义，所以是存在量词命题，是真命题； （5）无论取什么实数，表示全部含义，所以是全称量词命题，而当时，方程为，方程无实根，所以此命题为假命题； （6）至少表示部分含义，所以是存在量词命题，方程的根为，因为，所以，所以此命题为真命题； （7）存在一个x∈R，表示部分含义，所以是存在量词命题，而无解的，所以此命题是假命题； （8）有一个表示部分的含义，所以是存在量词命题，时，，所以此命题为真命题. 综上，（1）（3）（5）是全称量词命题，（2）（4）（6）（7）（8）是存在量词命题；（1）（2）（3）（4）（6）（8）是真命题，（5）（7）是假命题. 【点睛】此题考查全称量词命题和存在量词命题的判断，考查全称量词命题和存在量词命题真假的判断，判断全称量词命题时，一假必假，判断存在量词命题时，一真必真，属于基础题. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)，方程有实数根； (3)，，方程都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0． 【答案】(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行 (2)，方程没有实数根 (3)，，使方程的解不唯一或不存在 (4)存在被5整除的整数，末位不是0 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可写出原命题的否定. 【详解】（1）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在一个平行四边形，它的对边不都平行. （2）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，方程没有实数根. （3）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： ，，使方程的解不唯一或不存在。 （4）根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得原命题的否定为： 存在被5整除的整数，末位不是0. 18．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：关于的不等式成立，命题乙：关于x的方程有两个不相等的正实数根，设命题甲、命题乙为真命题时实数m的取值分别组成集合A、B. (1)求集合A、B； (2)若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1)A，且； (2)或或. 【分析】（1）解绝对值不等式可得集合A，注意到，据此结合题意可得B； （2）由题意命题甲、乙一真一假，然后结合（1）可得答案. 【详解】（1） ，即A； 注意到，又方程有两个不相等的正实根， 则且，即且； 故A，且； （2）由题命题甲、乙一真一假， 由（1），当命题甲为假时，或；当命题乙为假时，或； 则当甲真乙假时，； 当甲假乙真时，或； 综上：当命题甲、乙中有且仅有一个是真命题时，或或. 20．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知集合，，且. (1)若命题，是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题，是假命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题为真命题可得，且，再根据子集列不等式求解范围即可； （2）由，是假命题，则，是真命题，即，再列不等式求解即可. 【详解】（1）由命题为真命题可得，且 则，解得. 即实数的取值范围为. （2），是假命题 ，是真命题，即 ，解得， 即实数的取值范围为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$