精品解析：安徽省蚌埠市固镇县毛钽厂实验中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

固镇县毛钽厂实验中学2024～2025学年高一6月月考 数 学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若实数，满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解. 【详解】因为实数，满足， 所以，则. 故选：B 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 正方体是平行六面体 C. 长方体是平行六面体 D. 平行六面体是四棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体， 故A错误； 对于选项B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 对于选项C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确； 对于选项D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确； 故选：A. 3. 某班有45名学生，其中男生25人，女生20人．现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质进行求解即可. 【详解】因为用分层抽样的方法， 所以应抽取的男生人数为， 故选：C 4. 已知向量，的夹角为45°，且，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积及运算律计算即可. 【详解】因为向量，的夹角为45°，且，， 所以， 则. 故选：A. 5. 已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ） A. ，则 B. ，则直线，直线 C. ，则 D. ，且不共线，则重合 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面，可得重合，所以D正确. 故选：C 6. 一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 2海里 B. 3海里 C. 4海里 D. 5海里 【答案】A 【解析】 【分析】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，然后在中利用余弦定理求解即可. 【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置， 由题意知，，． 由余弦定理得， 所以，化简得， 解得或（舍去）， 所以灯塔与轮船原来的距离为2海里， 故选：A 7. 已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】引入参数，由平面向量基本定理建立方程组即可求解. 【详解】若与共线，则设， 因为向量与能作为平面向量的一组基底， 所以，所以，解得. 故选：B. 8. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解. 【详解】解：由托勒密定理，得． 因为，所以． 设圆的半径为，由正弦定理，得． 又，所以． 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，则，故． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一组数据的众数，百分位数，极差和标准差的定义逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由题意知这组数据中数字9出现了3次，次数最多，故A正确； 对于B，将这组数据从小到大排列，可得6，6，7，8，9，9，9，10，由，可知分位数是第4个数8，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的平均数是，方差是，所以这组数据的标准差是，故D错误． 故选：AC． 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 B. 复数对应的点位于第一象限 C. 若复数z满足，则 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以10为半径的圆 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A根据纯虚数的定义即可判断，对于B先计算复数，根据复数的几何意义即可判断，对于C若即可判断，对于D根据复数的几何意义即可判断. 【详解】对于A，若复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故A错误； 对于B，由，所以复数对应的点为位于第一象限，故B正确； 对于C，复数满足，但，故C错误； 对于D，若复数z满足，根据复数的几何意义则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以10为半径的圆，故D正确． 故选：BD． 11. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ） A. 与垂直 B. 与平行 C. 点到点，，，的距离相等 D. 与平面，与平面所成的角可能相等 【答案】AC 【解析】 【分析】 由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点. 因为，所以，所以平面，所以，从而A正确； 由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B错误； 点是的外心，所以到，，的距离相等， 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C正确； 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，，所以两个角不可能相等，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法： （1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直； （2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可； （3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，利用复数相等可得，求解即可. 【详解】设，因为，所以， 可得，解得为，则的虚部为. 故答案为：. 13. 如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据原几何图形的面积与直观图的面积之比可快速的计算出答案． 【详解】解：由直观图可得：原几何图形的面积与直观图的面积之比为：1 又∵正方形O'A'B'C'的边长为2cm， ∴正方形O'A'B'C'的面积为4cm2， 原图形的面积S=cm2， 【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直观图面积和原图面积之间关系，属基础题． 14. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，，，结合长方体模型得出球O的半径，进而得出球O的表面积. 【详解】由题意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体. 由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，， 所以球O的表面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与的夹角为135°，求实数的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）应用平面向量数量积坐标公式计算结合向量夹角余弦公式计算求参； （2）应用数量积运算律结合投影向量公式计算求解. 小问1详解】 由题意知，解得或. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 解得，∴. 故在上的投影向量为. 16. 某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如下图所示． （1）求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在上的人数； （2）若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）． 【答案】（1），成绩在上的人数为900人. （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为，结合频率分布直方图即可求得，再求得成绩在频率，根据频数计算公式即可求得结果； （2）根据频率分布直方图中位数的求解，结合已知数据，即可求得结果. 【小问1详解】 依题意，，故. 成绩在[80, 90)上的频率为， 所以，所求人数为3000×0.30=900. 【小问2详解】 依题意，本次初赛成绩前1500名参加复赛，即求该组数据的中位数， 因为 所以，进入复赛市民的分数应当为. 17. 在长方体－中，，，点是棱上的点，. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先作出异面直线与所成角，再去求其大小即可 （2）依据三棱锥等体积法去求点到平面的距离． 【小问1详解】 在平面ABCD内作交于，连接， 则为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，所以， 因为，所以 而所以△为正三角形，， 从而异面直线与所成角的大小为. 【小问2详解】 设点到平面的距离为， ，， 由得，所以． 18. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，， （1）求角B的大小； （2）若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 分析】（1）根据正弦定理先角化边，然后由余弦定理即可解出； （2）由（1）知，，根据三角形的面积公式可知，当最大时，△ABC面积最大，由余弦定理可得，根据基本不等式即可求出的最大值，从而求出AD的长． 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得，又，所以． 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 则，即. ∵，，∴， 当且仅当时，， 所以. 此时，. 在中，， 由正弦定理得. 19. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若直线与底面所成角余弦值为，求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）法一：连接，由为的中位线，得，由线面平行的判定得证；法二：设中点为中点为，连接，由三角形的中位线得证四边形为平行四边形，则，由线面平行的判定得证； （2）由题意，推导出，由此可证明平面； （3）由平面，得直线与底面所成的角为，得，设的中点为，连接，过点作的垂线交于，连接，由线面垂直的判定以及性质得是二面角的平面角，求解． 【小问1详解】 证明：法一：连接， 在中，因为为对应边上的中点， 所以为中位线，， 又平面平面， 平面； 法二：设中点为中点为，连接， 在中，因为为对应边上的中点， 所以为中位线，且， 同理，在中，且， 且， 四边形为平行四边形， ， 又平面平面， 平面； 【小问2详解】 在四边形中，， 所以都为等腰直角三角形，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以直线平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面． 【小问3详解】 直线与底面所成角的余弦值为，且平面， 直线与底面所成的角为，又， 则， 在中，， ， 设的中点为，连接，过点作的垂线交于，连接， 由（1）知，，且平面， 则平面，平面，， 平面，平面， 平面，，又， 则是二面角的平面角， ， ， 设二面角的平面角为，则二面角的正切值为． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得到是二面角的平面角，再结合解三角形知识即可顺利得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 固镇县毛钽厂实验中学2024～2025学年高一6月月考 数 学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第九章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若实数，满足，则（ ） A B. 3 C. D. 1 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 直四棱柱是长方体 B. 正方体是平行六面体 C. 长方体是平行六面体 D. 平行六面体是四棱柱 3. 某班有45名学生，其中男生25人，女生20人．现用分层抽样的方法，从该班学生中抽取9人参加禁毒知识测试，则应抽取的男生人数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知向量，夹角为45°，且，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是（ ） A. ，则 B. ，则直线，直线 C. ，则 D. ，且不共线，则重合 6. 一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ） A. 2海里 B. 3海里 C. 4海里 D. 5海里 7. 已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（ ） A. B. C. D. 8. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ） A 4 B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 B. 复数对应的点位于第一象限 C. 若复数z满足，则 D. 若复数z满足，则复数z对应点集合是以原点O为圆心，以10为半径的圆 11. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段的中点.则（ ） A. 与垂直 B. 与平行 C. 点到点，，，的距离相等 D. 与平面，与平面所成的角可能相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____. 13. 如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______． 14. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与的夹角为135°，求实数的值； （2）若，求向量在向量上的投影向量. 16. 某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如下图所示． （1）求a的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在上的人数； （2）若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）． 17. 在长方体－中，，，点是棱上的点，. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点到平面的距离． 18. 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，， （1）求角B的大小； （2）若AD是BAC的内角平分线，当ABC面积最大时，求AD的长． 19. 如图，在四棱锥中，为边上的中点，为边上的中点，平面平面，． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）若直线与底面所成角的余弦值为，求二面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$