第四章 第4节 万有引力与宇宙航行-【高考DNA解码】2026年高考物理一轮总复习学生用书word

第4节　万有引力与宇宙航行 链接教材·夯基固本 梳理·必备知识 1．(1)椭圆　焦点　(2)面积　(3)半长轴　公转周期 2．(1)正比　反比　(2)G　(3)质点　两球心 3．(1)7.9　最大　最小　(2)地球　(3)太阳 激活·基本技能 1．(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．D　[由M＝πR3ρ可知，两球半径加倍后，其质量M′＝8M，又r′＝2r，由万有引力定律F＝，F′＝，可得F′＝16F，选项D正确。] 3．C　[设地球质量为M，则该行星质量为6M，地球半径为R，则该行星半径为1.5R，由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得 G＝，解得v＝，分别代入地球和某行星的各物理量得v地球＝，v行星＝＝2＝2v地球＝16 km/s，故C正确。] 细研考点·突破题型 考点1 典例1　 D　[鹊桥二号中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，则有＝＝，D正确。] 典例2　D　[根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心的连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝r·vΔt，可知地球在近日点离太阳最近，地球在近日点的运行速度最大，地球在远日点离太阳最远，地球在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，故A错误；根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的，故B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，故C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。] 考点2 典例3　B　[设赤道处的重力加速度大小为g，物体在两极时万有引力大小等于重力大小，即G＝1.1mg，在赤道时万有引力大小等于重力和自转所需的向心力的合力大小，即G＝mg＋mω2R，由以上两式解得该行星自转的角速度为ω＝，故选B。] 典例4　C　[设地球的密度为ρ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有G＝mg，由于地球的质量M＝ρV＝ρ·πR3，联立解得g＝πGρR，在深度为d的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于半径为(R－d)的球体表面的重力，“蛟龙号”所处位置的重力加速度为g1＝πGρ(R－d)，联立可得＝，卫星在高度h处受到的重力，即为在该处受到的万有引力，即mg2＝，解得g2＝＝g，所以＝，故C正确。] 典例5　D　[设地球半径为R，物体在两极处有＝mg2，物体在赤道处有＝mg1＋mω2R，联立解得M＝，R＝，则地球的密度为ρ＝＝，代入地球半径R＝，解得ρ＝·，故A、B、C错误，D正确。] 典例6　 D　[设太阳、地球、月球的半径分别为R太、R地、R月，月球绕地球转动的半径为r月，地球绕太阳转动的半径为r地，根据题意，由几何关系，有＝，根据万有引力提供向心力，有＝m月r月，＝M地r地，星球的密度ρ地＝，ρ太＝，可得＝＝，故D正确，A、B、C错误。] 考点3 典例7　C　[根据G＝m＝mr，可得v＝，T＝2π，组合体的轨道半径大于近地轨道半径，可知组合体的运行速度小于7.9 km/s；组合体轨道半径小于同步卫星的轨道半径，可知组合体的运行周期小于地球同步卫星的周期，故选C。] 典例8　ABD　[根据万有引力提供向心力有F＝G＝m＝mω2r, 所以F＝G，v＝，ω＝，所以vA>vB＝vC，ωA>ωB＝ωC，FA>FB，FB<FC，故A、B正确，C错误；根据开普勒第三定律可得轨道半径与运行周期关系为＝＝，故D正确。] 典例9　 B　[地球同步卫星不可能静止在北京上空，故A错误；根据万有引力提供向心力 G＝m，可得v＝，则＝＝，故B正确；同步卫星与地球赤道上物体的角速度相同，根据v＝ωr，则＝＝n，故C错误；根据万有引力与重力的关系G＝mg，根据牛顿第二定律G＝ma，可得a＝g，故D错误。] 典例10　D　[由题意可知，卫星a、c的角速度相同，根据an＝ω2r，可知a的向心加速度小于c，b、c是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G＝man，得an＝，可知b的向心加速度大于c，综上分析可知，a的向心加速度小于b的向心加速度，故A错误；因为a、c的角速度相同，根据v＝ωr，可知a的线速度大小小于c，即va＜vc，b、c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力有G＝m， 得v＝，因rb＜rc＜rd，则vb＞vc＞vd，故B错误；因b的线速度最大，则在相同时间内b转过的弧长最长，故C错误；c、d是围绕地球公转的卫星，根据万有引力提供向心力得T＝2π，因d的轨道半径大于c的轨道半径，则d的周期大于c的周期，而c的周期是24 h，则d的运动周期可能是30 h，故D正确。] 即时检验·感悟高考 1．C　[该人造卫星的质量不能确定，A错误；该卫星和月球环绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由F＝G可知，该卫星、月球受到地球的万有引力大小不确定，所以二者的向心力大小也不能确定，B、D错误；由牛顿第二定律得G＝ma，解得a＝G，因为该卫星与月球的轨道半径相等，所以二者向心加速度大小相等，C正确。] 2．B　[由G＝mr可得M＝，故＝＝≈0.1，B正确。] 3．BD　[鹊桥二号从C经B到D过程与月心连线扫过的面积大于鹊桥二号从D经A到C过程与月心连线扫过的面积，由开普勒第二定律可知，鹊桥二号从C经B到D的运动时间t1大于鹊桥二号从D经A到C的运动时间t2，又t1＋t2＝T，故t1＞＝12 h，A错误；鹊桥二号运动过程中，由牛顿第二定律有G＝ma，则鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比＝≈，B正确；由速度方向为轨迹切线方向，结合几何关系可知，鹊桥二号在C、D两点的速度方向不垂直于其与月心的连线，C错误；由于鹊桥二号的轨道为环月椭圆轨道，则鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)，又其没有完全脱离地球的束缚，所以其发射速度大于第一宇宙速度(7.9 km/s)且小于第二宇宙速度(11.2 km/s)，D正确。] 4．B　[由题图(b)可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为T＝t1－t0，则P的公转周期为t1－t0，故A错误；P绕Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得G＝mr，解得半径为r＝，故B正确；P的角速度为ω＝＝，故C错误；P的加速度大小为a＝ω2r＝·＝·，故D错误。] 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4节　万有引力与宇宙航行 [学习目标]　1．理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。 2．掌握计算天体质量和密度的方法。 3．掌握卫星运动的规律，会分析卫星运行时各物理量之间的关系。 4．理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。 1．开普勒三定律 (1)轨道定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是____，太阳处在椭圆的一个____上。 (2)面积定律：某个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等。 (3)周期定律：所有行星轨道的______的三次方与它的________的二次方的比值都相等。 2．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成____，与它们之间距离r的二次方成____。 (2)表达式：F＝__，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 (3)适用条件：①公式适用于____间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是______间的距离。 3．宇宙速度 (1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝______ km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的____环绕速度，也是人造地球卫星的____发射速度。 (2)第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度。 (3)第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是物体挣脱____引力束缚的最小发射速度。 1．易错易混辨析 (1)围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点。 (　　) (2)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝G 计算物体间的万有引力。 (　　) (3)两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大。 (　　) (4)不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。 (　　) (5)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。 (　　) 2．(粤教版必修第二册改编)两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为(　　) A．2F B．4F C．8F D．16F 3．(人教版必修第二册习题改编)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，这颗行星的第一宇宙速度约为(　　) A．2 km/s B．4 km/s C．16 km/s D．32 km/s 开普勒行星运动定律 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。 半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　) A． C． 听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例2]　如图所示是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是(　　) A．夏至时地球的运行速度最大 B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的 C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则＝k，地球和火星对应的k值是不同的 D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 万有引力定律的理解及应用 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 　万有引力与重力的关系 [典例3]　某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为(　　) A． B． C． D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　星体表面上的重力加速度 [典例4]　近几年来，我国生产的“蛟龙号”下潜突破 7 000 m 大关，我国的北斗导航系统也组网完成。已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为(　　) A． B． C． D． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　天体质量和密度的估算 [典例5]　已知在地球表面上，赤道处的重力加速度大小为g1，两极处的重力加速度大小为g2，地球自转的角速度为ω，引力常量为G，地球可视为质量分布均匀的球体，则地球的密度为(　　) A．· · C．· · [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例6]　(2023·辽宁卷)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为(　　) A．k3 B．k3 C． [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 宇宙速度及人造卫星运行参数的分析与计算 1．第一宇宙速度的理解 (1)推导 方法一：由G＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。 方法二：由mg＝，得v1＝＝7.9×103 m/s。 (2)理解：第一宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度，也是人造地球卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π≈85 min。 2．物理量随轨道半径变化的规律 3．静止卫星的特点：六个“一定” 轨道面一定 轨道平面与赤道平面共面 周期一定 与地球自转周期相同，即T＝24 h 角速度一定 与地球自转的角速度相同 高度一定 h＝－R≈6R(恒量) 速率一定 运行速率v＝ 绕行方向一定 与地球自转的方向一致 [典例7]　(2025·八省联考云南卷)神舟十九号载人飞船与中国空间站完成自主交会对接后形成一个组合体。该组合体在距地面高约400 km(高于近地轨道高度)的轨道上运行，其轨道可近似视为圆。已知地球同步卫星位于地面上方高度约36 000 km处，则该组合体(　　) A．运行速度大于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 B．运行速度大于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 C．运行速度小于7.9 km/s，运行周期小于地球同步卫星的周期 D．运行速度小于7.9 km/s，运行周期大于地球同步卫星的周期 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例8]　(多选)(2024·天津红桥一模)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB<mC，则对于三颗卫星，正确的是(　　) A．运行线速度大小关系为vA>vB＝vC B．运行角速度大小关系为ωA>ωB＝ωC C．向心力大小关系为FA＝FB<FC D．轨道半径与运行周期关系为＝＝ [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例9]　(2024·广西贵港一模)2024年2月23日，长征五号遥七运载火箭搭载通信技术试验卫星十一号发射成功，被誉为龙年首发。卫星进入地球同步轨道后，主要用于开展多频段、高速率卫星通信技术验证。设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法正确的是(　　) A．地球同步卫星可以静止在北京上空 B．同步卫星运行速度是第一宇宙速度的 C．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的 D．若忽略地球的自转效应，则同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的 [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例10]　有a、b、c、d四颗地球卫星：a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动；b在地球的近地圆轨道上正常运行；c是地球同步卫星；d是高空探测卫星。各卫星排列位置如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．a的向心加速度大于b的向心加速度 B．四颗卫星的线速度大小关系是va＞vb＞vc＞vd C．在相同时间内d转过的弧长最长 D．d的运动周期可能是30 h [听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　卫星运行参量分析问题的解题技巧 (1)天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。 (2)灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式，G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf )2r。 (3)比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。 1．(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是(　　) A．质量 B．向心力大小 C．向心加速度大小 D．受到地球的万有引力大小 2．(2024·新课标卷)天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A．0.001倍 B．0.1倍 C．10倍 D．1 000倍 3．(多选)(2024·河北卷)2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道(如图)，近月点A距月心约为2.0×103 km，远月点B距月心约为1.8×104 km，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是(　　) A．鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h B．鹊桥二号在A、B两点的加速度大小之比约为 81∶1 C．鹊桥二号在C、D两点的速度方向垂直于其与月心的连线 D．鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s 且小于11.2 km/s 4．(2023·广东卷)如图(a)所示，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡，探测器探测到Q的亮度随时间做如图(b)所示的周期性变化，该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M，引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是(　　) A．周期为2t1－t0 B．半径为 C．角速度的大小为 D．加速度的大小为 10 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$