专题04 二次函数与一元二次方程、不等式（十大考点精讲）-2025-2026学年高一数学上学期秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

专题04 二次函数与一元二次方程、不等式 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、一元二次不等式 2 知识点2、二次函数的零点 2 知识点3、三个“二次”的关系 2 知识点4、解一元二次不等式的一般步骤 3 知识点5、解含参数的一元二次不等式 3 知识点6、简单分式不等式的解法 4 知识点7、不等式的恒成立问题 4 三、探究重点难点 4 重难点题型1 解一元二次不等式（不含参数） 4 重难点题型2 解一元二次不等式（含有参数） 6 重难点题型3 解分式不等式 8 重难点题型4 一元二次不等式与韦达定理及根的判别式 10 重难点题型5 由一元二次不等式求参数的范围 12 重难点题型6 一元二次不等式的恒成立问题 14 重难点题型7 一元二次不等式有解问题 16 重难点题型8 二次函数的零点问题 18 重难点题型9 一元二次不等式的实际应用 20 重难点题型10 三个“二次”关系的应用 23 四、突破热点题型 27 知识点一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】 (1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点四、解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【解读】 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 知识点五、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识六、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点七、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 重难点题型1 解一元二次不等式（不含参数） 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 例1.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】的两根为， 又对应的抛物线开口向上， 所以的解集为或， 故选：C 例2.不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】先整理不等式为二次项系数为正的情况，然后结合二次函数图像与判别式 【详解】不等式等价于， 二次函数图象开口向上，， 所以不等式的解集为全体实数， 故选：D. 1．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）不等式的解集为 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】将左式分解因式，借助于二次函数图象的性质即可求得. 【详解】，即，解得， 则其解集为. 故答案为：. 2．不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【详解】因为，又，所以不等式等价于，解得或． 重难点题型2 解一元二次不等式（含有参数） 1、数形结合处理． 2、含参时注意分类讨论． 例3.（2025高一上·河北保定·周考）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 例4.（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A正确，B、C、D错误. 故选：A. 1．（2025高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集. 【详解】当时，， 所以不等式的解集为. 故选：D. 2．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、解含有参数的一元二次不等式 【分析】应用一元二次不等式的解的情况计算求参结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解，则，得． 由“”可以推出“”，由“”不能推出“”， 所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件． 故选：D. 重难点题型3 解分式不等式 （1） （2） （3） （4） 例5.不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】分式不等式 【分析】根据分式不等式解法求解即可. 【详解】因为， 所以不等式的解集为. 故选：D 例6.（2025·海南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、分式不等式 【分析】求集合，再求. 【详解】因为集合， 即， 又， 所以. 故选：B． 1．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 2．（24-25高一下·上海·月考）不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】将分式不等式转化为整式不等式，再结合一元二次不等式组的求解，即可求得结果. 【详解】依题意得， 解得或， 故答案为： 重难点题型4 一元二次不等式与韦达定理及根的判别式 1、一定要牢记二次函数的基本性质． 2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换 例7.（24-25高一上·河南·月考）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 例8.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、一元二次方程根的分布问题 【分析】由一元二次方程根与系数的关系求解即可； 【详解】∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴解得. 故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C. 故选：C. 1．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值 【分析】利用韦达定理得到，再代入利用基本不等式计算可得. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 重难点题型5 由一元二次不等式的解求参数 例9.（24-25高一下·河北保定·周考）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据原不等式解集，判断的正负，以及由韦达定理求得关系；再对每个选项，逐一分析，即可判断和选择. 【详解】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 例10.不等式的解集为，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根与系数的关系求出即可. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的两根， 则，解得，所以. 故答案为： 1．（24-25高一下·上海宝山·周考）已知不等式的解集为，则实数 ． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据韦达定理可求参数的值，从而可得它们的乘积. 【详解】因为的解集为， 故的两个解为，故， 故，故， 故答案为：. 2．（24-25高一上·吉林通化·月考）（多选题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、解含参数的一元一次不等式 【分析】是方程的两根，且，A正确；由韦达定理得到，，从而解不等式得到B错误，D正确，，C错误. 【详解】由题意得是方程的两根，且，A正确； 故，即，， 所以，B错误； ，C错误； ， 解得，D正确. 故选：AD 重难点题型6 一元二次不等式的恒成立问题 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 例11.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据判别式，结合分类讨论即可求解. 【详解】当时，恒成立； 当时，要使恒成立，只需且，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 例12.（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为： 1．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出判别式范围即可求解. 【详解】不等式对一切实数恒成立， 则 则实数. 故选：B. 2．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 重难点题型7 一元二次不等式的有解问题 例13.（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 例14.（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 1．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 重难点题型8 二次函数的零点问题 例15.（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、一元二次方程根的分布问题、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由判断A；利用方程对应函数的性质列不等式组求参数范围，结合充分、必要性定义判断B、C、D. 【详解】A：由题设，显然无解，错； B：若方程无实根，则，即， 所以是方程无实数根的充分不必要条件，对； C：令，要使方程有两个正根， 所以，可得，故不是充要条件，错； D：同C分析， ，可得，故不是充要条件，错. 故选：B 例16.（24-25高一上·吉林长春·周考）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 1．（24-25高一上·福建南平·期中）（多选题）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 2．（23-24高一上·上海崇明·周考）若不等式的解集是，则实数，，满足的条件是 . 【答案】且 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】由题意不等式恒成立，由一元二次不等式恒成立的条件即可得解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以不等式恒成立， 所以当且仅当且. 故答案为：且. 重难点题型9 一元二次不等式的实际应用 例17．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】将问题转化为，结合二次函数的最值性质即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 例18.（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由题意可得，整理得， 即，解得，则的最大值是25. 故选：B 1．（25-26高一上·全国·课后作业）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】依题意，，解得，即实数的最小值为2． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m. 【答案】97.5 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】由题意直接代入后解一元二次不等式即可； 【详解】由题意可得，， 即， 解得， 因此，运动员水平距离最多为97.5m. 故答案为：97.5. 重难点题型10 三个“二次”关系的应用 例19.（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 例20.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）分别求解集合中的不等式，然后求它们的并集. （2）首先判断集合的关系，然后分为空集和非空集两种情况讨论的范围. 【详解】（1）由， 若， 则， ， 故； （2）， 即， ①当时，，即， 此时成立， 符合题意； ②当时，需满足：，解得． 综上，． 例21.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围． (2)设、是方程的两个根，若，求实数的值； 【答案】(1)； (2)或. 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）问题化为在R上恒成立，利用即可求参数范围； （2）由题意、是方程的两个根，应用韦达定理并结合列方程求参数值，注意验证. 【详解】（1）由题意，在R上恒成立，则， 所以，可得， 所以实数的取值范围为； （2）由题设，、是方程的两个根， 则，，， 由，即， 所以，可得或. 经验证，或均满足， 所以或. 1．已知实数，，满足恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】应用换元法，令，，则有恒成立，进而得到，即可得答案. 【详解】令，，则，故， 所以，而， 故，则，即的最小值为2.当且仅当时取到. 故选：A 2．（23-24高一上·四川绵阳·月考）已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、求二次函数的值域或最值、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）已知，把代入函数，将函数化为顶点式，因为完全平方项非负，所以能得出函数最小值，进而确定值域. （2）先把化简为，通过求判别式，根据取值不同分情况讨论.当，求出对应方程两根，得到不等式解集；当，不等式解集为；当，求出对应方程根，得到不等式解集. （3）先确定对称轴，结合范围得出值域，已知值域.根据是的子集，列出不等式组求解，再结合确定范围. 【详解】（1）当时， 所以 （2） ，得，时，对应方程的两根为 当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为          综上：当或时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 （3）当，的对称轴方程为， 由图可知，的值域为； 当时，的值域为； 又因，使得，则， 所以，得，又，所以 3．（24-25高一上·湖南长沙·周考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 【答案】(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】（1）当时，利用二次不等式的解法解不等式，可得其解集； （2）利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式组，解出的取值范围，利用韦达定理可得出关于的函数关系式，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，由，解得或， 所以，当时，不等式的解集为. （2）关于的方程有两个不相等的正实数根、， 所以，，解得， 因为， 因为，则，故. 故的取值范围为. 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】不等式即： 分解因式可得：，所以解集为. 故选：C 2．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】利用分式不等式和一元二次不等式可求得集合，再利用交集运算法则可得结果. 【详解】对于集合， ，进一步化简为， 所以或. 对于集合，因式分解得， 所以或. 所以或. 故选：C 3．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由方程的两根为，即可求解. 【详解】由题意可知：的两根为， 所以解得：， 经检验符合条件， 故选：A 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·周考）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 5．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】当时，原不等式为，符合题意；当时，要使关于的不等式的解集为，只需解得．综上，． 6．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【详解】规定向上为正方向，根据，有，解得，，则排球在抛出点以上停留的时间． 7．（24-25高一上·江西·月考）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】设售价为元，由题意构建销售额不等式求解即可； 【详解】设售价为元， 则销售量为， 销售额，整理可得， 解得， 所以最低售价为10元， 故选：D. 8．（24-25高一上·山东烟台·周考）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】首先求出两个不等式的解集，然后根据充分不必要条件的定义求出实数的取值范围. 【详解】由题意可得，且， 又 ， ， 则解得， 故选：D． 9．（24-25高一上·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 【答案】 【难度】0.65 【知识点】区间的定义与表示、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题可得不等式的解集为或，由不等式有3个整数解可得答案. 【详解】. 若，则不合题意； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为2，3，4，则； 若，不等式解集为，因恰有三个整数解，则三个整数为0，1，2，则. 故答案为： 10．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 11．（24-25高三上·北京·周考）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围. 【详解】设方程的两根为， 则, ∴ ∴， 故答案为： 13．（24-25高一上·上海·月考）某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用、解不含参数的一元一次不等式 【分析】根据题意，列出不等式求解即可． 【详解】由题可知，提价后每年可销售万件，所以， ， 整理得，，解得， 故答案为：． 14．已知函数在时的最小值为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由对称轴求得最小值为，确定，求解即可. 【详解】由，可得对称轴为， 当时，， 也即， 解得：， 故答案为： 15．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 【答案】(1)； (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】（1）由题意可知，和1是方程的两个根，再利用韦达定理求解即可； （2）分，和三种情况讨论，结合一元二次不等式的解法求解． 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两个根， 所以， 解得； （2）不等式可化为：， 整理得， 即， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为空集， 当时，， 则不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为 16．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）设. (1)若全称量词命题“”是真命题，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）应用一元二次不等式恒成立分和两种情况列不等式计算求参； （2）化简得，再应用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为函数， 因为全称量词命题“”是真命题， 当时，则有，不合乎题意， 当时，则有，解得， 因此，实数的取值范围是； （2）因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，当时，的最小值为4. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次函数与一元二次方程、不等式 一、知悉思维导图 2 二、落实主干知识 2 知识点1、一元二次不等式 2 知识点2、二次函数的零点 2 知识点3、三个“二次”的关系 2 知识点4、解一元二次不等式的一般步骤 3 知识点5、解含参数的一元二次不等式 3 知识点6、简单分式不等式的解法 4 知识点7、不等式的恒成立问题 4 三、探究重点难点 4 重难点题型1 解一元二次不等式（不含参数） 4 重难点题型2 解一元二次不等式（含有参数） 5 重难点题型3 解分式不等式 6 重难点题型4 一元二次不等式与韦达定理及根的判别式 7 重难点题型5 由一元二次不等式求参数的范围 8 重难点题型6 一元二次不等式的恒成立问题 9 重难点题型7 一元二次不等式有解问题 10 重难点题型8 二次函数的零点问题 11 重难点题型9 一元二次不等式的实际应用 12 重难点题型10 三个“二次”关系的应用 13 四、突破热点题型 14 知识点一、一元二次不等式 一般地，我们把只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 知识点二、二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】 (1)、对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)、对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点四、解一元二次不等式的一般步骤 1.通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 2.计算对应方程的判别式； 3.求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； 4.根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． 【解读】 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化． 知识点五、解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识六、简单分数不等式的解法 1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． 2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 知识点七、不等式恒成立问题 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 重难点题型1 解一元二次不等式（不含参数） 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上． （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 例1.不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 例2.不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 1．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）不等式的解集为 2．不等式的解集为 ． 重难点题型2 解一元二次不等式（含有参数） 1、数形结合处理． 2、含参时注意分类讨论． 例3.（2025高一上·河北保定·周考）若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例4.（24-25高一上·广东汕头·期末）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 1．（2025高一上·海南海口·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）“”是“关于的不等式有解”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 重难点题型3 解分式不等式 （1） （2） （3） （4） 例5.不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 例6.（2025·海南·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 2．（24-25高一下·上海·月考）不等式的解集为 . 重难点题型4 一元二次不等式与韦达定理及根的判别式 1、一定要牢记二次函数的基本性质． 2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换 例7.（24-25高一上·河南·月考）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 重难点题型5 由一元二次不等式的解求参数 例9.（24-25高一下·河北保定·周考）（多选题）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 例10.不等式的解集为，则 ． 1．（24-25高一下·上海宝山·周考）已知不等式的解集为，则实数 ． 2．（24-25高一上·吉林通化·月考）（多选题）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是  （      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 重难点题型6 一元二次不等式的恒成立问题 恒成立问题求参数的范围的解题策略 （1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． （2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论． 例11.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 例12.（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 1．若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 重难点题型7 一元二次不等式的有解问题 例13.（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 例14.（24-25高一上·广东肇庆·期中）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 1．（24-25高一下·湖北黄冈·月考）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 2．（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重难点题型8 二次函数的零点问题 例15.（23-24高一上·河北沧州·期中）已知关于x的方程，则下列结论中正确的是（    ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程无实数根的充分不必要条件是 C．方程有两个正根的充要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 例16.（24-25高一上·吉林长春·周考）若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 1．（24-25高一上·福建南平·期中）（多选题）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 2．（23-24高一上·上海崇明·周考）若不等式的解集是，则实数，，满足的条件是 . 重难点题型9 一元二次不等式的实际应用 例17．（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例18.（24-25高一上·云南昭通·期末）已知某零件原来的售价为15元，可售出50万件，据市场调查，该零件的单价每提高1元，销售量就减少2万件.现该零件的销售商计划对该零件进行提价销售，若提价后的售价为元，为使提价后该零件的销售总收入不低于原来的销售总收入，则的最大值是（    ） A．20 B．25 C．27 D．28 1．（25-26高一上·全国·课后作业）我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税．已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税元（叫作税率），则每年销售量将减少万瓶．如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，那么实数的最小值为 ． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）单板滑雪是北京冬奥会比赛项目之一，如图，若，某运动员自起跳点起跳后的运动轨迹（虚线部分）可近似看作一元二次函数图象，运动员竖直高度（单位：m）与距离起跳点的水平距离（单位：m）近似满足函数关系式，则运动员竖直高度不低于48m时，水平距离最多为 m. 重难点题型10 三个“二次”关系的应用 例19.（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 例20.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 例21.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知． (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围． (2)设、是方程的两个根，若，求实数的值； 1．已知实数，，满足恒成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·四川绵阳·月考）已知函数 (1)当，求函数的值域 (2)解关于的不等式 (3)当时，，使得，求实数的取值范围 3．（24-25高一上·湖南长沙·周考）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不相等的正实数根、，求的取值范围和的取值范围. 1．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北黄冈·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·周考）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在一次体育课上，某同学以初速度竖直上抛一排球，该排球能够在抛出点以上的位置最多停留的时间约为（   ） （注：若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度和时间满足关系，其中） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江西·月考）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．15元 D．10元 8．（24-25高一上·山东烟台·周考）若“”是“”的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·天津津南·期中）关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围 10．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ． 11．（24-25高三上·北京·周考）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是 . 12．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·上海·月考）某服装公司生产的衬衣，在某城市年销售8万件，现该公司在该市设立代理商来销售衬衫，代理商向服装公司收取销售金额的代理费．为此，该衬衫每件价格要提高到元才能保证公司利润．由于提价，每年将少销售万件，如果代理商每年收取的代理费不少于16万元，则的取值范围是 ． 14．已知函数在时的最小值为，则实数的取值范围是 ． 15．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 16．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·开学考试）设. (1)若全称量词命题“”是真命题，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$