进阶训练11 圆锥曲线中的离心率问题-【高考DNA解码】2026年高考数学一轮总复习学生用书word（基础版）

进阶训练(十一)　圆锥曲线中的离心率问题 1．(2024·贵阳市云岩区一模)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆M的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆M的离心率为(　　) [A]　 [B]　 [C]　 [D]　 2．(2024·临沧市云县期末)已知某双曲线以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为y＝x，则此双曲线的离心率为(　　) [A]　 [B]　2 [C]　2或 [D]　2或 3．(2024·乐山三模)设双曲线C1：－y2＝1(a>0)和椭圆C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e1＝2e2，则a＝(　　) [A]　 [B]　 [C]　 [D]　 4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) [A]　 [B]　 [C]　 [D]　 5．(2025·南京模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为a，则椭圆C的离心率为(　　) [A]　 [B]　 [C]　 [D]　 6．(2025·广州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　) [A]　 [B]　 [C]　(1，] [D]　[，＋∞) 7．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F (2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为________． 8．若斜率为的直线与双曲线＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________． 9．(2024·阜阳期末)已知椭圆C的焦点为F1，F2，P为C上一点，满足∠F1PF2＝，则C的离心率的取值范围是________． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 进阶训练(十一)　圆锥曲线中的离心率问题 1．A　[根据题意，如图， |AB|＝3，由椭圆的对称性可得|AF2|＝|BF2|＝， 又|F1F2|＝2，由勾股定理可得|AF1|＝＝＝， 所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，得a＝2，又c＝1，故离心率e＝＝． 故选A．] 2．D　[当双曲线的焦点在x轴上时，可得＝，则e＝＝＝2； 当双曲线的焦点在y轴上时，可得＝，则e＝＝＝．故选D．] 3．B　4．A　 5．D　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，作ON⊥PF1于点N，F2M⊥PF1于点M，由题意可得|ON|＝a，故|F2M|＝a，又∠F1PF2＝60°，即有|PM|＝a，|PF2|＝a，由m＋n＝2a，可得|MF1|＝a，因为|F1F2|＝2c，在直角三角形F1MF2中，由勾股定理得a2＋＝4c2，可得e＝＝．故选D．] 6．A　[设P(x，y)，|PB|≥b⇒≥b⇒x2＋y2－2by≥0(*)， 由＝1⇒x2＝a2，代入不等式*中， 化简，得y2－2by＋a2≥0恒成立， 则有Δ＝4b2－≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2－a2≤ac⇒e2－e－1≤0， 解得≤e≤，又e>1，所以1<e≤．故选A．] 7．　[由右焦点为F (2，0)，点A的坐标为(0，1)， 可得|AF|＝＝5． 因为△APF的周长不小于18， 所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13． 设F2为双曲线的左焦点， 可得|PF|＝|PF2|＋2a， 故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a， 当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值， 最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a， 所以5＋2a≥13，即a≥4． 因为c＝2，所以e＝＝． 又e>1，所以e∈．] 8．(，＋∞)　[因为斜率为的直线与双曲线＝1恒有两个公共点，所以>，则e＝＝>＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)．] 9．　[设椭圆C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c(a>b>0，c>0)，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，在△F1PF2中，∠F1PF2＝，有|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝，得－r1r2＝4c2，即(r1＋r2)2－3r1r2＝4c2，故r1r2＝(a2－c2)，因为≥2r1r2，即－r1r2≥r1r2，当且仅当r1＝r2时取等号，故4c2≥(a2－c2)，即4c2≥a2，故，解得e≥，由0<e<1，所以C的离心率的取值范围是．] 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $$