精品解析：四川省泸县第五中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

泸县五中高2024级高一下期期末考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，故A正确. 故选：A 2. 已知命题，则是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用命题的否定的求法求出即可. 【详解】因为命题是全称命题， 所以是，故D正确. 故选：D. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法运算法则，直接计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：A. 4. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. -6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，建立方程，结合象限角的定义，可得答案. 【详解】依题意，，其中，为坐标原点，则， 所以. 故选：D. 5. 已知平面向量，，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的基本概念，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】若或，则，反过来，若，两个向量的方向不确定，不能推出或， 所以“或”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若，且，则的值为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式求得sinα的值，再利用同角三角函数的基本关系求得cosα，再利用二倍角公式，求得sin2α的值． 【详解】解：，且， ，则， 故选A． 【点睛】本题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题． 7. 设函数是奇函数.若函数，则（ ） A. 28 B. 33 C. 38 D. 43 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用函数的奇偶性列出等式，然后根据的值求出的值. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：A. 8. 在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦余弦公式等对每个选项逐一求解，看值是否为即可. 【详解】对于A选项: ,符合题意； 对于B选项: ,符合题意, 对于C选项: ，不符合题意； 对于D选项：，符合， 故选：ABD. 10. 已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为4 C. 在上有3个零点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与对称性得到函数图象，即可判断A、C，再求出周期，即可判断B、D. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以的图象关于对称，且， 因为为偶函数，图象关于轴对称，且当时，，作出的图象，如下图所示： 由图可知，的值域为，故A错误； 对于B，因为是奇函数，所以， 即，因为为偶函数， 所以，即， 所以，即，所以函数的最小正周期为4，故B正确； 对于C，由图象可得在上，的图象与轴有3个交点，所以函数在上有个零点，故C正确； 对于D，由题意得，，所以，故D正确． 故选：BCD． 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；对于B：根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；对于C：根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；对于D：利用等体积法求点到平面的距离，结合线面夹角的定义运算求解. 【详解】对于选项A：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 所以平面， 且平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以直线平面，故A正确； 对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥， 且平面，平面，所以∥平面， 又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值， 且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确； 对在选项C：由选项B可知：∥， 所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角. 又因为，则为等边三角形， 当为的中点时，直线与直线的夹角最大， 可得，即直线与直线的夹角为； 当与点或重合时，直线与直线的夹角最小， 可得直线与直线的夹角为； 所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误； 对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2， 因为， 由等体积法可得，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误； 故选：AB. 【点睛】关键点睛：1.利用平行关系可知异面直线与所成角为直线与直线的夹角，进行分析求解； 2.利用等体积法求点到平面的距离，可知直线与平面所成角的正弦值为. 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义及向量的数量积、模运算即可. 【详解】结合题意可得：， 设与的夹角为，则， 故在上的投影向量为. 故答案为：. 13. 已知，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件,使用诱导公式及二倍角公式，化简，然后代值即可. 【详解】由题意，因为， 所以 故答案为：. 14. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积. 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，利用向量数量积运算法则得到，故，求出模长； （2）利用向量夹角余弦公式得到，得到. 【小问1详解】 ， 故， 故，解得， 故， 所以； 【小问2详解】 ， 又，故. 16. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； （2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，为偶函数，求函数的单调递减区间． 【答案】（1）；对称中心的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图像，求得，，再将点代入求得，得到函数，结合三角函数的性质，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，得到，由为偶函数，求得，得到，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：根据的图像知，且，所以，可得． 将点代入得且，解得， 所以． 令，解得， 所以的图像对称中心的坐标为． 【小问2详解】 解：由将的图像向右平移个单位，得到，因为为偶函数，可得，所以， 又因为，可得，所以， 所以 ， 令，可得， 所以函数的单调递减区间为． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且，侧棱底面，，为中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的平面角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题设及线面垂直的性质有、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）由题设，再应用棱锥的体积公式求体积； （3）设，连接，，利用线面垂直易得为二面角的平面角，结合已知求其大小即可. 【小问1详解】 因为底面是菱形，所以，又底面，平面， 所以，又，，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为是的中点，所以， 因为， 又，平面， 所以． 【小问3详解】 设，连接，， 由（1）知，平面，又，平面， 所以，，则为二面角的平面角， 因为四边形是菱形，，，所以， 因为底面，平面，所以， 在中，，为的中点，所以，， 又是的中点，是的中点，所以，所以， 所以，二面角的平面角为. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化简求值即可. （2）①由平面向量基本定理、向量的运算表示与，关系，根据余弦定理及基本不等式运算即可. ②由正弦定理表示,利用基本不等式求值即可. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， 展开得：， ，而,， 故， ，， ，故． 【小问2详解】 ① ， ， ， ， ， 根据余弦定理：， ， 令， 则 ， 则当且仅当时等号成立， 解得：时， 时，取最小值． ② 为的角平分线 在中，由正弦定理得， 即， ,, ， ． 又，,， ，当且仅当时等号成立， 故 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围． 【答案】（1）不是的“2重覆盖函数”；理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“重覆盖函数”的定义判断即可； （2）由题意可得即对任意，存在2个不同的实数），使得（其中），即，分和分别求解； （3）先求出，再做出函数的图象，数形结合解决问题. 【小问1详解】 由，可知． 当时，， 当时，解得， 此时在中只存在一个，使， 所以不是的“2重覆盖函数”； 【小问2详解】 由题意可得的定义域为， 即对任意，存在2个不同的实数）， 使得（其中）， ，则， ，即， 即对任意有2个实根， 当时，已有一个根， 故只需时，仅有1个根． 当时，，符合题意； 当时，发现， 则只需满足，解得， 综上得的取值范围为：． 【小问3详解】 因为， 当时，， 当时，且， 当且仅当时取等号，所以． 综上可得，即， 则对于任意要有2024个根， 作出函数的图象（部分），如图： 要使有2024个根，则， 又，则，故正实数的取值范围． 【点睛】难点点睛：本题难点在于对新概念的理解，只需根据定义将问题转化为对于定义域内任意实数m，直线与函数的图象有n个交点的问题，然后利用单调性或图象即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸县五中高2024级高一下期期末考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则是（ ）． A. B. C. D. 3. 复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. i 4. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ） A. -6 B. C. D. 5. 已知平面向量，，则“或”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，且，则的值为　　 A. B. C. D. 7. 设函数是奇函数.若函数，则（ ） A. 28 B. 33 C. 38 D. 43 8. 在中，点在边上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ） A. 的值域为 B. 的最小正周期为4 C. 在上有3个零点 D. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标是_____. 13. 已知，则________________. 14. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）求； （2）求与的夹角. 16. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； （2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，为偶函数，求函数的单调递减区间． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且，侧棱底面，，为中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求二面角的平面角的大小． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足． （1）求角． （2）为边上一点，且． ①若，求当取最小值时的值； ②若为角平分线，求的取值范围． 19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”． （1）试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由； （2）若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围； （3）函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $