精品解析：四川省成都市青白江区鸿鹄高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

鸿鹄高中2023－2024学年高一（上）期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：彭星祥 审题人：贺倩 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集的概念求解， 【详解】集合，，则， 故选：A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题可直接得出答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：D 3. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得. 【详解】由有意义，可得，解得且. 故选：D. 5. 设，，则M，N的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】运用作差比较法、结合配方法进行判断即可. 【详解】 ∴ 故选：A 6 已知函数则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数概念，代入对应解析式求解即可. 【详解】∵ ∴. 故选：A. 7. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 与的关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据，再利用是整数，是奇数即可判断集合间的关系. 【详解】∵， 是整数，是奇数，∴. 故选：A． 8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解的最小值，然后利用恒成立法则转化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以由恒成立，得，所以. 故选：D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分，多选或错选不得分，少选得2分） 9. 下列四组函数中，表示不同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 10. 已知∈R，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于ABC项：根据不等式的性质逐项判断.对于D项，使用作差法比大小. 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，两边同乘以得，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，又，两式相乘得 ，故C错误； 对于D：, 因为，所以,所以，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式即可逐一求解. 【详解】由基本不等式可知：当时，，当且仅当，等号成立，当时，，当且仅当，等号成立，故A错误， 由于，故B对， 由于，当且仅当时取等号，故C错， 由于，则，所以，当且仅当时取等号.故D正确， 故选：BD 12. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 若，则满足戴德金分割 B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，，A错；BD选项，可举出例子；C选项，推理出，C错误. 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，设，满足， 此时为戴德金分割，且没有最大元素，有一个最小元素，B正确； C选项，若有一个最大元素，有一个最小元素，则，故C错误； D选项，设，满足没有最大元素，也没有最小元素，D正确 故选：BD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 已知实数､满足，，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出即得解. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以. 故的取值范围为. 故答案为： 14. 已知，则的最小值为____________. 【答案】11 【解析】 【分析】应用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为11. 故答案为：11 15. 某校高中学生运动会，某班62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，总共有39人，而参加比赛的人数为31人，则多出来的人数为田赛和径赛都参加的人数. 【详解】62名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的有31名学生， 参加田赛的有16人，参加径赛的有23人， 则田赛和径赛都参加的学生人数为人 故答案为：8 点睛】本题考查集合运算，属于基础题. 16. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知：原题意等价于当时，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为当时，不等式恒成立，则， 原题意等价于当时，不等式恒成立， 又因，当且仅当，即等号成立， 可得，所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 已知集合，． （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据并集合的运算可得； （2）由补集的运算可得. 【小问1详解】 由已知，， 得； 【小问2详解】 由，， 得或 18. 解下列关于的不等式： （1）； （2）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分式不等式大于，即分子分母相乘大于，解不等式即可； （2）利用十字相乘因式分解，解不等式即可. 【小问1详解】 ， ， 或； 【小问2详解】 ， ， . 19. 已知． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用作差法证明不等式； （2）应用已知条件，常值代换根据基本不等式证明. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立． 20. 已知集合，． （1）若，定义集合或，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合间运算的新定义直接得解； （2）根据集合间的关系及命题的充分必要性列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知当时，， 又， 则； 【小问2详解】 若选①，则由，得， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且，解得； 综上所述，实数的取值范围为； 若选②，由“”是“”的充分不必要条件， 则， 当时，即，解得，此时满足，符合题意； 当时，，解得， 且且不同时取等号，解得； 综上所述，实数的取值范围为. 21. 已知不等式的解集为或． （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理可解； （2）根据m的范围分类讨论可得. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或 所以，且的两根为 所以，所以 【小问2详解】 即 ①若，则 ②若，则或 ③若， 当即时， 当即时，无解 当即时， 综上所述：时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 时，不等式的解集为 22. 生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元.其他设施等支出大约为万元，设游泳池的长为. （1）试将总造价（元）表示为长度的函数； （2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 【答案】（1）；（2）当时，总造价最低，且最低总造价为元. 【解析】 【分析】（1）求出游泳池的宽，分别计算出铺游泳池的花费和休闲区的花费，即可得出总造价（元）关于的函数； （2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可得出结论. 【详解】（1）因为游泳池的长为，所以游泳池的宽为， 铺游泳池的花费为， 休闲区的花费为， 所以，总造价为，其中； （2）由基本不等式可得 （元）， 当且仅当时，等号成立. 因此，当时，总造价最低，且最低总造价为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 鸿鹄高中2023－2024学年高一（上）期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：彭星祥 审题人：贺倩 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 设，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 设，，则M，N的大小关系为（ ）． A. B. C. D. 大小关系不确定 6. 已知函数则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 与的关系不确定 8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分，多选或错选不得分，少选得2分） 9. 下列四组函数中，表示不同函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知∈R，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列函数中最小值为2的是（ ） A. B. C D. 12. 1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机．将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（ ） A. 若，则满足戴德金分割 B. 若为戴德金分割，则没有最大元素，有一个最小元素 C. 若为戴德金分割，则有一个最大元素，有一个最小元素 D. 若为戴德金分割，则没有最大元素，也没有最小元素 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 已知实数､满足，，则的取值范围为___________. 14. 已知，则的最小值为____________. 15. 某校高中学生运动会，某班62名学生中有一半学生没有参加比赛，参加比赛的学生中，参加田赛的有16人，参加径赛的有23人，则田赛和径赛都参加的学生人数为______． 16. 已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17. 已知集合，． （1）求； （2）求． 18. 解下列关于的不等式： （1）； （2）. 19. 已知． （1）求证：； （2）若，求证：． 20. 已知集合，． （1）若，定义集合或，求； （2）给出以下两个条件：①；②“”是“”充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若___________，求实数的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 21. 已知不等式的解集为或． （1）求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式． 22. 生命在于运动，运动在于锻炼.其中，游泳就是一个非常好的锻炼方式.游泳有众多好处：强.身健体；保障生命安全；增强心肺功能；锻炼意志，培养勇敢顽强精神；休闲娱乐，促进身心健康.近几年，游泳池成了新小区建设的标配.家门口的“游泳池”，成了市民休闲娱乐的好去处.如图，某小区规划一个深度为，底面积为的矩形游泳池，按规划要求：在游泳池的四周安排宽的休闲区，休闲区造价为元，游泳池的底面与墙面铺设瓷砖，瓷砖造价为元.其他设施等支出大约为万元，设游泳池的长为. （1）试将总造价（元）表示为长度的函数； （2）当取何值时，总造价最低，并求出最低总造价. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$