21.2.3 一元二次方程根与系数的关系 教案 2025—2026学年人教版九年级数学上册

21.2.3 一元二次方程根与系数的关系 一、教学目标 1.学生能推导并掌握一元二次方程根与系数的关系，能够运用根与系数的关系解决简单问题，如已知方程的一个根，求另一个根及方程中的参数值。 2.过观察、归纳、推理等数学活动，培养学生的探究能力和逻辑思维能力，让学生经历从特殊到一般的认知过程，体会数学发现的乐趣。 3.激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生勇于探索、合作交流的精神，感受数学的内在美和应用价值。 二、教学重难点 教学重点：一元二次方程根与系数关系的推导和应用。 教学难点：灵活运用根与系数的关系解决实际问题，理解根与系数关系的本质。 三、教学方法 讲授法、讨论法、探究法相结合，通过问题引导、小组合作等方式，激发学生的学习积极性和主动性。 四、教学过程 （一）复习引入 提问回顾 同学们，我们之前学习了一元二次方程的相关知识，谁能说一说一元二次方程的一般形式是什么？（请学生回答，教师板书：ax2 + bx + c = 0（a≠0）） 那我们常用的解一元二次方程的方法有哪些呢？（学生回答，如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，教师简要回顾每种方法的特点） 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），它的求根公式是什么？（学生回答，教师板书： 解方程练习 请同学们在练习本上用公式法解以下两个一元二次方程： 方程①：x2 - 5x + 6 = 0 方程②：2x2 + 3x - 2 = 0 教师巡视学生的解题过程，及时给予指导和纠正。请两位同学上台板演解题过程。 对学生的板演进行点评，强调解题的步骤和注意事项，如先确定a、b、c的值，再代入求根公式计算，注意符号的处理等。 引发思考 引导学生观察这两个方程的根，思考根与方程各项系数之间可能存在的关系。提问：大家看看方程的根和方程中x2的系数、x的系数以及常数项之间有没有什么特别的联系呢？今天我们就来深入探究一元二次方程根与系数的关系。（板书课题：一元二次方程根与系数的关系） （二）探究新知 1.观察猜想 让学生计算方程①x2 - 5x + 6 = 0的两根之和x1 + x2与两根之积x1x2的值，以及方程②2x2 + 3x - 2 = 0的两根之和与两根之积的值。 请学生汇报计算结果，教师将结果整理在黑板上： 方程①：x1 = 2，x2 = 3，x1 + x2= 5，x1x2 = 6 方程②：x1 =，x2= -2，x1 + x2 = x1x2 = -1 引导学生观察这些结果与方程系数的关系，组织学生在小组内进行讨论，尝试猜想一元二次方程根与系数的一般关系。 各小组推选代表发言，分享小组的讨论结果和猜想。 2.推导验证 教师引导学生利用一元二次方程的求根公式x =来推导根与系数的关系。 设一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个根分别为x1和x2，则x1 = ，x2 = 计算两根之和x1 + x2： x1 + x2=+= 计算两根之积x1x2== 由此得出结论：一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个根x1、x2有x1 + x2 =，x1x2 = 引导学生回顾之前的猜想，验证猜想是否正确，强调推导过程的严谨性和数学的逻辑性。 （三）巩固练习 1.基础练习 (1)已知一元二次方程x2 + 3x - 2 = 0，求它的两根之和与两根之积。 (2)若关于x的一元二次方程2x^2 - 5x + k = 0的一个根是1，求另一个根及k的值。 让学生独立完成练习，教师巡视，了解学生的掌握情况，对有困难的学生进行个别辅导。 请几位同学上台展示解题过程，教师进行点评，规范解题格式，强调运用根与系数关系时要先确定方程各项系数的值，并且注意符号问题。 2.拓展练习 已知方程x2 - (m - 1)x + m - 7 = 0的两根之和为3，求m的值及方程的两根。 设x1、x2是方程x2 + 2x - 2024 = 0的两个实数根，求x12x2 + x1x22的值。 组织学生分组讨论解决拓展练习，鼓励学生积极思考，尝试多种方法解题。各小组交流解题思路和方法，教师参与小组讨论，适时引导和启发学生。 （四）课堂小结 1.知识回顾 请学生回顾本节课所学内容，说一说一元二次方程根与系数的关系是什么。（教师再次强调x1+ x2 = ，x1x2 =，并提醒学生使用条件是一元二次方程有实数根） 回顾根与系数关系的推导过程，体会从特殊到一般的数学研究方法。 2.方法总结 引导学生总结运用根与系数关系解决问题的方法和步骤，如已知方程求两根和与积直接代入公式；已知一个根和根与系数关系求另一个根和参数值时，先设未知数，再代入公式求解等。 3.情感升华 鼓励学生分享在本节课学习过程中的收获和体会，对积极参与课堂讨论和表现优秀的学生进行表扬和鼓励，增强学生学习数学的自信心和成就感。 （五）布置作业（课后完成） 1.必做题：教材习题 21.2 第 5、6 题。 2.选做题：已知关于x的一元二次方程x2 + (2k + 1)x + k2 - 2 = 0的两根的平方和等于11，求k的值。 五、教学反思 在教学过程中，通过复习旧知引入新课，能够帮助学生建立知识之间的联系，降低学习难度。在探究根与系数关系时，注重引导学生自主观察、猜想、推导，培养了学生的探究能力和逻辑思维能力。但在练习环节，部分学生在运用根与系数关系解决复杂问题时还存在困难，需要在后续教学中加强针对性训练，进一步提高学生运用知识解决问题的能力。 这份教案涵盖了知识讲解与实践训练，希望能满足教学需求。若你觉得某个环节需要调整，或有其他修改建议，欢迎随时和我说。 学科网（北京）股份有限公司 $$