精品解析：上海市浦东新区2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

2024学年第二学期高一数学期末质量检测 2025.6 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 设，则______． 2. 中，______． 3. 若复数，则|z|＝___． 4. 计算______． 5. 设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 6. 在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 7. 在复数范围内分解因式______． 8. 已知，，，则在方向上的投影是______． 9. 设，则______． 10. 设向量满足，，且，则______． 11 已知向量、，且，则实数______． 12. 设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 虚数平方是（ ） A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数 14. 设，则下面四个命题中，正确的是（ ） A. 一定是纯虚数 B. 若，则 C. D. 若，则是纯虚数． 15. 已知均为非零向量，则成立的充要条件是（ ） A. B. 同向 C. D. 16. 已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（ ） A. 在同一条直线上 B. 构成一个三角形 C. 有两个向量的终点重合 D. 不确定 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17 已知复数， （1）当是虚数时，求的值； （2）当对应的点在第四象限时，求的取值范围． 18 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 19. 已知关于的实系数一元二次方程， （1）若，是该方程的两个根，求的值； （2）若该方程有两个虚根且．求的值． 20. 已知中三点的坐标分别是， （1）求； （2）求证：直角三角形． 21. 已知点， （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高一数学期末质量检测 2025.6 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念可直接求出. 【详解】，， 故答案为：. 2. 在中，______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 3. 若复数，则|z|＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的模长的计算公式，可得答案. 【详解】由题意，复数的实部为，虚部为，则. 故答案为：. 4. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及乘法运算求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：. 5. 设复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到和的坐标，求得，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数和复数在复平面上分别对应的向量分别是和， 可得，，所以， 所以. 故答案为：. 6. 在平行四边形中，两条对角线的交点是，设．用的线性组合表示______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，准确化简运算，即可求解. 【详解】由四边形为平行四边形且，对角线的交点是， 则. 故答案：. 7. 在复数范围内分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式以及复数运算来求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 8. 已知，，，则在方向上的投影是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量投影的定义求解. 【详解】依题意，由，得 所以在方向上的投影为. 故答案为： 9. 设，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 10. 设向量满足，，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由可得，根据向量的夹角公式求解. 【详解】由，可得，又，所以， 所以，又， . 故答案为：. 11. 已知向量、，且，则实数______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 因为与平行， 所以， 解得. 故答案为：. 12. 设向量，满足，，且．若向量与的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量与的夹角为钝角可以得到这两个向量的数量积为负，以及与不反向共线，可求出结果. 【详解】由题设可得：， 因为向量与夹角为钝角， 所以且与不反向共线， 可得：， 所以，解得， 若向量与反向共线时，存在实数，使得成立， 可得，解得：（正解舍）， 所以与不反向共线，， 综上所述， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 虚数的平方是（ ） A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断. 【详解】设，则， 若，则，即负实数； 若，则，即虚数； 故选：D. 14. 设，则下面四个命题中，正确的是（ ） A. 一定是纯虚数 B. 若，则 C. D. 若，则是纯虚数． 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的含义、共轭复数的概念对选项逐一判断. 【详解】对于选项A： 设，则， 所以， 当时，，所以不一定是纯虚数.所以A错误. 对于选项B： 设，为实数， 所以. 则，令， 则，符合题意，但是.所以B错误. 对于选项C ： 设，,则， 若，则，此时； 若，则，所以成立，所以C正确. 对于选项D： 设，,则， 若，则，所以. 则，当时为纯虚数，当时，为实数，所以D错误. 故选：C. 15. 已知均为非零向量，则成立的充要条件是（ ） A. B. 同向 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算及充要条件的定义求解即可. 【详解】因为 方向相同， 所以成立的充要条件是：同向. 故选：B. 16. 已知均为非零向量，且向量在同一起点上．则它们的终点（ ） A. 在同一条直线上 B. 构成一个三角形 C. 有两个向量的终点重合 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】，则由共线向量定理可得三点共线即可. 【详解】设的起点为，， 所以， 所以， 所以三点共线， 即向量在同一起点上，则它们的终点在同一条直线上. 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 已知复数， （1）当是虚数时，求的值； （2）当对应的点在第四象限时，求的取值范围． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数类型为虚数得到不等式，从而求解； （2）根据复数对应的点在第四象限得到不等式组，求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知：是虚数，则，解得：且， 所以实数的取值范围且 【小问2详解】 因为所对应的点在第四象限，则， 解得：或， 所以实数的取值范围是. 18. 已知向量， （1）求； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先求出的坐标再计算其模长； (2)先表示出向量的坐标，再根据向量垂直则其数量积为零去计算即可. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ， ，因为， 所以， 即. 19. 已知关于的实系数一元二次方程， （1）若，是该方程的两个根，求的值； （2）若该方程有两个虚根且．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，方程为，利用韦达定理即可求解； （2）设，由得，又由即可求解. 【小问1详解】 当时，，由韦达定理有， 所以， 【小问2详解】 由题意可设，所以， 即，由是方程的两根虚根，所以， 所以解得，所以. 20. 已知中三点的坐标分别是， （1）求； （2）求证：直角三角形． 【答案】（1）. （2）证明过程见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的坐标求法得出，；再根据平面向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示和夹角的坐标计算即可求解. （2）根据平面向量垂直的坐标表示即可证明. 【小问1详解】 由三点的坐标分别是可得： ，. 则；；， 所以. 又因为， 所以 【小问2详解】 证明：因为，， 所以. 则， 即证得是以角A为直角直角三角形. 21. 已知点， （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若为直线上一动点，问：在什么位置时取到最小值？且最小值是多少？ 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）直接计算向量坐标，进行线性运算即可； （2）利用平面向量数量积的坐标运算，将点积表达式转化为单一三角函数形式，利用正弦函数的有界性求范围。 （3）求出直线AP的方程，设出点的坐标，利用两点间距离公式，将问题转化为二次函数求最小值. 【小问1详解】 【小问2详解】 因为， 所以， 则 【小问3详解】 因为，所以直线AP斜率为， 直线AP的方程为， 设，则， 即点C坐标为 当，即时，最小值为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$