精品解析：河南省郑州市中牟县2024-2025学年高一下学期期末测评数学试卷

2024—2025学年下学期期末测评试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 化简,根据 则,即可得到答案. 【详解】 根据 则 得: 故选:C. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算和求复数的模,其中解答中熟练应用复数的运算法则化简是解答的关键,属于基础题. 2. 已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的加法法则可判断A、B；由数量积的运算判断C、D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，由数乘向量可得，故C正确； 对于D，由数乘向量运算律可得，故D正确. 故选：B. 3. 甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，设事件为“甲、乙、丙都投中”，则与互为对立事件的是（ ） A. 甲、乙、丙恰有两人投中 B. 甲、乙、丙都没有投中 C. 甲、乙、丙至少有一人没有投中 D. 甲、乙、丙至多有一人没有投中 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合对立事件的定义可得. 【详解】由题意可得与互为对立事件的是甲、乙、丙不是都投中的，也即至少有一人没有投中. 故选：C. 4. 已知为两个不同的平面，为不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面位置位置关系结合线面垂直，线面平行判断各个选项即可. 【详解】为两个不同的平面，为不同的直线， 若，则、异面或相交，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则或，故C错误； 若，则可以成立，故D错误. 故选：B. 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数、根据频率分布直方图计算众数 【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论: 由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为左起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线右边矩形面积大于左边矩形面积，则， 又数据分布图右拖尾，则平均数大于中位数，即， 因此有. 故选：D. 6. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 112 B. 120 C. 240 D. 336 【答案】A 【解析】 【分析】根据上下底面边长和侧棱，可求出正四棱台的高，再由体积公式计算可得结果. 【详解】取正四棱台过侧棱的轴截面，上、下底面中心分别为，如下图所示：    依题意可得， 因此可得， 所以其体积为. 故选：A 7. 已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，连接，再根据题意求出的长度，由二面角的定义可得二面角的平面角为，代入计算，即可得到结果. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，， 所以，， 因平面，则为直线与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 8. 在中，角所对的边分别是．已知，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及三角恒等变换求出B，再由余弦定理及基本不等式求最值即可. 【详解】由条件和正弦定理可得，， 所以， 即， 由，可得， 由可知，， 由余弦定理，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若单位向量满足，则 D. 若在上的投影向量为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用向量的加法坐标运算求解判断A，由向量垂直的坐标表示计算判断B，设向量，利用模长和共线的坐标运算列式求解判断C，由投影向量计算公式计算判断D. 【详解】对于A：因为向量，所以， 所以，则，正确； 对于B：向量，由，得，解得，错误； 对于C：设单位向量，因为，向量，所以， 解得或，所以或，错误； 对于D：因为在上的投影向量为， 所以，解得，所以，正确. 故选：AD 10. 对于一个古典概型的样本空间和事件与，其中，则（ ） A. B. C. 事件与互斥但不对立 D. 事件与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用，即可求解；对于B，先求出，再利用，即可求解；对于C，根据条件可得，即可求解；对于D，利用相互独立事件的判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以，所以A错误， 对于选项B，因为，，又由选项A知， 所以，故B正确， 对于选项C，因为，所以事件与不互斥，故C错误， 对于选项D，由选项B知，，，则有，所以选项D正确， 故选：BD. 11. 如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点），则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. 可能垂直于 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则过点且垂直于的平面截正方体的截面面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A求证即可；B假设，则有平面，进而求出可推出矛盾；C利用等体积可计算；D取线段的中点，求证截面为等腰梯形，计算面积即可. 【详解】连接，因点分别是棱的中点，则， 又，则，则四点共面，故A正确； 连接，因平面，平面，则， 又为正方形，则， 又平面，则平面， 又平面，则， 若，则由平面，有平面， 因平面，则，则，显然不成立，故B错误； 由平面可知，点到平面的距离为， 则，故C正确； 取线段的中点，连接， 因，则四点共面， 因平面，平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则， 因，则， 因，则，则， 因是的中点，则，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，则平面， 故截面为等腰梯形， 上底，下底，腰，则梯形的高为， 则，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先由题意抽象为独立事件同时发生的事件，再代入概率公式，即可求解. 【详解】设答错第一道选择题为事件，答错第二道选择题为事件,两事件相互独立， 且， 两个题都选错为事件，则. 故答案为： 13. 某校学生参与数学实践活动，要求利用解三角形有关知识测量处的大楼高度．某学生设计了如下的测量方案：选两处作为测量点，位于同一水平面，测得的距离为m米，，在C处测得大楼楼顶的仰角为，则大楼高度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出，然后利用正弦定理求出，进而在中利用直角三角形知识计算即可. 【详解】由已知得， 在中，因为，即， 所以， 在中，因为，所以. 故答案为： 14. 以正四面体的四个顶点为球心，正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫勒洛四面体（如图甲），勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图乙）．若正四面体的棱长为4，则其对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得勒洛四面体的外接球半径，则其对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为正四面体棱长与外接球半径的差. 【详解】如图，取部分勒洛四面体，设为三角形外接圆圆心，为外接圆半径. 由题可得为四面体底面对应的高，则平面，又平面，则.由正弦定理推论，， 则.由题可得正四面体外接球，内切球与勒洛四面体外接球,，内切球球心相同，设为，外接球半径为，则. 注意到， 从而可得.如图，延长BO交勒洛四面体表面于F，则OF为勒洛四面体内切球半径，即为勒洛四面体能够容纳的最大球的半径. 由题可得，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（为虚数单位）． （1）若复数，求的值； （2）如果是关于的方程的一个根，求实数的值； （3）复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算，得到，再利用虚数的性质，即可求解； （2）根据条件，利用复数的运算及复数相等，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义得构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环，即可求解. 【小问1详解】 因为，则，所以. 【小问2详解】 将代入方程得，整理得到， 则，得． 【小问3详解】 设，则， 所以点构成的图形为以点为圆心，半径分别为1和3的两个圆围成的圆环， 所以面积为． 16. 如图，在中，内角所对的边分别是，且． （1）求角的大小． （2）若，是边的中点，为边上一点，且，与交于点． （i）求的长度； （ii）求． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可； （2）（i）利用即可求出； （ii）先利用数量积的运算性质化简，再利用即可. 【小问1详解】 由余弦定理和条件可得，， ，∴． 【小问2详解】 （i）因是边的中点，则， ∴ ， ∴． （ii）∵，，∴， 则， 则 ， 又，则． 17. 某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； （3）已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】（1） （2）第80百分位数为，总体平均数为 （3）平均数为91，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，可得结果； （2）根据百分位数定义和平均数公式求解即可； （3）由频率分布直方图，先求出1000份问卷的方差，用样本估计总体可得所有学生满意度得分的平均数为，方差为，进而结合题设公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得： ，解得． 【小问2详解】 由， ∴第80百分位数在区间内， 设第80百分位数为，由，得， 可以估计该满意度得分的第80百分位数为． 1000份问卷的平均分可估计为： ， 用样本估计总体，可以估计学生对该活动满意度的总体平均数为． 【小问3详解】 由频率分布直方图，1000份问卷的方差可估计为： ， 用样本估计总体，则所有学生满意度得分的平均数为，方差为． 记大学生满意度得分的平均数为，方差为，小学生满意度得分的平均数为，方差为， 估计中学生满意度得分的平均分为，方差为， 则，所以， ， 解得． 所以估计中学生对该活动满意度得分的平均数为91，方差为． 18. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，求到平面的距离． 【答案】（1） 如图，设是的中点，连接． ∵为的中点，是的中点， ∴； 由题意，， ∴， ∴四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， ∴平面． （2） 平面平面，且交线为，平面，， ∴平面，又平面， ∴． 在等腰梯形中，过点作于，连接， 设， 则， ∴，∴，∴． 又∵平面， ∴平面，又平面， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）设是的中点，连接，可证四边形是平行四边形，可得，可证结论； （2）由面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得，过点作于，连接，设，利用余弦定理可得，利用勾股定理的逆定理可证，可证平面，可得结论； （3）在平面中过作于，可证平面，求得，进而可求到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面，又平面， ∴平面平面， 在平面中过作于，则平面． 由平面，平面，可得． 在中，，则，∴． ∵为的中点， ∴到平面的距离为． 19. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5． （1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； （2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签． 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜． 小明同学决定先玩游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 【答案】（1）， （2）5，6，7 【解析】 【分析】（1）利用列举法求出样本空间，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书签的概率，从而得到概率，结合（1），由此得解. 【小问1详解】 对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为，所以， 所以. 对于事件，不放回地依次取出取出两个球的样本空间 ， 则，因为，所以，所以. 【小问2详解】 设“先玩游戏二时，获得书签”，“先玩游戏三时，获得书签”， 记事件“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，的样本空间为， 则，所以． 则互斥，相互独立， 所以． 同理，． 因为，所以，解得． 综合（1）知，对应的均为，大于，满足题意； 对应的均为，小于，不满足题意． 因此，符合题意的的取值为5，6，7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期期末测评试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足,则( ) A. B. C. D. 2. 已知平面上四点互不重合，则下列向量的运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三名同学分别投篮一次，设事件为“甲、乙、丙都投中”，则与互为对立事件的是（ ） A. 甲、乙、丙恰有两人投中 B. 甲、乙、丙都没有投中 C. 甲、乙、丙至少有一人没有投中 D. 甲、乙、丙至多有一人没有投中 4. 已知为两个不同的平面，为不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在如图的分布形态中，分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为8，侧棱长为，则其体积为（ ） A. 112 B. 120 C. 240 D. 336 7. 已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线互相垂直，且，直线与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别是．已知，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若单位向量满足，则 D. 若在上的投影向量为，则 10. 对于一个古典概型的样本空间和事件与，其中，则（ ） A. B. C. 事件与互斥但不对立 D. 事件与相互独立 11. 如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点），则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线共面 B. 可能垂直于 C. 三棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则过点且垂直于的平面截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案．该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为____________． 13. 某校学生参与数学实践活动，要求利用解三角形有关知识测量处的大楼高度．某学生设计了如下的测量方案：选两处作为测量点，位于同一水平面，测得的距离为m米，，在C处测得大楼楼顶的仰角为，则大楼高度为______米． 14. 以正四面体的四个顶点为球心，正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫勒洛四面体（如图甲），勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图乙）．若正四面体的棱长为4，则其对应的勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数（为虚数单位）． （1）若复数，求的值； （2）如果是关于的方程的一个根，求实数的值； （3）复数满足，若在复平面内对应的点为，求点构成的图形的面积． 16. 如图，在中，内角所对的边分别是，且． （1）求角的大小． （2）若，是边的中点，为边上一点，且，与交于点． （i）求的长度； （ii）求． 17. 某市组织了一场面向全市大学生、中学生、小学生的科技节活动，为了解对活动的满意度，特随机向参与活动的同学做问卷调查，共收集了1000份问卷，并统计每个问卷的满意度得分（满分100分），绘制了如下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计该满意度得分的第80百分位数（精确到）和总体平均数； （3）已知填写问卷的同学中，大学生、中学生、小学生的人数比例为，其中大学生满意度得分的平均数为86，方差为；小学生满意度得分的平均数为96，方差为．请结合频率分布直方图，估计中学生对该活动满意度得分的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记总体样本平均数为，样本方差为，则． 18. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，平面平面，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）若，求到平面的距离． 19. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5． （1）现从盒子里随机取出2个小球，记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，当时，分别求事件的概率； （2）某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签． 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为时获胜． 小明同学决定先玩游戏一，当为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $