2.2直线的方程【7个常考题型】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.2直线的方程】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．直线的点斜式方程 【知识点的认识】 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 2．直线的斜截式方程 【知识点的认识】 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 3．直线的两点式方程 【知识点的认识】 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 4．直线的截距式方程 【知识点的认识】 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 5．直线的一般式方程与直线的性质 【知识点的认识】 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 6．恒过定点的直线 【知识点的认识】 ﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【解题方法点拨】 ﹣求方程： 1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程． 2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式． 3．标准方程：得到直线方程如： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线的点斜式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·云南红河·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【相似题2】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【相似题3】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【题型2：直线的斜截式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 相似练习 【相似题1】（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【相似题2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【题型3：直线的两点式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 C．过，两点的直线的方程为 D．直线在轴上的截距为2 【例题3】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【相似题2】（23-24高二下·全国·课堂例题）【思考】过点 和 的直线能用两点式表示吗？为什么？过点的直线呢？ 【相似题3】判断题（23-24高二下·全国·随堂练习）方程和方程适用的范围相同.( ) 【题型4：直线的截距式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 【相似题2】（24-25高二上·广东广州·期中）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【相似题3】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【题型5：直线的一般方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 【相似题2】（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【相似题3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）直线的斜率为 ． 【题型6：直线的定点问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高三下·北京·开学考试）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【相似题2】（2025高三下·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【相似题3】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【题型7：由几何关系求直线方程】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 【例题2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【例题3】（24-25高二上·山东威海·期中）如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【相似题2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【相似题3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 8．（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 9．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线，下列结论正确的有（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l的倾斜角为 C．直线l与直线垂直 D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 10．（24-25高二上·四川眉山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．，，三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 三、填空题 11．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 14．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 15．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为 (2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 16．（23-24高二上·河南安阳·阶段练习）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.2直线的方程】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．直线的点斜式方程 【知识点的认识】 设P（x，y）是直线l上不同于P0的任意一点． 方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 2．直线的斜截式方程 【知识点的认识】 1．直线在y轴上的截距 一条直线与y轴交点的纵坐标，叫做这条直线在y轴上的截距．（注意：截距是坐标概念，不是距离） 2．直线的斜截式方程 已知直线l的斜率为k，在y轴上的截距是b，则直线l的斜截式方程为y＝kx+b． 由于这个方程是由直线的斜率和直线在y轴上的截距确定的，所以叫做直线的斜截式方程． 3．直线的两点式方程 【知识点的认识】 直线的两点式方程： 经过直线上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式． （x1≠x2，y1≠y2） #注意：两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线． 特别地：①当x1＝x2时，直线l的方程为x＝x1； ②当y1＝y2时，直线l的方程为y＝y1． 4．直线的截距式方程 【知识点的认识】 直线的截距式方程： 若直线l与x轴交点为（a，0），与y轴交点为（0，b），其中a≠0，b≠0，a为直线l在x轴上的截距，b为直线l在y轴上的截距，由两点式：可推得直线的斜截距方程为：． #注意：斜截式适用于与两坐标轴不垂直且不过原点的直线． 5．直线的一般式方程与直线的性质 【知识点的认识】 直线方程表示的是只有一个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+bx+c＝0． 1、两条直线平行与垂直的判定 对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有： （1）l1∥l2⇔k1＝k2；（2）l1⊥l2⇔k1•k2＝﹣1． 2、直线的一般式方程： （1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同时为0．直线一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化为斜截式方程yx，表示斜率为，y轴上截距为的直线． （2）与直线l：Ax+By+C＝0平行的直线，可设所求方程为Ax+By+C1＝0；与直线Ax+By+C＝0垂直的直线，可设所求方程为Bx﹣Ay+C1＝0． （3）已知直线l1，l2的方程分别是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： ①l1⊥l2⇔A1A2+B1B2＝0； ②l1∥l2⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0； ③l1与l2重合⇔A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0； ④l1与l2相交⇔A1B2﹣A2B1≠0． 如果A2B2C2≠0时，则l1∥l2⇔；l1与l2重合⇔；l1与l2相交⇔． 6．恒过定点的直线 【知识点的认识】 ﹣定点：直线总是通过一个固定的点（x1，y1）的方程形式为： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 其中a和b是直线的方向向量分量． 【解题方法点拨】 ﹣求方程： 1．已知定点：将定点（x1，y1）代入直线方程． 2．确定直线：确定直线方向向量，代入标准方程形式． 3．标准方程：得到直线方程如： a（x﹣x1）+b（y﹣y1）＝0 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线的点斜式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出倾斜角，再根据点斜式方程即可求出其方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 【例题2】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 【例题3】（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为 . 【答案】 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·云南红河·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【答案】/ 【分析】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程. 【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知的三个顶点分别是，，，则边上的中线所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据中点坐标以及中点坐标公式即可根据点斜式方程求解. 【详解】的中点坐标为, 则,故边上的中线所在直线方程为， 即， 故答案为： 【相似题3】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得. 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 【题型2：直线的斜截式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 【例题2】（2023高二·江苏·专题练习）直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的二倍角公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】， 所以直线的斜率为负值，因此直线的倾斜角为钝角， 设直线l的倾斜角为，则 因为，所以或舍去 设直线l的方程为，则直线l与坐标轴的交点分别为，， 由，得， 故直线l的方程可能是，显然ABD不符合， ，或， 故选：C 【例题3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 相似练习 【相似题1】（2024高二·全国·专题练习）已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程． 【答案】或 【分析】根据直线的斜距式方程，可得轴上的交点，即可根据三角形面积即可求解. 【详解】设直线方程为，则时，时，. 由已知可得， 即，∴. 故所求直线方程为或 【相似题2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知直线的方程为． (1)若与直线垂直，求实数的值； (2)当与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积最小时，求的方程 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据两直线垂直斜率关系求参； （2）先求出直线在坐标轴的截距，再结合面积公式应用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由已知得的斜率为， 因为与直线垂直，所以， 解得． （2）令，得，令，得， 由且，解得． 所以与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积 令，则，所以， 所以 当且仅当，即时取等号，此时三角形面积最小 此时的方程为 ，即． 【题型3：直线的两点式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·全国·随堂练习）过点，的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用直线方程的两点式写出直线方程即可. 【详解】因为直线过点，，所以直线方程为， 故选：B. 【例题2】多选题（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点 C．过，两点的直线的方程为 D．直线在轴上的截距为2 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式，斜截式，两点式判断各项正误即可. 【详解】对于A，当倾斜角为锐角，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误； 对于B，直线方程为，即，显然在直线上，故B正确； 对于C，当或时不能使用两点式写方程，故C错误； 对于D，直线，令，， 则直线在轴上的截距为，故D错误. 故选：ACD. 【例题3】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的两点式方程为，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】对原方程进行代数变形即可得到答案. 【详解】原方程即为，此即，所以的斜率为． 故答案为：. 【相似题2】（23-24高二下·全国·课堂例题）【思考】过点 和 的直线能用两点式表示吗？为什么？过点的直线呢？ 【答案】不能，理由见解析 【分析】由直线两点式定义可完成判断. 【详解】不能，两点式不能表示斜率为0和斜率不存在的直线，而过点 和 的直线斜率不存在，过点的直线斜率为0，故无法用两点式表示相关直线. 【相似题3】判断题（23-24高二下·全国·随堂练习）方程和方程适用的范围相同.( ) 【答案】错误 【分析】根据两点式成立的条件即可得出结论. 【详解】方程成立的前提是且， 而方程适用于所有的方程. 所以错误. 故答案为：错误. 【题型4：直线的截距式方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 【例题2】多选题（24-25高三上·河南·阶段练习）经过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况，结合条件求直线方程. 【详解】若直线过原点，直线方程为； 若直线的斜率为1，直线方程为；若直线的斜率为，直线方程为． 故直线方程为或或． 故选：ABD． 【例题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且分别与轴，轴的正半轴交于两点，当最小时，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】把共线的线段之积转化为向量之积，从而用坐标来进行计算，最后利用代换1法，结合基本不等式即可求最小值. 【详解】设，则，则直线的方程为，所以． ， 当且仅当时等号成立，此时直线的方程为． 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二上·广东广州·期中）直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】利用直线的截距式方程分别讨论截距是否为0即可得出结果. 【详解】当截距均为0时，即过，此时直线l的方程为； 当截距不为0时，设直线l的方程为， 满足，解得，此时直线l的方程为； 综上可得直线l的方程为或. 故答案为：或 【相似题3】（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的点斜式方程为，求出两坐标轴上的截距，求出，即可得解； （2）求出两坐标轴上的截距，再根据的面积结合基本不等式求出的面积最小时的值，即可得解. 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 【题型5：直线的一般方程】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 【例题2】（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解. 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 【例题3】（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 【答案】 【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解. 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 【相似题2】（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 【相似题3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】将直线的一般式转换成斜截式即可求解. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 【题型6：直线的定点问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 【例题2】（24-25高三下·北京·开学考试）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线恒过定点问题、两直线的位置关系和直线的点斜式方程计算即可求解. 【详解】由，得， 令，解得，所以该直线恒过定点. 由，得，即该直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的斜率为， 其方程为，即. 故选：A 【例题3】多选题（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 【相似题2】（2025高三下·全国·专题练习）直线过定点 ，倾斜角的最小值是 . 【答案】 【分析】将直线化为，解方程组可得第一空答案；根据直线斜率的取值范围可得第二空答案. 【详解】直线可以化为， 则令，解得， 即直线过定点， 又直线可化为，， 则倾斜角的最小值是. 故答案为：； 【相似题3】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 【题型7：由几何关系求直线方程】 例题精选 【例题1】（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ． 【答案】 ； . 【分析】先求出直线的斜率，从而求出直线的方程，由此能求出点坐标；由，，根据夹角公式求出，由此能求出直线的方程． 【详解】∵的顶点，高所在直线方程为， 角的平分线所在直线方程为， ∴直线的斜率， ∴直线的方程为：，即， 联立，得， ∴B点坐标为； ∵，，角的平分线所在直线方程为， ∴， ∴，解得或（舍）， ∴直线的方程为：，即． 故答案为：；. 【例题2】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出中点，和 ，运用点斜式得方程；（2）求出，运用点斜式得方程. 【详解】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 【例题3】（24-25高二上·山东威海·期中）如图，在菱形中，. (1)求所在直线的方程； (2)求所在直线的倾斜角； (3)求所在直线的方程. 【答案】(1)或） (2)； (3)（或）. 【分析】（1）利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式写出直线方程； （2）在菱形中，由，得到，再结合直线的倾斜角与直线的倾斜角关系求解； （3）联立直线和直线的方程，求得点D的坐标，再由的斜率与CD的斜率相等求解. 【详解】（1）， 所以直线的方程为， 即或）； （2）因为在菱形中，， 所以，由（1）知直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为， 因为对角线互相垂直，所以直线的倾斜角为； （3）直线的方程为， 即， 直线的方程为， 即， 联立可得的坐标为， 所以直线的方程为， 即（或）. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高所在的直线方程； (2)求边上的中线所在的直线方程； (3)求角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得； （3）先求出直线的单位向量，结合角平分线求出角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解. 【详解】（1）直线的斜率， 则边上的高所在的直线斜率为， 直线又过， 所以边上的高所在的直线方程为， 即. （2）依题意，边的中点， 因此边上的中线所在直线的斜率， 直线又过， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即. （3）由题意知：, 故与同方向的单位向量为：， 与同方向的单位向量为：， 故角平分线所在的直线的方向向量为：， 设角平分线所在的直线的斜率为， 又直线的方向向量可以表示为， ， 直线又过， 故角平分线所在的直线方程为：， 即. 【相似题2】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为. (1)求直线的方程； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，即可得，结合点，即可得直线的方程； （2）设，代入边上的高所在的直线方程可得的值，即可得中点坐标，结合边上的中线所在的直线方程即可得解. 【详解】（1）由边上的高所在的直线方程为，其斜率为， 则，即，又， 则，即； （2）设，由在上，即，即， 则中点坐标为，故有，即. 【相似题3】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知的三个顶点是，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在直线的方程； (3)的角平分线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对于求边BC上的中线所在直线方程：首先要找到BC中点坐标，根据中点坐标公式，然后利用两点式求直线方程； （2）对于求边BC上的高所在直线方程：先求BC边的斜率，根据斜率公式，高与BC垂直，两条垂直直线斜率乘积为，再利用点斜式求直线方程； （3）对于求的角平分线所在直线方程：先求AB和BC边的斜率，根据夹角公式，设角平分线斜率为，求出，再利用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）首先求BC中点坐标，已知， 根据中点坐标公式，BC中点， 已知中线过和两点，根据两点式， 即，化简得，整理得. （2）先求BC边的斜率，已知， 根据斜率公式， 因为高与BC垂直，设高的斜率为，则，解得， 又因为高过点，根据点斜式，整理得. （3）先求AB边的斜率，BC边的斜率， 设角平分线斜率为，根据夹角公式得，化简 交叉相乘得， 继续化简，即或， 继续化简（舍去），或，即， 因为角平分线的斜率应该在和之间，所以， 又因为角平分线过点，根据点斜式，整理得. 【课后强化练习】 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若直线经过第一、二、四象限，则（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．（24-25高二下·广东·阶段练习）直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州黔南·阶段练习）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）已知直线，则（   ） A．不过原点 B．在轴上的截距为 C．的斜率为 D．与坐标轴围成的三角形的面积为3 8．（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 9．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线，下列结论正确的有（   ） A．直线l恒过点 B．当时，直线l的倾斜角为 C．直线l与直线垂直 D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等 10．（24-25高二上·四川眉山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．直线的一个方向向量为 B．，，三点共线 C．直线（其中）必过定点 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 三、填空题 11．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 四、解答题 13．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 14．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 15．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）分别求符合下列条件的直线的方程 (1)过点且倾斜角为 (2)过点且与直线平行 (3)过点且在两坐标轴上的截距相等 16．（23-24高二上·河南安阳·阶段练习）三角形的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程. (2)求边的垂直平分线的方程. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C B A C AC ABC AC ABC 1．A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 2．C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 3．C 【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于，据此即可求出线段垂直平分线方程. 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 4．B 【分析】将直线化为斜截式，利用直线过第一、二、四象限，得斜率为负值，纵截距为正值，即可得出结论. 【详解】由题意直线经过第一、二、四象限， 所以直线的斜率为负值，纵截距为正值. 直线方程化为斜截式：， 所以斜率且纵截距， 所以且， 故选：B. 5．A 【分析】化为斜截式得解. 【详解】依题意，直线，故其斜率为. 故选：A. 6．C 【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角大小. 【详解】由直线，则斜率为，即为倾斜角的正切值， 结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为. 故选：C 7．AC 【分析】将代入直线方程可判断A；求出直线在轴上的截距可判断B；将直线方程化为斜截式可判断C；将直线方程化为截距式求出三角形的面积可判断D. 【详解】对于A，因为，所以不过原点，故A正确； 对于B，令，得，所以在轴上的截距为，故B错误； 对于C，把化为，所以的斜率为，故C正确； 对于D，把化为， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误. 故选：AC. 8．ABC 【分析】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【详解】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 9．AC 【分析】根据直线方程确定所过的定点，结合给定参数确定倾斜角、截距判断A、B、D，由直线垂直的判定判断C. 【详解】由，显然直线恒过定点，A对， 当，则直线的斜率为，结合倾斜角的范围，易知倾斜角为，B错， 由与，则，即两直线垂直，C对， 当，则直线可化为，易知在轴上截距分别为，D错. 故选：AC 10．ABC 【分析】对于A：根据直线方向向量的定义分析判断；对于B：根据斜率公式分析判断；对于C：整理可得，根据直线过定点分析求解；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为直线的斜率不存在， 所以直线的一个方向向量为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以，，三点共线，故B正确； 对于选项C：直线即为， 令，解得， 所以直线（其中）必过定点，故C正确； 对于选项D：例如，可知不存在，故D错误； 故选：ABC. 11．或 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 12． 【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程. 【详解】因为，所以线段的中点， 且， 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为：. 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 14．(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 15．(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）由平行关系设出方程，利用待定系数法求出方程. （3）按直线是否过原点分类，结合直线的截距式方程求解. 【详解】（1）由直线的倾斜角为，得其斜率， 所以直线的方程为，即. （2）设与直线平行的直线的方程为，而直线过点， 则，解得， 所以直线的方程为. （3）当直线过原点时，直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【详解】（1）边所在的直线的斜率， 因为边上的高与垂直，所以边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点，所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由（1）得，边所在直线斜率，所以边垂直平分线的斜率为， 的中点坐标为，所以边的垂直平分线方程，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$