2.1直线的倾斜角与斜率(6个常考题型)专题讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.1直线的倾斜角与斜率】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．直线的倾斜角 【知识点的认识】 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大． 2．直线的斜率 【知识点的认识】 1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α） （2）斜率公式：k． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 3．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； （4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 4．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： ①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有： 两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2 ②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行． 5．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°． 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： ①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； ②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直． l1⊥l2⇔k2⇔k1•k2＝﹣1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/23 18:51:46；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线倾斜角与斜率的关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（21-22高三上·北京·阶段练习）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·陕西·阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【相似题3】（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 【题型2：直线的斜率】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【例题2】（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【例题3】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【相似题3】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【题型3：斜率的范围问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【例题2】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【例题3】（20-21高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4：两直线平行与斜率关系】 例题精选 【例题1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】（23-24高二上·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题3】（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【相似题2】（24-25高二上·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【相似题3】（24-25高二上·湖北·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5：两直线垂直与斜率的关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 【相似题2】（24-25高二上·天津河西·期中）已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 【相似题3】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【题型6：平行与垂直在几何中的应用已经倾斜角斜率的综合题型】 例题精选 【例题1】多选题（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【例题2】多选题（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【例题3】多选题（24-25高二上·河南南阳·期中）以下四个命题为真命题的是（   ） A．若、、三点共线，则m的值为2 B．直线的倾斜角的范围是 C．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D．直线与直线平行，则 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【相似题2】多选题（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【相似题3】（20-21高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【2.1直线的倾斜角与斜率】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1．直线的倾斜角 【知识点的认识】 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 4．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系：①当a时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且tanα随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0 且tanα随α的增大而增大． 2．直线的斜率 【知识点的认识】 1．定义：当直线倾斜角α时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α） （2）斜率公式：k． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α时，k＝tanα；当α时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 3．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 直线的倾斜角、斜率对直线的图象的影响： （1）直线在y轴上的截距大于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一二三象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第一二四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （2）直线在y轴上的截距小于0时： 若倾斜角为锐角，则斜率大于0，这时直线的图象过第一三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； 若倾斜角为钝角，则斜率小于0，这时直线的图象过第二三四象限，并且倾斜角越大斜率就越大，直线相对于x轴的正方向的倾斜程度也就越大； （3）当直线的倾斜角为直角时，斜率不存在，直线的图线与x轴垂直； （4）当直线的倾斜角为0度时，斜率为0，直线的图线与x轴平行或重合． 4．两条直线平行与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 两直线平行与倾斜角、斜率的关系： ①如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则有： 两直线平行⇔倾斜角α1＝α2⇔斜率k1＝k2 ②如果两条直线的斜率都不存在，那么这两条直线的倾斜角都为90°，这两条直线平行． 5．两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系 【知识点的认识】 在同一个平面中，直线的关系可能是相交、平行、重合；这个知识点中我们探讨的是相交直线的一个特例，直线垂直．顾名思义，直线垂直就是两条直线的夹角为90°． 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系： ①当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线互相垂直； ②当两条直线的斜率都存在时，设斜率分别为k1，k2，若两条直线互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，若两条直线的斜率互为负倒数，则它们互相垂直． l1⊥l2⇔k2⇔k1•k2＝﹣1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/23 18:51:46；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：直线倾斜角与斜率的关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 【例题2】（21-22高三上·北京·阶段练习）若直线的斜率为，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由倾斜角与斜率关系可得答案. 【详解】设的倾斜角为，则， 由，故. 故选：C. 【例题3】（23-24高二上·江西九江·阶段练习）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·陕西·阶段练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则，又， 所以或， 即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 【相似题2】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 【相似题3】（24-25高二上·江苏常州·期末）经过两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据两点求直线的斜率，再由斜率求倾斜角. 【详解】由题意：， 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故答案为： 【题型2：直线的斜率】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 【例题2】（23-24高二上·河南郑州·期末）经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．-2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点的直线的斜率为， 又直线的倾斜角为，所以，解得. 故选：B. 【例题3】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 【相似题2】（24-25高二上·全国·课后作业）设坐标平面内三点，，，直线的斜率等于直线的斜率的三倍，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果. 【详解】由，得，即. 所以，得，即. 或，经验证均符合题意，故的值是或. 故答案为：或. 【相似题3】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 【题型3：斜率的范围问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【例题2】（24-25高二上·云南曲靖·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【例题3】（20-21高二上·山东临沂·期中）已知两点，，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图形，求出的斜率，数形结合可求得直线的斜率的取值范围，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率． 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是． 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·重庆·阶段练习）设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率的取值范围求倾斜角的范围. 【详解】设直线的斜率为，则， 故，而，故， 故选：C. 【相似题2】（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的直线方程为，则直线l的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分和两种情况讨论，再结合的图像，即可求出结果. 【详解】当时，直线的倾斜角为， 当时，由得到， 又易知，所以，即， 由的图像可知，， 综上， 故选：C. 【相似题3】（24-25高二上·重庆·期中）直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行讨论，当时得到直线倾斜角为，当时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】当时，直线为：， 故直线的倾斜角为：； 当时，直线为：， 设直线的倾斜角为， 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 当时，， 当且仅当“”，即时取等号； 即， 综上所述：. 故选：A 【题型4：两直线平行与斜率关系】 例题精选 【例题1】（2024·河南新乡·三模）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得. 【详解】当时，直线，则， 当时，，解得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【例题2】（23-24高二上·河南·期中）“”是“直线和直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件. 故选：C 【例题3】（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得出，当时，得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，，，此时，所以可以推出， 若，由，解得或， 当，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 【相似题2】（24-25高二上·天津·期末）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．或0 B． C．或2 D．2 【答案】D 【分析】由题意，得，或.当时，重合，不符合题意，当时，即得. 【详解】由题意，可得，或， 当时，，，此时重合，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：D 【相似题3】（24-25高二上·湖北·阶段练习）“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据平行得到直线方程的系数关系，从而可求参数的值，故可得两者之间的条件关系. 【详解】当时且， 解得， 当时，两条直线方程分别为：，， 此时， 故是的充要条件. 故选：C 【题型5：两直线垂直与斜率的关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 【例题2】（24-25高二上·四川南充·阶段练习）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【例题3】（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【详解】直线的斜率为，而直线l与直线垂直， 且为直线的倾斜角，于是得，而， 则，计算可得. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【分析】根据直线垂直的系数要求求解即可. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 【相似题2】（24-25高二上·天津河西·期中）已知直线与直线垂直，点为垂足，则等于 ． 【答案】 【分析】利用两直线的垂直条件求解参数，再计算代数式即可. 【详解】因为，所以， 因为两条直线垂直，且， 所以，解得，此时， 将代入中，得到， 解得，此时垂足为点，将代入中， 得到，解得， 故. 故答案为： 【相似题3】（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【分析】（1）求出可得两直线线关系； （2）求出且可得四边形形状； 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 【题型6：平行与垂直在几何中的应用已经倾斜角斜率的综合题型】 例题精选 【例题1】多选题（23-24高二上·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．直线的倾斜角为 B．若直线与直线的斜率相等，则 C．的斜率为2，经过点，则 D．过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】AD 【分析】由斜率与倾斜角的关系可得A正确；由两直线斜率关系可得B错误；由斜率的定义和两直线垂直斜率关系可得C错误；由斜率与倾斜角关系可得D正确； 【详解】对于A，直线的斜率，该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B，直线与斜率相等时，或与重合，故B错误； 对于C，的斜率为，由，所以不成立，故C错误； 对于D，过点且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确.     故选：AD. 【例题2】多选题（24-25高二上·四川成都·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件 B．“”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．若、，直线过且与线段相交，则的斜率 【答案】BCD 【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项. 【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直， 则，解得或， 所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错； 对于B选项，若直线与直线互相平行， 则，解得， 所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对； 对于C选项，直线的斜率为， 当时，；当时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对； 对于D选项，如下图所示： 设线段交轴于点，直线交线段于点， ，， 当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为； 当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角， 在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对. 故选：BCD. 【例题3】多选题（24-25高二上·河南南阳·期中）以下四个命题为真命题的是（   ） A．若、、三点共线，则m的值为2 B．直线的倾斜角的范围是 C．已知点，，过点的直线与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是 D．直线与直线平行，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由点的坐标写出向量，根据题意可得向量共线，建立方程，可得答案；对于B，由直线方程可得直线斜率，根据余弦函数的值域，利用正切函数的性质，可得答案；对于C，由题意作图，利用两点斜率公式求得边界直线斜率，可得答案；对于D，由直线平行建立方程，验根，可得答案. 【详解】对于A，取，，由题意可得，解得，故A错误； 对于B，由直线方程，则斜率， 由，则，设直线的倾斜角为，则， 由，解得，故B正确； 对于C，设，由题意可作图如下： 直线的斜率，直线的斜率， 由图可知直线绕点按逆时针旋转到直线，则，解得，故C正确； 对于D，由题意可得，则，，解得或， 当时，，不合题意；当时，，符合题意，故D正确. 故选：BCD. 相似练习 【相似题1】多选题（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 【相似题2】多选题（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 【相似题3】（20-21高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【详解】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$