精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题

牡丹江二中2024—2025学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 2. 关于下列命题，其中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知随机变量，则， D. 已知随机变量，若，则 3. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 7. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 8. 已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 10. 下列结论正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 B. 随机变量X服从二项分布，，则 C. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 D. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有_________个. 13. 若的展开式中的常数项为0，则__________. 14. 已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 16. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了年月至月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数与月份之间存在线性相关关系，求其之间的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为满意度与性别有关联？ 满意 不满意 女客户 48 12 男客户 22 18 附：经验回归方程为，其中，. ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率． （1）若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； （2）若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望； （3）假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 18. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围． 19. 已知函数 （1）若恒成立，求a的值； （2）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2024—2025学年度第二学期高二学年月考试题 数学 考生注意 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 掷两枚质地均匀的正方体骰子，记事件“第一枚骰子向上的点数为偶数”，事件“第二枚骰子向上的点数为奇数”，则（ ） A. 与互为对立事件 B. 与互斥 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念可判断A、B，根据独立事件的概率可判断C，由包含的基本事件可判断D. 【详解】因为事件可以同时发生，所以与不是互斥事件，不是对立事件. 因为事件包含的基本事件不一样，所以事件不相等. 因为，，所以. 故选：C 2. 关于下列命题，其中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 已知随机变量，则， D. 已知随机变量，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于选项A，利用数学期望的性质进行判断；对于选项B，利用方差的性质进行判断；对于选项C，利用二项分布的期望和方差公式进行判断；对于选项D，利用正态分布的性质进行判断. 【详解】选项A: 根据数学期望的性质：若，则. 所以，选项A正确. 选项B： 根据方差的性质：若，则. 所以，选项B正确. 选项C： 根据二项分布的性质：若随机变量，其期望，方差. 所以在随机变量中，其期望，方差. 所以选项C正确. 选项D： 因为随机变量，则正态分布曲线关于对称. 所以，那么. 所以.所以D错误. 故选：D. 3. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】求导可得，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 且直线的斜率为，即，解得. 故选：A 4. 设，为同一个随机试验中的两个事件，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题给条件求出，再利用条件概率公式即可求解. 【详解】由， 解得， 所以. 故选：A. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，令即可求解. 【详解】对求导得，， 令，得，解得. 故选：A. 6. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图､90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. 互联网行业从事技术岗位的人数中，90后比80后多 B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过整个从事互联网行业者总人数的 C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 【答案】A 【解析】 【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假． 【详解】选项A；设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事技术岗位的90后人数为，小于80后的人数， 但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故A错误． 选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a， 而90后总人数的20％为，故B正确； 选项C：设整个互联网行业总人数为a， 互联网行业中从事运营岗位的90后人数为， 超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确； 选项D： 由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占，故D正确. 故选：A． 7. 甲､乙､丙､丁4名志愿者被派往三个足球场参加志愿服务，每名志愿者都必须分配，每个足球场至少分配1名志愿者，但甲､乙不能安排在同一个足球场，则不同的分配方案共有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 56种 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出所有可能得选派方法，在计算出甲乙在同一足球场的情况，可求出不在同一足球场的分配方案数. 【详解】总分配方案种数为，甲､乙在同一足球场的分配方案种数为，则甲､乙不在同一个足球场的分配方案种数为， 故选:A. 8. 已知定义域为实数集的函数，导数均存在，且记为，满足，对恒成立，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的导数，判断导函数的符号，推出函数的单调性，由可判断进而得出结果． 【详解】， 令，则， 故在单调递增， 又，所以， 即， 所以，A选项正确， 另外，，由于与0的大小关系不确定， 故C，D无法判断. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的70%分位数是23 B. 随机变量X服从二项分布，，则 C. 一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60 D. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 【答案】BC 【解析】 【分析】根据数据统计中，样本估计总体的特征值概念，计算样本特征值，判断选项正误 【详解】对选项A：数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共 10 个数，从小到大排列为12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，所以第70百分位数是23.5，故A错误； 对选项 B：，，故B正确； 对选项C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，故C正确； 对选项D：由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n，，当且仅当时，故D错误； 故选：BC． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意的实数，函数恒有两个极值点 B. 设为的极值点，则 C. 当时，若在上有最大值，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数的导数，由结合韦达定理求解判断AB；把代入求出极值点判断C；按给定等式计算判断D. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 对于A，，函数恒有两个变号零点，函数恒有两个极值点，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，当或时，， 当时，，因此分别是的极大值点和极小值点， 由在上有最大值，得，C错误； 对于D， ，则，D错误. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用两个1，两个3，一个5组成的不同的五位数有_________个. 【答案】30 【解析】 【分析】利用消序法来解决相同元素的排列问题即可. 【详解】由题意得：不同的五位数有：个， 故答案为：. 13. 若的展开式中的常数项为0，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的常数项,由常数项为0,求得. 【详解】的展开式的通项为, 当时,，的展开式有常数项, 当时,，的展开式有常数项， 所以，所以. 故答案为： 14. 已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出切点，利用导数几何意义得到方程组，求出，. 【详解】设直线与函数相切于点， 与相切于点， 其中，， 故且，， 联立与得，解得，故， 又，故，即， 化简得 将代入中得 ，解得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. （1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； （2）记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】（1） （2） X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【小问1详解】 记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. 【小问2详解】 由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 16. 某地区大型服装店对在该店购买衣服的客户进行满意度调研以便能更好地服务客户，统计了年月至月对该家服装店不满意的客户人数如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）通过散点图可知对该服装店服务不满意的客户人数与月份之间存在线性相关关系，求其之间的经验回归方程，并预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表所记录的客户中随机抽查100人，调查满意度与性别的关系，得到下表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为满意度与性别有关联？ 满意 不满意 女客户 48 12 男客户 22 18 附：经验回归方程为，其中，. ，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），预测2024年8月对该大型服装店服务不满意的客户人数为 （2）能认为满意度与性别有关联 【解析】 【分析】（1）计算出、的值，将表格中的数据代入最小二乘法，计算出、的值，可得出经验回归方程，再将代入经验回归直线方程，可求得结果； （2）提出零假设服务满意度与性别无关联，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 由表中的数据可知， ，， ，， ，， 不满意人数与月份之间的经验回归方程为． 当时，， 故预测年月对该大型服装店服务不满意的客户人数为． 【小问2详解】 零假设服务满意度与性别无关联， 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故能认为满意度与性别有关联． 17. 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率． （1）若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； （2）若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望； （3）假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）0.67，高于 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）依题意可知，的可能取值为0，1，2，且，先利用独立重复实验的概率公式可得分布列，再利用期望公式可得答案. （3）利用全概率公式求出电影原声音乐片段的可用率，再与0.65比较大小即可. 【小问1详解】 由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同的． 因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为， 所以若只取1个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率为； 【小问2详解】 设事件分别表示随机抽取的1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的， 若只取1个音乐片段，则， 所以由乙或丙工作室录制的概率为． 依题意可知，的可能取值为0，1，2，且． 所以，， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； 【小问3详解】 设事件表示音乐片段被录用，由（1）（2）知． 所以． 又， 即《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为0.67． 又，所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率. 18. 已知函数，． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，设，若既有极大值又有极小值，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，然后分，以及讨论，即可得到结果； （2）根据题意，求导可得，将函数极值问题转化为方程至少有两个不同实数根，再转化为函数图像交点问题，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，的定义域为，， 当时，恒成立，在上为增函数； 当时，，， 当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，，当或时，，当时，， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 综上所述，当时，在上为增函数； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为， 【小问2详解】 因为，所以， 若既有极大值又有极小值，则至少存在两个变号零点， 即至少有两个不同实数根， 记，则， 当时，，当时，， 所以在时，取得极大值， 又趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于0， 所以，的图像如图所示， 由图可知，当，即时，有两个变号零点， 且分别为极大值点和极小值点，所以的取值范围为． 19. 已知函数 （1）若恒成立，求a的值； （2）若有两个不同的零点，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，然后讨论参数的范围，最后求出单调区间. （2）在第一问基础上，求出，然后讨论的范围，最后求出范围. 【小问1详解】 ， ①当时，，不符合题意. ②当时，令，解得， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值； 若恒成立，则， 设，则， 当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减， 所以，即的解为. 所以. 【小问2详解】 当时，，在区间上单调递增， 所以至多有一个零点，不符合题意； 当时，因为，不妨设， 若，则，不符合题意； 若，则， 由（2）可知，只需，即，解得， 即a的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略， 形如的恒成立的求解策略： 1.构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2.参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3.数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $