精品解析：上海市桃浦中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

上海市桃浦中学2024学年第二学期高二年级 数学学科期末试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是_______ 2. 直线与直线垂直，则________. 3. 斜率为直线的倾斜角为______． 4. 求直线与直线的夹角为________. 5. 直线与圆相交所得的弦长为______． 6. 在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 7. 直线上动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______________． 8. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______． 9. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为____ 10. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 11. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 12. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分方差小于乙得分的方差 16. 已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知点，点Q在曲线上． （1）若点Q在第一象限内，且，求点Q的坐标； （2）求最小值． 18. 已知圆C：及直线l：． （1）求过点的圆的切线方程； （2）找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； （3）求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 20. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 21. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. （1）当直线过点，且时，求的周长； （2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； （3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市桃浦中学2024学年第二学期高二年级 数学学科期末试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以：，即，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 2. 直线与直线垂直，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两直线垂直斜率之积为，列方程求解即可. 【详解】时，不合题意，时， 直线与直线的斜率分别为， 因为直线与直线垂直， 所以，解得，故答案为2. 【点睛】本题主要考查直线的方程，两条直线垂直与斜率的关系，属于简单题. 对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） ；（2）. 3. 斜率为的直线的倾斜角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 4. 求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 5. 直线与圆相交所得的弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线的距离，再利用几何法求相交弦长即可. 【详解】由，即， 所以圆心为，半径为， 所以到的距离， 综上，直线与圆的相交弦长为. 故答案为： 6. 在由1，2，3，4这四个数组成的无重复数字的三位数中，偶数的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用排列组合先确定无重复的三位数，再分别计算个位是2和4时的情况，由古典概率求解可得. 【详解】首先无重复的三位数共有个， 当个位是2时，有； 同理当个位是4时，也有， 所以偶数的概率为. 故答案为： 7. 直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 8. 设一个罐子中有大小与质地相同的黑、白、红三个球，不放回的每次摸一个球，设第一次没有摸到黑球是事件A，第二次没有摸到黑球是事件B，则的值为______． 【答案】## 【解析】 分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】第一次没有摸到黑球，则还剩下一个黑球，一个不是黑球，共两个球， 所以. 故答案为：. 9. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且分别以、为两条渐近线的法向量的双曲线方程为____ 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，即可求出双曲线的方程. 【详解】由题意可得抛物线的焦点为双曲线右焦点即， 以、为两条渐近线的法向量的渐近线方程为：， 所以，解得， 所以双曲线方程为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的几何性质，双曲线的渐近线，双曲线的方程，属于中档题. 10. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________． 【答案】 【解析】 【详解】该同学通过测试的概率为，故答案为. 11. 已知某次数学的测试成绩X服从的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了______%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的范围求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 12. 已知双曲线的左、右焦点为，以O为顶点，为焦点作抛物线交双曲线于P，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线得定义过点作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得，再在中由余弦定理可得，接着利用双曲线的定义可求，最后利用共焦点求得. 【详解】由题意可知，， 如图，过点作准线的垂线，垂足为，则， 则，得， 在中由余弦定理可得， ，即， 则由双曲线的定义可得，得， 则 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化成椭圆的标准方程形式，即可求解. 【详解】方程等价于， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 解得，则实数k的取值范围是. 故选：D. 14. 某市职业技能大赛的移动机器人比赛项目有19位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前10位的同学才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这19位同学的预赛积分的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的概念进行判断即可. 【详解】因为19位同学的积分，中位数是第10名，所以知道中位数即可判断是否在前10. 故选：C 15. 甲、乙两名篮球运动员在8场比赛中的单场得分用茎叶图表示如左下图，茎叶图中甲的得分有部分数据丢失，但甲得分的折线图完好（右下图），则下列结论正确的是（ ） A. 甲得分的极差小于乙得分的极差 B. 甲得分的第25百分位数大于乙得分的第75百分位数 C. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 D. 甲得分的方差小于乙得分的方差 【答案】C 【解析】 【分析】利用极差、百分位数和平均数的计算公式可以判断A、B、C三个选项，对于D选项，利用数据的分散程度判断方差的大小即可. 【详解】对于A选项，甲得分的极差为：，乙得分的极差为：， 因为，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，故A错误； 对于B选项，因为，所以甲得分的第25百分位数为， 又，所以乙得分的第75百分位数为， 因为，所以甲得分的第25百分位数小于乙得分的第75百分位数，故B错误； 对于C选项，由折线图可知，在茎叶图中甲的得分中丢失的数据一个为，另一个设为，其中， 所以甲的平均数为， 乙的平均数为， 因为，所以，所以， 所以甲得分的平均数大于乙得分的平均数，故C正确； 对于D选项，方差是刻画数据离散程度或波动幅度的指标. 从茎叶图中可以看到，甲的得分分布比乙的得分分布分散， 所以甲得分的方差大于乙得分的方差，故D错误. 故选：C 16. 已知点在圆上，点在圆上，且为坐标原点.对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在坐标平面内存在点，使得恒成立； ②三角形面积的最小值为. A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，注意到， 则可想到当时满足题意；对于②，设， 则，后由可得，利用三角函数知识可得，据此可判断命题正误. 【详解】 ，则当时，，， ， 即当时，恒成立，则①是真命题； 设， 则， 又， 则. 因， 则， 则，令， 则， 即， 则 ，其中， ，则， 因，则 ， 则， 则，故②是真命题. 故选：A. 【点睛】关键点睛：对于命题①，关键为注意到； 对于命题②，难点在于确定的范围，为此首先将看作整体，随后将从相关等式中分离出来，最后利用三角函数的值域确定范围. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知点，点Q在曲线上． （1）若点Q在第一象限内，且，求点Q的坐标； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】设，则. (1)利用两点间的距离公式可得，联立，即可解得点Q的坐标； (2) ，其中，从而可得，利用二次函数的单调性及可求得答案. 【小问1详解】 解：设，则， 由已知条件得，将代入上式，并变形得，解得x＝0（舍去）或x＝2． 当x＝2时，，只有x＝2，y＝2满足条件， 所以； 【小问2详解】 解：，其中， 所以， 所以当x＝1时，． 18. 已知圆C：及直线l：． （1）求过点的圆的切线方程； （2）找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交； （3）求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程． 【答案】（1） （2）；证明见解析 （3）弦长为；直线方程为 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得； （2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明； （3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得. 【小问1详解】 由题意可得圆心， 由点在圆上，所以设切线斜率， 则， 所以直线方程，即. 【小问2详解】 变形为， 令，解得， 所以直线l恒经过点， 因为，所以点在圆内部， 所以直线l与圆C恒相交. 【小问3详解】 当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直， 设弦的斜率为，则， 弦方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 19. 某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示． （1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率； （2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的差值，例如3月31日的最高温度为17，最低温度为9，当天的温差为8记4月1日至4日这4天温差的方差为，4月11日至14日这4天温差的方差为，若，求4月14日天气预报的最高气温； （3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9的天数，求X的分布列及期望． 【答案】（1） （2）18 （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率； （2）根据方差公式列出关于的方程，然后求解； （3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望. 【小问1详解】 设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以 【小问2详解】 4月1日至4日这4天温差分别为9、8、9、9， 因此，设4月14日的温差为x， 则4月11日至14日这4天温差分别为8、9°C、8、x， 因此， 解得，因此，4月11日这天最高气温是18． 【小问3详解】 从3月31日至4月13日，一天温差不超过9的共有11天，高于9的共有3天 X可能取值为0，1，2. ，， 随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X期望. 20. 已知椭圆的方程为，右顶点为，上顶点为，椭圆的中心位于坐标原点，两个椭圆的离心率相等． （1）若椭圆的方程是，焦点在轴上，求的值； （2）设椭圆的焦点在轴上，直线与相交于点、，若，求的标准方程； （3）设椭圆的焦点在轴上，点在上，点在上．若存在是等腰直角三角形，且，求的长轴的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用离心率公式计算即可； （2）先求出，得到直线的方程，设的方程为，，，直曲联立，运用弦长公式得到，求出即可； （3）先设出的方程，因为有且的条件，所以任取上一点（不与点重合），算出和直线的斜率.接着设出点的坐标，算出.由于，得出直线方程，进而得到与、的关系.结合以及曲线方程进一步求解，最后得到长轴取值范围即可. 【小问1详解】 由题，椭圆的离心率为，椭圆的离心率为， 解得 【小问2详解】 由题，，，所以，直线的方程为， 设的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程，代入整理得， ，可得， 由韦达定理可得，， 故 ，解得. 所以的标准方程为. 【小问3详解】 由题，设的方程为， 由题意，且， 任取上一点（不与点重合），则，. 设，则， 直线的方程为，故， 代入得， 因为，解得， 由对称性，不妨设，代回直线方程可解得， 而点位于上，所以 ， 为上任一点，所以为定值，化简得. 设，为上任一点，即有解. 整理得，， 解得，所以 . 故的长轴长. 21. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线右支交于两点. （1）当直线过点，且时，求的周长； （2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； （3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【小问1详解】 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， 【小问2详解】 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. 【小问3详解】 设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$