四川省泸县第五中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

泸县五中高2023级高二下期期末考试 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷2至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为 A．744 B．620 C．372 D．162 2．已知，，且，则 A．-6 B．5 C．4 D．6 3．若直线的倾斜角的大小为，则实数 A． B． C． D． 4．设为等差数列，且，则 A．16 B．18 C．20 D．22 5．圆与的公共弦长为 A． B． C． D．4 6．2024年汤姆斯杯暨尤伯杯羽毛球团体锦标赛于4月27日在四川成都开赛．为保证锦标赛顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天，丙和丁各去一天，则不同的安排方法有 A．140种 B．210种 C．420种 D．840种 7．某新能源汽车公司生产的电池容量（单位：千瓦时），且．若质检部门随机抽检块电池，则恰好有块电池的容量在千瓦时以上的概率为 A． B． C． D． 8．设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知正项等比数列的公比为，若，且，则 A． B． C．是数列中的项 D．，，成等差数列 10．已知双曲线的渐近线与圆相切，，为的左、右焦点，动点在的左支上，则 A． B．为直角三角形 C．周长的最小值为 D．的最小值为2 11．已知棱长为1的正方体，空间内的动点满足，其中，，，且到棱的距离和到平面的距离相等，则 A．当时，的轨迹长度为 B．当时，四面体的体积为定值 C．存在点，使得 D．直线与平面所成角的正弦值最大为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12． 的展开式的常数项是 (用数字作答)． 13．若函数的导函数是偶函数，则在点处的切线方程为 . 14．已知直三棱柱中，，且.若三棱柱的外接球的表面积是，则此三棱柱的体积的最大值是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在数列中，，点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列的前n项和. 16．（15分） 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位患者的年龄并得到如下频率分布直方图（每一组区间均是前闭后开），回答下列问题： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）. 17．（15分） 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与抛物线交于，两点，. （1）求抛物线的方程； （2）若关于轴的对称点为，求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标. 18．（17分） 已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，为的导函数. （i）求实数的取值范围； （ii）记较小的一个零点为，证明：. 19．（17分） 如图，在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，连接，，，将沿着折线翻折，使点到达点位置，连接，形成三棱锥. (1)若，分别为边，上的中点，，求此时三棱锥外接球的表面积； (2)若，是的中点. （ⅰ）求的大小； （ⅱ）若正方形边长为，当取最小值，取最大值时，求此时直线与平面所成角的正弦值. 第 2 页 共 17 页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $$泸县五中高2023级高二下期期末考试 数学参考答案与评分标准 一，选择题 题号 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 C D D c A c C B ABD BC 题号 11 答案 ABD 二。填空趣 12. -160 8x-y-18=0 13. 14. 三.解答题 15.解：(1)点(a,a)在直线y=r 2上， .01=0n+ 2, 小…2分 ∴.at-an= 2,又4= 2 ∴数列a,}为首项为2，公差为2的等差数列， …4分 所以0， 2…5分 b=-1 =4=421 (2)由(1) a.a n(n+1)nn+l …7分 ………9分 111 =41- 11 223 nn+l …11分 =4 4 n+1 <4,得证.…l3分 元=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023 16.解(1)平均年龄 +55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.002)×10=47.9 (岁)…4分 30.60 (2)由频率分布直方图可得该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率为 0.017+0.023+0.02×10=0.6 …7分 第1页共7页 （③)设B=“任选一人年龄位于区间40,50”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得： P(B)=16%=0.16PC=1%=0.01P(B1C)=0.023×10=0.23 …11分 40,50 则由条件概率公式可得从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 CB)=PBC.P(C)P9_0.01x0.23=0.014375s0.0144 此人患这种疾病的概率为 P(B)P(B) 0.16 …15分 17.解：设焦点F的坐标为2 ,则1的方程为少=x 2,…分 代入抛物线广=2r得r-3pr+ -=0 4 ，…2分 设A小8小，则5+5=3p%= 4 …3分 由抛物线的定义知48=+5+p=3p+p=4p,又M8=4 .4p=4 ，则 5分 六抛物线C的方程为广=2x ……6分 (2)由于A关于轴的对称点为D,则D的坐标为 Ko=+=+= 那么直线的斜率为 书，-巧_上乃一片， ……9分 BD 22 ytx=2 (x-) 直线BD的方程为 - 即%-)y+乃-=2x-2x ………2分 :y2=2x,=4, 4……l3分 (=45=1,即%=-1（因为，片异号），…14分 第2页共7页 直线D的方程为2*引-=0,过0 …15分 18.解：D当a=1时，f刊=r-x-nx,函数的定义域为0+切 ……1分 fx刘=2x-1-1_x-2x+ …3分 当∈0l时，<0，函数单调递诚 当∈山，+切)时，八>0，函数八刊单调递增 综上所述，函数八刊在0.1上单调递减，在山，+切)单调递增.4分 (2)(i)函数/的定义域为0，+w,f八=2m+(a-2-1a-l2r+ ①当a≤0时，八<0，函数因在0+单调递减，f八刊至多有一个零点，不符合题意：…5分 ②当。>0时，令f八y=0,解得x=日 …6分 当》时.内<0，通数内单两建花 当石和时，广儿>0，函数阳弹调狼…7分 当。时，f到取得最小值，最小值为 因为函数儿因有两个零点，且0时，场，场时。→场，所以日k0 设g@=na-+1,易知函数ga在(0，+w单调递增…8分 因为8=0，所以8a<0的解集为a∈0,1 综上所述，实数“的取值范围是0，刂 ……10分 第3页共7页 i)因为国=+a-2x-血，由=2a-2<0,结合i)知0<<1， 要证6>-2.即证2x+a,->-2.即(2，+川>2，- …11分 当0<6≤时因为m(2x+>0,2么-150，不等式恒成立 …2分 当2。<1时，由fx)=0得a,无+1)=n+2x, 即证2+（血+2x)>2x-1x+1 …13分 甲旺2-2 2x+1 2x+1 1 nx++2x+ ->0 即证 4分 2 p(x)=- +1- 2 +1 >0 2x ,…15分 所叶列在( 单调递增……… …16分 所P>p -ln2+1>0 故原不等式成立所以x八)>-2.…17分 19.解：(1)由题意得 E14,又4ELCF,4,cFc平面4CF,4FnCF=F 所以4长平面4C,则此时三维一C 如图所示，2分 由题意得4E=4F0,CB=CF=5。 =0,△4CE,△4EF,△4C都是直角三角形，所以AC=a, 将三棱锥 -ACF 补全为长方体，此时三棱锥 E-ACF 的外接球球心为长方体对角线的中点， 第4页共7页 即r-0++a=0sr= ………4分 所以三棱锥有-CBF外接球的表面积为4切2=号2…5分 (2)(i)设BE=x.DF=y ’,则E=a-,AF=a-y 因为EF=BE+DF,所以EF=x+y, 在直角三角形AEF中EF2=AE2+AF2, 得任+=a-+a-,整理得.+刃=心-”. ……7分 因为tan∠BCE=,tan∠DCF=上 a ,an(RCE+crtan∠BCE+tan∠DCF=aa=a(x+y)_1 1-tan ZBCE tan /DCF .y a-y ,…8分 aa 因为 cE+2DcF引，所∠8cE+∠DcF 4,故<BCF= 244.…9分 (m)由(i)知∠BCF-设∠BcE=ae》则∠DcE=a, CF=- CD 1+2 所以CE=CB=I+V反 cosacosa cos 4-a 1+V2)2 所以 4 2coco 1+√2)2 0+√2)2 0+√2)2 2sincoa+coin2ao+sim 因为a引所以2a+任. 当2a+42时， 2a+4)有最大值，最大值为1，此时Sr有最小值，… 第5页共7页 所以当、 E=CF=1+2 S.CEF 取最小值时，∠BCE=∠DCF=,且 cos 8 2tanπ 过tan“=o-=1 41-tan2 8 tang=2-1' 所以BE=DF=a-m爱-5+x5-》-=L,AE=Af=2,Ef=5AE=21分 如图1，取EF中点H,连接AH,CH,则AH⊥EF,CH⊥EF,故A,H,O,C四点共线， 当4世取最大值时，即平面4EF上平面4BCD,由每折关系知4H1CH, 故直线4H,F,CH两两垂直， 且H=4H=号F=1,0=A0-Ah=4C-h=9x5+0-1= 2 2,…12分 D F H 0 B E 图 如图2，以H为原点，分别以丽，C,丽的方向为，)，：轴的正方向建立空间直角坐标系， 则40.0E0-0F010,;,00 …3分 B D 图2 第6页共7页 AF.i=y-z=0 设平面AOr的法向量为 n=Gy则40n= 2r-2=0, 令=5，则y=2,故n=W5,0 …15分 4E. 设直线4E与平面4OF所成的角为。则血8-os4正小- 22 4E同 √2×22 2 六直线4，E与平面A0F所成角的正弦值为2…17分 第7页共7页