21.2.1 解一元二次方程——配方法（第1课时）（导学案）数学人教版九年级上册

21.1配方法第一课时导学案（解析版） （1）理解方程需要分类讨论,这个过程直接利用平方根的意义就能完成。将一个一元二次方程转化为的形式，从而利用直接开平方法求解。 （2）在将一个一元二次方程转化为形式的基础上，通过转化为的形式来解一元二次方程。 （3）使学生认识到本节课学习的解方程是学习配方法及后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 重点：直接开平方法一元二次方程。 难点：解方程的分类讨论。 第一环节 自主学习 温故知新： 1 平方根的意义：如果 ，那么称为的 ，即 . 2 如果，那么的平方根如何？当 时，的平方根为 ；当 时，的平方根为 ；当 时， 平方根. ③解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项，合并同类项；系数为1. 【学法指导】 自研课本P5页内 思考 课本P5页问题 1.设其中一个盒子的棱长为，则可列出什么方程？ 2.这个方程整理后得到什么样的最简形式？怎样求出方程的解？ 3.如何验证？ 自研课本P5页内容 类比思考 问题 前面讲的一元二次 ① 通过整理，得，利用平方根的意义，可以解方程，对于一般形式的一元二次方程(I)的解如何呢？ 1.对于常数的值有几种情况？ 2.如何分类讨论求出方程的解？ 常数的值分为三种情况。 一般地，对于方程(I) 当时，根据平方根的意义，方程(I)有 的实数根 ； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有 的实数根 ； 当时，因为对任意实数，都有 ，所以方程(I) 实数根。 探究 问题 对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程?在解方程(I)时，由方程 得.由此想到怎样求方程 的两个根？ 思考 上面的解法中，由方程②得到③，目的是什么？ 归纳总结：“降次”是解 方程的基本策略，和两种形式的方程都可以直接 转化为两个 方程。 第二环节 合作探究 1. 讨论解一元二次方程的基本策略和方法； 2. 讨论怎样解和两种形式的方程； 3.讨论如何分类讨论求出方程的解？ 4.例1．解下列方程 （1） （2） （3） 5.例2．将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 6.合作解决问题：某商品经过两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 1.（课本练习）解下列方程 ； ； ； ； 1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 2.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元， 2023 年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是___. 1.讨论解一元二次方程的基本策略和方法： 2.和两种形式的方程都可以直接 转化为两个 方程。 3.方程的解讨论如下： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1配方法第一课时导学案（解析版） （1）理解方程需要分类讨论,这个过程直接利用平方根的意义就能完成。将一个一元二次方程转化为的形式，从而利用直接开平方法求解。 （2）在将一个一元二次方程转化为形式的基础上，通过转化为的形式来解一元二次方程。 （3）使学生认识到本节课学习的解方程是学习配方法及后续学习（求根公式、二次函数）的重要基础，激发进一步学习的兴趣，在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 重点：直接开平方法一元二次方程。 难点：解方程的分类讨论。 第一环节 自主学习 温故知新： ①平方根的意义：如果，那么称为的平方根，即. ②如果，那么的平方根如何？当时，的平方根为；当时，的平方根为0；当时，没有平方根. ③解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项，合并同类项；系数为1. 【学法指导】 自研课本P5页内 思考 课本P5页问题 1.设其中一个盒子的棱长为，则可列出什么方程？ 2.这个方程整理后得到什么样的最简形式？怎样求出方程的解？ 3.如何验证？ 1.设其中一个盒子的棱长为，则这个盒子的表面积为，根据一桶油漆可刷的面积， 列出方程 ① 2.整理，得 根据平方根的意义，得，即。 可以验证，5和-5是方程①的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm。 自研课本P5页内容 类比思考 问题 前面讲的一元二次 ① 通过整理，得，利用平方根的意义，可以解方程，对于一般形式的一元二次方程(I)的解如何呢？ 1.对于常数的值有几种情况？ 2.如何分类讨论求出方程的解？ 常数的值分为三种情况。 一般地，对于方程(I) 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个相等的实数根； 当时，因为对任意实数，都有，所以方程(I)无实数根。 探究 问题 对照上面解方程(I)的过程，你认为应怎样解方程?在解方程(I)时，由方程 得.由此想到怎样求方程 的两个根？ 类比我们知道：我们把看成整体，由方程②得到， 即，或，③ 方程的两个根为即，。 思考 上面的解法中，由方程②得到③，目的是什么？ 上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了. 归纳总结：“降次”是解一元二次方程的基本策略，和两种形式的方程都可以直接开方转化为两个一元一次方程。 第二环节 合作探究 1. 讨论解一元二次方程的基本策略和方法； 2. 讨论怎样解和两种形式的方程； 3.讨论如何分类讨论求出方程的解？ 4.例1．解下列方程 （1） （2） （3） 【详解】解：（1）整理，得，方程解为：； （2）整理，得，方程解为：； （3）整理，得，方程无实数解。 5.例2．将一元二次方程转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是(    ) A． B． C． D． 【详解】解：， 或， 故选：A． 6.合作解决问题：某商品经过两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（    ） A． B． C． D． 【详解】解：设每次降价的百分率为x， 由题意得：， 解得：（舍）， ∴每次降价的百分率为， 故选：C． 1.（课本练习）解下列方程 ； ； ； ； 参考答案：；；；； ；（6）无解。 1．（2023上·广西来宾·九年级统考期中）如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A． B． C． D． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 直接开平方得：或， 解得． 故选：C． 2.(2024·重庆·中考真题)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元， 2023 年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是___. [详解]解:设平均增长率为，由题意得: ， 解得:，(不符合题意，舍去); 故答案为:10%. 1.讨论解一元二次方程的基本策略和方法：解一元二次方程的基本策略是降次，方法是可以将一元二次方程通过开平方转化为两个可以解的一元一次方程。 2.和两种形式的方程都可以直接开方转化为两个一元一次方程。 3.方程的解讨论如下： 一般地，对于方程(I)： 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根； 当时，根据平方根的意义，方程(I)有两个相等的实数根； 当时，因为对任意实数，都有，所以方程(I)无实数根。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$