21.1 一元二次方程（导学案）数学人教版九年级上册

21.1一元二次方程导学案 （1）能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项；能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 （2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（、整式方程）的理解。 （3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 重点：理解一元二次方程及其有关概念，其中涉及一元二次方程根的概念。 难点：列方程和循序渐进地培养从实际问题中抽象方程模型的能力。 第一环节 自主学习 温故知新： ①一元一次方程概念： ②方程解、解方程的概念：. ③一元一次方程一定有解吗？有几个解? ④列方程解决实际问题的基本方法：. 新知自研：自研课本第1--3页的内容 【学法指导】 自研课本P1页内容 思考 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高? 观察：上面列出的方程（1）有什么特征？ 自研课本P2-3页内容 思考 问题1 （见课本） （1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形的形状大小应该如何？ （2）设切去的正方形的边长为，则盒底的长、宽各为多少？ （3）根据方盒的底面积为3 600，得什么方程？方程整理后得到什么方程？ （4）这一方程有什么特征？ 思考 问题2（见课本） （1）这种比赛形式也叫做单循环比赛，其比赛场次的特点是什么？ （2）全部比赛的场数为多少场？ （3）设应邀请个队参赛，每个队要与其他多少个队各赛一场？共比赛多少场？可以得到什么方程？方程整理后得到什么方程？ （4）这一方程有什么特征？ 总结归纳 （1）这些方程的特征： （2）一元二次方程： （3）这些一元二次方程的最高项二次的系数可以为0吗？为什么？ 自研课本P2-3页内容 思考 （1）在问题1中，我们将方程整理为：，象这样的一元二次方程称为一般形式，我们如何用字母表示一元二次方程的一般形式呢？ （2）类比一元一次方程解你能得出什么是一元二次方程的解吗？ 自研课本3页例1内容 例.将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 例1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 第二环节 合作探究 1.讨论一元二次方程的定义、解（根）的定义。 2.讨论一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的二次项、一次项、常数项。 3.讨论列一元二次方程解实际问题的一般步骤。 4.合作解决下面问题：关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 1.课本练习1 2.课本练习2 3.某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 1.(2024·四川眉山·中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量 年平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 2.(2024·四川凉山·中考真题)若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为( ) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 1.一元二次方程的定义： . 2.一元二次方程的一般形式是 ，其中是 ，是 ；是 ，是 ；是 。 3.列一元二次方程解实际问题的一般步骤： . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.1一元二次方程导学案 （1）能准确叙述一元二次方程的定义，独立写出一般形式；能识别方程中的二次项系数、一次项系数和常数项；能根据实际问题列出简单的一元二次方程。 （2）经历“实际问题→数学建模→概念生成”的过程，培养抽象能力；通过辨析实例强化对概念关键特征（、整式方程）的理解。 （3）感受方程在解决现实问题中的价值，增强应用意识；在合作探究中体会数学的严谨性与逻辑性。 重点：理解一元二次方程及其有关概念，其中涉及一元二次方程根的概念。 难点：列方程和循序渐进地培养从实际问题中抽象方程模型的能力。 第一环节 自主学习 温故知新： ①一元一次方程概念： 含有一个未知数，未知数的次数是1 的方程，叫做一元一次方程． ②方程解、解方程的概念：使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程解的过程叫解方程. ③一元一次方程一定有解吗？有几个解?一定有解．只有一个解. ④列方程解决实际问题的基本方法：根据已知、未知条件找等量关系，建立方程. 新知自研：自研课本第1--3页的内容 【学法指导】 自研课本P1页内容 思考 在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感。按此比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部应设计为多高? 雕像的上部高度AC与下部高度BC应有如下关系:，即。 设雕像下部高，可得方程,整理得. 整理方程的方法：①去括号，得；②移项，得. 观察：上面列出的方程（1）有什么特征？ 特征：方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2. 自研课本P2-3页内容 思考 问题1 （见课本） （1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形的形状大小应该如何？ （2）设切去的正方形的边长为，则盒底的长、宽各为多少？ （3）根据方盒的底面积为3 600，得什么方程？方程整理后得到什么方程？ （4）这一方程有什么特征？ （1）为了制作无盖方盒，铁皮各角切去的正方形应大小相同。 （2）盒底的长为，宽为。 （3）方程为，整理后得 （4）方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2. 思考 问题2（见课本） （1）这种比赛形式也叫做单循环比赛，其比赛场次的特点是什么？ （2）全部比赛的场数为多少场？ （3）设应邀请个队参赛，每个队要与其他多少个队各赛一场？共比赛多少场？可以得到什么方程？方程整理后得到什么方程？ （4）这一方程有什么特征？ （1）比赛场次的特点是任何两队之间都要比赛一场，而且只比赛一场。 （2）全部比赛的场数为场。 （3）每个队要与其他个队各赛一场，共比赛场， 所方程为，整理后得 （4）方程两边都是整式，有一个未知数，的最高次数是2. 总结归纳 （1）这些方程的特征：两边都是整式，方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数是2。 （2）一元二次方程：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 （3）这些一元二次方程的最高项二次的系数可以为0吗？为什么？不能为0，如果为0，最高项就不是2次，不符合一元二次方程的定义。 自研课本P2-3页内容 思考 （1）在问题1中，我们将方程整理为：，象这样的一元二次方程称为一般形式，我们如何用字母表示一元二次方程的一般形式呢？ 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 （2）类比一元一次方程解你能得出什么是一元二次方程的解吗？ 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。 自研课本3页例1内容 例.将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 【分析】先将方程化为的形式，其中是二次项系数；是一次项系数；是常数项。 【详解】解:去括号，得 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 . 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为 例1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    ) A． B． C． D． 【分析】主要考查一元二次方程定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可。 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； C、含有两位未知数，故该选项不符合题意； D、是一元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：B 第二环节 合作探究 1.讨论一元二次方程的定义、解（根）的定义。 2.讨论一元二次方程的一般形式，及一元二次方程的二次项、一次项、常数项。 3.讨论列一元二次方程解实际问题的一般步骤。 4.合作解决下面问题：关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（    ） A． B． C． D．无法求解 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，从而，，即可求解． 【详解】解：根据题意得：方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是， ∴关于的一元二次方程的解为，， 解得， 故选：B． 1.课本练习1 2.课本练习2 3.某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 参考答案： 1. （1），二次项系数、一次项系数和常数项分别是5、－4、－1； （2），二次项系数、一次项系数和常数项分别是4、0、－81； （3），二次项系数、一次项系数和常数项分别是4、8、－25； （4），二次项系数、一次项系数和常数项分别是3、7、1. 2.（1）；（2）；（3） 3.设教育经费的年平均增长率为，则2022的教育经费为：万元，2023的教育经费为：万元，依题意可得方程，， 故选：． 1.(2024·四川眉山·中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量 年平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【详解]解:根据题意得:.故选 D. 2.(2024·四川凉山·中考真题)若关于x的一元二次方程的一个根是，则a的值为( ) A.2 B.－2 C.2或－2 D. 【详解]解:是关于x的一元二次方程，则，即① 由一个根，代入, 可得，解之得； ② 由①②得； 故选A 1.一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程解（根）。 2.一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。 3.列一元二次方程解实际问题的一般步骤：分析问题中的已知量、未知量、等量关系，设未知数列一元二次方程。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$