专题2.2 数轴（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.2 数轴 教学目标 1.掌握数轴的概念和画法，学会用数轴上的点表示有理数。 2.掌握数轴的基本性质，学会利用数轴比较有理数的大小。 3.掌握数轴上两点之间距离的表示。 教学重难点 1.重点 （1）数轴的画法； （2）用数轴上的点表示有理数； （3）数轴上两点之间的距离。 2.难点 （1）数轴上的动点问题； （2）数轴上点运动规律的探究。 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）请补全下面的数轴，并在数轴上标上分别表示、的点、． 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，若在数轴上找一点C，使得点A、C的距离为4；再在数轴找一点D，使得点B、D的距离为1，则C、D的距离不可能为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）A、B两点在数轴上，点A表示的数是2，A、B之间的距离为4，则点B表示的数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来：，，0，． 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示、2、、1的点，再把这四个数用“＜”连接起来． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）在数轴上表示下列各数，再比较大小，并用“”把各数连起来． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示．    (1)判断： 1（填“>”、“=”或“<”）； (2)用“<”将连接起来（直接写出结果）． 题型01 数轴的三要素及其画法 【典例1】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【变式2】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【变式3】画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【变式4】请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    牢记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度； 题型02 用数轴上的点表示有理数 【典例1】若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【变式2】如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【变式3】如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 【变式4】在数轴上表示下列各数：，，，0.25． 题型03 利用数轴比较有理数的大小 【典例1】下列说法，不正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0． B．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大． C．数轴上的数，右边的数总比左边的数大 D．在数轴上右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大． 【变式1】实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【变式3】生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为 ． 【变式4】把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，，0，，，． 题型04 数轴上两点之间的距离 【典例1】一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【变式2】已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【变式3】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【变式4】一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 题型05 数轴上的中点问题 【典例1】在数轴上，点，分别表示数，，将点向右平移个单位长度，得到点．若是中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】一条数轴上有两点与，原点为，已知，点在点的右侧且，若点是的中点，则点所表示的数可能是（   ） A．或 B．或4 C．1或 D．1或4 【变式2】在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是 ． 【变式3】如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【变式4】如图，数轴上从左到右依次有点，其中点为原点，所对应的数分别为，两点间的距离是3． (1)在图中标出点的位置，并写出点对应的数． (2)若在数轴上另取一点，且两点间的距离是4，求点所对应的数． 题型06 数轴上点的平移（动点问题） 【典例1】如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 【变式2】线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是 单位长度． 【变式3】已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是 ； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【变式4】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 题型07 数轴上找原点 【典例1】一个点在数轴的正半轴上，且距离原点2个单位长度，这个点表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【变式1】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【变式2】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【变式3】如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【变式4】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，，则、、、四个点中可能是原点的是 ． 题型08 数轴上整点覆盖问题 【典例1】数轴上从-3.9到它的相反数有a个整数点，则a个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖（    ）个整数点. A．8 B．7 C．6 D．4 【变式1】在数轴上与相距2个单位长度的点表示的数为 ；长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 个表示整数的点，最多能覆盖 个表示整数的点． 【变式2】在数轴上，一个单位长度表示1cm，现在用8cm的木棒放在数轴上，可以覆盖整数点有 个 【变式3】长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 个表示整数的点，最多能覆盖 个表示整数的点． 题型09 数轴上的规律探究 【典例1】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】小明同学将2B铅笔笔尖从原点O开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作；再沿负半轴滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作，再沿负方向滑4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第50次操作后笔尖停留在点P处，则点P对应的数是（　　） A．0 B．﹣10 C．﹣25 D．50 【变式2】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【变式3】在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 【变式4】已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 1．有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在到之间的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点表示的数为，则与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 3．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆上表示哪个数的点重合？（   ） A． B． C． D． 4．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C．3 D． 5．如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 6．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是（　　）    A． B． C． D． 8．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（    ） （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．在数轴上原点的右侧，表示数a的点与原点的距离是6，那么 ． 10．已知点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，若点C所表示的数为a，则点A所表示的数为 ． 11．如图，点位于数轴上原点两侧，且点距离点为9个单位长度．若点表示的数是6，则点表示的数是 ． 12．在数轴上点A表示，将点A沿数轴向右移动6个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示数为 ． 13．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 14．长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 15．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ． 16．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ．    17．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 18．画出数轴，在数轴上表示下列各数：0，，，，，并用“”连接． 19．已知有理数、，其中数在如图的数轴上的对应点为，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)________，________． (2)比较和的大小：________． 20．用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 21．如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数“”的点C应落在点A左边、点A、B之间还是点B的右边？请说明理由． 22．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 23．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______； (2)受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生（0岁）；你若是我现在这么大，我就87岁啦！”则爸爸的年龄是______岁．（在图2中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要13年才出生；你若是我现在这么大．我就119岁啦！”则爷爷的年龄是______岁．（画出示意图展示分析过程） 24．如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）； (3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数． 25．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 数轴 教学目标 1.掌握数轴的概念和画法，学会用数轴上的点表示有理数。 2.掌握数轴的基本性质，学会利用数轴比较有理数的大小。 3.掌握数轴上两点之间距离的表示。 教学重难点 1.重点 （1）数轴的画法； （2）用数轴上的点表示有理数； （3）数轴上两点之间的距离。 2.难点 （1）数轴上的动点问题； （2）数轴上点运动规律的探究。 知识点01 数轴的概念与画法 1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. （1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线； （2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可； （3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变； （4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小. 2.数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0； （3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键； 根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴； 【详解】解：A、没有方向，故错误； B、没有原点，故错误； C、单位长度不一样长，故错误； D、符合所有条件，是数轴，故正确； 故选：D 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图所示数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可． 【详解】解：A．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致； B．正确； C．不正确，错误原因：缺少正方向； D．不正确，错误原因：缺少了原点． 故本题选：B． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）请补全下面的数轴，并在数轴上标上分别表示、的点、． 【答案】答案见详解． 【分析】根据数轴的三要素：原点，单位长度，正方向补充完整数轴，然后找出、的点、即可． 【详解】解：根据数轴的三要素判断，原数轴还缺原点和正方向，并将、标在数轴上，如下图所示： 【点睛】本题考查了数轴的三要素和数轴上的点，熟悉相关性质是解题的关键． 知识点02 有理数与数轴上点的对应关系 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. （1）正数可以用数轴上原点右边的点表示； （2）负数可以用数轴上原点左边的点表示； （3）0用原点表示. 2.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数. 3.数轴上的点与有理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础. 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，若在数轴上找一点C，使得点A、C的距离为4；再在数轴找一点D，使得点B、D的距离为1，则C、D的距离不可能为（    ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】B 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，从而完成解答． 【详解】解：由题意，点A、C的距离为4，则点C表示的数为或1； 点B、D的距离为1，则点D表示的数为或； 所以点C、D的距离为0或2或8或6，故不可能为4； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）A、B两点在数轴上，点A表示的数是2，A、B之间的距离为4，则点B表示的数是 ． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，当点B在点A右侧时，根据两点之间的距离得出答案；当点B在点A左侧时，根据两点之间的距离得出答案． 【详解】当点B在点A右侧时，点B表示的数是； 当点B在点A左侧时，点B表示的数是． 所以点B表示的数是6或． 故答案为：6或． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）画出数轴并把下列各数在数轴上表示出来：，，0，． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是用数轴上的点表示有理数，根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】如图所示，数轴表示如下： 知识点03 利用数轴比较有理数的大小 1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数. 正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数. 有理数大小关系的传递性 对于有理数a、b、c， 若a＞b，且b＞c，那么a＞c； 若a＜b，且b＜c，那么a＜c； 【即学即练】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上画出表示、2、、1的点，再把这四个数用“＜”连接起来． 【答案】，详见解析． 【分析】本题主要考查了数轴，有理数的大小比较，先在数轴上描出相应的点，再根据在数轴上有理数表示的点，右边的总比左边的大的性质解答即可，熟练掌握有理数的大小比较方法是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示， ， 由数轴可知：． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）在数轴上表示下列各数，再比较大小，并用“”把各数连起来． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数、比较有理数大小等知识，准确在数轴上表示有理数是解题的关键．按照点在数轴上的位置表示出来，根据从小到大的顺序用“”连接起来即可． 【详解】解：如图， ． 3．（23-24七年级上·江苏南通·期中）有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示．    (1)判断： 1（填“>”、“=”或“<”）； (2)用“<”将连接起来（直接写出结果）． 【答案】(1)> (2) 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴得，从而判断出； （2）由数轴得，，进一步判断出，从而判断出的大小关系． 【详解】（1）由数轴得， ∴， 故答案为：>； （2）由数轴得，， ∴， ∴ 题型01 数轴的三要素及其画法 【典例1】下列四个数轴的画法中，规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提．根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确，不符合题意； 选项B的数轴无原点，无正方向，因此选项B不正确，不符合题意； 选项C符合数轴的意义，正确，符合题意； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1】数轴是（    ） A．规定了原点和正方向的一条直线 B．规定了单位长度的一条直线 C．规定了原点、正方向和长度单位的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的一条直线 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴的定义，掌握数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线成为解题的关键．根据数轴的定义进行判断即可． 【详解】解：∵数轴是规定了原点、正方向和单位长度的一条直线， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】下列有关数轴的说法： （1）在画数轴时，原点位置可以任意确定； （2）一般情况下，取向右的方向为数轴的正方向； （3）数轴中的单位长度可根据实际需要任意选取； （4）数轴上的点只能表示整数． 其中正确的有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了数轴的画法及其意义，把握数轴三要素，即原点、正方向、单位长度，是解答此题的关键． 根据数轴的定义，对每个说法进行分析判断，即可求解． 【详解】说法（1），数轴上，原点位置的确定是任意的，符合题意； 说法（2），数轴上，一般情况下，正方向可以是向右，符合题意； 说法（3），数轴上，单位长度可根据需要任意选取，符合题意； 说法（4），数轴上的点不仅能表示整数，还能表示分数，无限不循环小数等，不符合题意． 说法共有3个正确． 故答案为：3． 【变式3】画一条数轴，并在数轴上标出下列各数，，，，， 【答案】作图见解析 【分析】本题考查数轴的画法，用数轴上的点表示有理数．先根据数轴的三要素画出数轴，再根据数轴上的点所对应的数标出来即可．掌握数轴的三要素，准确地画出数轴是解题的关键． 【详解】解：将数，，，，，在数轴上表示如图所示：    【变式4】请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【答案】见详解 【分析】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【详解】解：如图， 牢记数轴的三要素：原点、正方向、单位长度； 题型02 用数轴上的点表示有理数 【典例1】若将下面的四个有理数表示在数轴上，则位于最左边的是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查用数轴比较有理数的大小，根据用数轴上的点表示有理数，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴位于最左边的是． 故选：B． 【变式1】下列说法错误的是（   ） A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5 C．数轴上存在可以表示的点 D．数轴上表示的点一定在原点的左边 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可． 【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意； B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意； C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意； D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是），刻度尺上“”和“”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的5和6之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是2.3． 故选：C． 【变式3】如图，位于数轴上原点两侧，且．若点表示的数是9，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，在数轴上表示有理数．根据已知条件和两点间的距离公式，求出和，结合数轴求出点表示的数，即可作答． 【详解】解：点表示的数是9， ，， 结合点在点的左边， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式4】在数轴上表示下列各数：，，，0.25． 【答案】数轴见解析． 【分析】本题考查了有理数与数轴，根据有理数与数轴上点的关系表示出各数即可． 【详解】解：在数轴上表示各数如图所示： 题型03 利用数轴比较有理数的大小 【典例1】下列说法，不正确的是（    ） A．绝对值最小的有理数是0． B．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大． C．数轴上的数，右边的数总比左边的数大 D．在数轴上右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，绝对值等知识点，能准确理解数轴以及绝对值的意义是解本题的关键． 【详解】解：A. 绝对值最小的有理数是0，故该选项正确，不符合题意； B. 离原点越远的点，表示的数的绝对值越大，故该选项正确，不符合题意； C. 数轴上的数，右边的数总比左边的数大，故该选项正确，不符合题意； D. 在数轴上右边的数比左边的数大，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则a，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据各点再数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，进而可得结论． 【详解】解：由图可知，，， ∴， 故选：A． 【变式2】如图，数轴上的点，对应有理数，，有以下四个结论：；；；，其中正确的是 填写序号 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，． 正确，错误， 错误， 错误， ．正确的是 故答案为∶ 【变式3】生活情境气温变化，冬季某天，我国三个城市的最高气温分别是，，，若是在数轴上表示，1，这三个数，通过观察数轴，用“”将它们从左到右排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴．熟练掌握用数轴表示数，数轴上数的大小排列顺序，是解题的关键． 把，1，这三个数在数轴上表示出来，根据三个点的位置，用“<”把三个数连起来． 【详解】在数轴上表示，1，这三个数， 观察数轴发现，它们从左到右排列为，，1， ∴． 故答案为：． 【变式4】把下列各数在数轴上表示出来，再按照从小到大的顺序用“”连接起来． ，，0，，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查了用数轴表示有理数和根据数轴表示有理数的大小．在数轴上表示出各数，再按照数轴的特点从左到右用“”把各数连接起来即可． 【详解】解：在数轴上表示为： ， 按照从小到大的顺序用“”连接为：． 题型04 数轴上两点之间的距离 【典例1】一只蚂蚁从数轴上一点A出发向右爬了3个单位长度到了原点，则点A所表示的数是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了对数轴的认识，根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置，据此可得答案． 【详解】解：根据题意知，点A位于原点左侧3个单位的位置， 则点A所表示的数是， 故选：B． 【变式1】数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为6， ∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B， ∴或 ∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等， ∴或， ∴点C表示的数是或10 故选：B． 【变式2】已知数轴上两点对应的数分别为，若在数轴上找一点，使得点的距离为4，再在数轴上找一点D，使得点B,D的距离为1，则的距离为 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据题意可分别确定点C与点D表示的数，进而可确定这两个点间的距离，即可解答． 【详解】解：数轴上对应的数为，点的距离为4， 对应的数为或， 数轴上对应的数为，点B,D的距离为1， 对应的数为或， 的距离为或或或， 故答案为：或或或． 【变式3】在一条可以折叠的数轴上，点、表示的数分别为和3，（如图1）以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后若A，两点间的距离为1，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示的有理数，先根据A，B点表示的数求出线段长，再分两种情况讨论：并根据折叠后的长求出的长，进而确定点C表示的有理数． 【详解】解：∵点A，B点表示的数分别是， ∴． 当折叠后点A在点B的右边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是； 当折叠后点A在点B的左边，且， ∴， 解得， ∴点C表示的数是． 所以点C表示的数是或． 故答案为：或． 【变式4】一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位… (1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ． (3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ． (4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值． 【答案】(1)2；1 (2)3；2 (3) (4) 【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键． （1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，； （3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，； （4）根据移动规律得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （2）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （3）解：点表示的数为， ， 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 题型05 数轴上的中点问题 【典例1】在数轴上，点，分别表示数，，将点向右平移个单位长度，得到点．若是中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 根据数轴上两点间的距离，即可求解； 【详解】解：将点向右平移个单位长度，得到点， 代表的点为：， 是中点， 则， 则， ， ， 故选：B 【变式1】一条数轴上有两点与，原点为，已知，点在点的右侧且，若点是的中点，则点所表示的数可能是（   ） A．或 B．或4 C．1或 D．1或4 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．先根据点A的与原点的距离确定点可能对应的数，再根据两个点之间的距离得点B，再结合中点即可出答案． 【详解】解：由题意可得：点A对应的数可能是或， ∵点B在点A的右侧且， ∴点B所表示的数为或， 当B所表示的数为时， ∵点是的中点，即， ∴点C所表示的数为4， 当B所表示的数为时， ∵点是的中点，即， ∴点C所表示的数为1， 综上所述：点所表示的数可能是4或1. 故选：D． 【变式2】在数轴上，点，分别表示的数是和，则线段的中点表示的有理数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，分别表示的数是和， 线段的中点表示的有理数是， 故答案为：． 【变式3】如图，一条数轴上有三个不同的点，其中点表示的数分别是，8，现以点为折点，将数轴向右对折，若对折后的点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】或0 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质．根据折叠分类讨论，当点A落在4和12对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：∵对折后的点到点的距离为4， ∴对折后的点的对应点为或， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数12对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或0， 故答案为：或0． 【变式4】如图，数轴上从左到右依次有点，其中点为原点，所对应的数分别为，两点间的距离是3． (1)在图中标出点的位置，并写出点对应的数． (2)若在数轴上另取一点，且两点间的距离是4，求点所对应的数． 【答案】(1)数轴见解析，点对应的数是 (2)表示的数是2或 【分析】本题考查了是数轴上点及两点间的距离公式；（1）根据、所对应的数，为原点，确定C，结合两点间的距离是3，且在左侧，确定，依据数轴写出点对应的数即可； （2）利用两点间的距离公式，分点在点的右侧时或点在点的左侧，两种情况讨论． 解题的关键是掌握距离等于两个数的差的绝对值或直接用右边的数减去左边的数． 【详解】（1） 点对应的数是． （2）因为两点间的距离是4， 当点在点的右侧时，表示的数为：， 当点在点的左侧时，表示的数为：， 即表示的数是2或． 题型06 数轴上点的平移（动点问题） 【典例1】如图，把直径为1个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动一周，圆上点到达点，点对应的数是2，则滚动前点对应的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆的周长公式及数轴上点的移动规律，熟练掌握圆的周长计算和数轴上点的平移关系是解题关键．先根据圆的直径求出滚动一周的距离（即圆的周长），再结合点对应的数，通过逆向推理得到滚动前点对应的数． 【详解】解：由题意可得圆的直径，根据圆的周长公式，可得周长 ． 圆从点滚动到，滚动的距离是圆的周长，点对应数是，那么滚动前点对应的数是 ， 故选D． 【变式1】点、、在数轴上，且点分别到点、的距离相等．点沿着数轴从数字处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，点沿着数轴从数字处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒个单位长度的速度向左匀速运动 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想是解题的关键．设运动时间为秒，则秒后，点表示的数为，点表示的数为，由“点分别到点、的距离相等”可得点表示的数为，于是得解． 【详解】解：设运动时间为秒， 则秒后，点表示的数为：， 点表示的数为：， 点分别到点、的距离相等， 点表示的数为：， 从数字处以每秒个单位长度的速度向右匀速运动， 故选：． 【变式2】线段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达（点A与点，点B与点分别重合）若点A，对应的数分别是，8，则线段的长是 单位长度． 【答案】5 【分析】先根据题意求出点对应的数是，根据数轴上两点距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵段在数轴上以3单位长度/每秒的速度向正方向运动5秒，到达，点A对应的数是， ∴点对应的数是， ∵对应的数是8， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，正确求出点对应的数是是解题的关键． 【变式3】已知数轴上A、B两点对应的数分别为、，且满足    （1）求点A、B两点对应的有理数是 ； （2）若点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，经过 秒时，P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍． 【答案】 ，； 或 【分析】（1）根据非负式子和为0它们分别等于0直接求解即可得到答案； （2）分点P在B点左侧右侧两类讨论，结合距离问题列式求解即可得到答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故答空1答案为：，； （2）当点P在B点左侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 当点P在B点右侧时， ，， ∵P到A的距离刚好等于P到B的距离的2倍， ∴， 即：， 解得：， 故答空2答案为：或； 【点睛】本题考查绝对非负性应用及数轴上动点距离问题，解题的关键是注意分类讨论． 【变式4】如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 题型07 数轴上找原点 【典例1】一个点在数轴的正半轴上，且距离原点2个单位长度，这个点表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数轴表示数的意义，根据在正半轴上，距离两个单位长度即可． 【详解】解：一个点在数轴的正半轴上，即到原点的右边，且距离原点2个单位长度， 这个点表示的数为2． 故选：A． 【变式1】有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且，下列推断正确的是（    ） A．原点一定在点A左侧 B．原点一定在点A右侧 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，根据越在数轴的右边的数越大，运用，得，则原点一定在中点左侧，即可作答． 【详解】解：∵，且从数轴得， ∴，， ∴原点一定在中点左侧， 故选：C． 【变式2】如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是______． (2)在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． 【答案】(1)见解析；4 (2)2或6 【分析】本题考查数轴，用数轴表示有理数，数轴上两点间距离： （1）根据点A表示的数及每个刻度为1个单位长度可确定原点，根据点B与原点的位置可得点B所表示的数； （2）分点C在点B的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：原点在点A的右侧距离点3个单位长度，如图： 点B在原点的右侧距离原点4个单位，因此点B所表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：①当点C在点B的左侧时，， ②当点C在点B的右侧时，， 点C表示的数为2或6． 故答案为：2或6． 【变式3】如图，如果有理数的绝对值是的绝对值的3倍，那么点中 可能是数轴的原点． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，根据题意可得原点一定在数a和数b之间，则可得到，据此建立关于b的方程，解方程求出b，进而求出a，再结合数轴即可得到答案． 【详解】解：∵有理数的绝对值是的绝对值的3倍，且两个数之间的距离为， ∴当原点在数a左侧或者原点在数b右侧时都不符合题意， ∴原点一定在数a和数b之间， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴a表示的数为，b表示的数为1， ∴只有C可能是数轴的原点， 故答案为：C． 【变式4】有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，若，，则、、、四个点中可能是原点的是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，分、、、分别为原点时，四种情况分别判断出、、的符号进行讨论求解即可． 【详解】解：若点为原点，可得，则，与题意不符合，； 若点为原点，可得，且，则，，符合题意； 若点为原点，可得，且，则，与题意不符合； 若点为原点，可得，则，与题意不符合； 故答案为：． 题型08 数轴上整点覆盖问题 【典例1】数轴上从-3.9到它的相反数有a个整数点，则a个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖（    ）个整数点. A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】C 【分析】根据数轴，以及相反数的定义，即可得到答案. 【详解】解：∵的相反数是， ∵与之间有7个整数点， ∴， ∴7个单位长度的木条，在数轴上最少要覆盖6个整数点； 故选择：C. 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握在数轴表示的数. 【变式1】在数轴上与相距2个单位长度的点表示的数为 ；长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 个表示整数的点，最多能覆盖 个表示整数的点． 【答案】 0或 2 3 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的加减，掌握有理数的加减法则和用数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 【详解】解：在数轴上与数相距个单位长度的点有两个，即；；    如图，最多能覆盖个表示整数的点，最少能覆盖个表示整数的点， 故答案为：0或；2；3． 【变式2】在数轴上，一个单位长度表示1cm，现在用8cm的木棒放在数轴上，可以覆盖整数点有 个 【答案】或/9或8 【分析】分类讨论：木棒的两端点是整数点，木棒的两端点不是整数点，根据木棒的长度，可得答案． 【详解】解：把一条长8cm的木棒放在数轴上，若其端点不与两个整数点重合，则它可以盖住的 整数点有8个； 若其端点恰好与两个整数点重合，则它可以盖住的整数点有9个， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了数轴的实际应用，理解数轴上的特点是解题的关键． 【变式3】长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖 个表示整数的点，最多能覆盖 个表示整数的点． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了数轴的有关知识，数轴上的点：结合数轴进行分析所能覆盖的点数即可，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数；此题还要注意用数形结合的思想分析解决问题 【详解】解：如图， 当木条的一端与整数重合时，能覆盖3个表示整数的点， 当木条的一端步与整数重合时，能覆盖3个表示整数的点， 故最少能覆盖2个表示整数的点，最多能覆盖3个表示整数的点． 故答案为：2；3． 题型09 数轴上的规律探究 【典例1】一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可． 【详解】解：由题可得： = =， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键． 【变式1】小明同学将2B铅笔笔尖从原点O开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作；再沿负半轴滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作，再沿负方向滑4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第50次操作后笔尖停留在点P处，则点P对应的数是（　　） A．0 B．﹣10 C．﹣25 D．50 【答案】C 【分析】根据题意可以把滑动两次后的结果放在一起考虑，已知先向右滑动1个单位长度，紧接着向左滑动2个单位长度，也就是说每连续滑动两次后它就向左移动了一个单位；由于50=25×2，即连续滑动50次可看作是25个连续两次；已知每连续滑动两次后它就向左移动了一个单位，则25个连续两次左移动了25个单位. 【详解】解：观察可知如果将连续两次滑动看作一个整体，则每滑动完两次后它就向左移动了一个单位， 那么滑动完50=25×2次即25个两次后它就向左移动了25个单位， 所以当它滑动第50次落下时，落点处离O点的距离是25个单位，落点所表示的数为-25. 故选C. 【点睛】本题考查了图形类规律与探索，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 【变式2】如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与的中点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 先根据规律得出各点表示的数，进而求出点2023次跳动的点表示的数，再求出的中点，然后根据两点之间的距离得出答案. 【详解】解：由题意可得， 点A1表示的数为， 点A2表示的数为， 点A3表示的数为， …， 点表示的数为， ∴点表示的数为. ∵的中点表示的数为， ∴2023次跳动后的点与的中点的距离是：. 故答案为：． 【变式3】在数轴上，点O表示原点，现将点从O点开始沿数轴如下移动，第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点，当时，这时点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】本题是一道与数轴有关的规律型试题．观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 即每2次向右平移1个单位； 则第1002次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位． 故答案为：． 【变式4】已知，动点A在数轴上以不变的速度向右运动，同时，动点B在数轴上以不变的速度向左运动，运动规律如下表： 运动时间（s） 0 1 4 9 …… 点A表示的数 2 ____ ____ …… 点B表示的数 ____ ___ …… (1)补全表格中的数据； (2)当运动时间为时，求之间的距离． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查了数轴，运用数形结合和方程思想是解题的关键． （1）根据路程，速度和时间的关系求解即可； （2）根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）由表格可知，点初始时在数字处， 点A的移动速度为， 秒时的数字为， 秒时的数字为， 点B的移动速度为， 点向左移动，秒时数字为， 秒时数字为， 秒时的数字为， （2）点A的移动速度为，点B的移动速度为， 当运动时间为时，点A表示的数为，点B表示的数为， 所以之间的距离为． 1．有理数在数轴上的位置如图所示，下列各数中，可能在到之间的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对数轴的理解，有理数大小比较，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据数轴得出，再分别判断，，，的大小即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知：， ∴、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项不符合题意； 、，原选项符合题意； 故选：． 2．如图，数轴上点表示的数为，则与最接近的整数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，，进而得到的范围，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，在和之间，且更靠近， ， ， ， 与最接近的整数是， 故选：A． 3．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆上表示哪个数的点重合？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 圆周上的点与重合，滚动到，圆滚动了个单位长度，用除以，余数即为重合点． 【详解】解：圆周上的点与重合， ∵， ∴， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 4．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 【详解】解：由题意得：， 数字对齐数轴上的点，点对齐刻度，点对齐刻度， ， ， 解得， 故选：A． 5．如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】此题综合考查了数轴、规律探究的有关知识，把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成． 根据圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【详解】解：圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则与圆周上的2重合的数是， 即，同理与1重合的数是， 与0重合的数是， 与3重合的数是，其中是正整数． 而，把数和点对应起来， ∴数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合． 故选：C． 6．如图，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，先根据刻度尺上的刻度与数轴上得单位长度的比值不变求解出单位长度，再求出之间在数轴上的距离，即可求解，解题的关键是确定数轴上的单位长度． 【详解】解：∵图中，图中， ∴数轴一个单位的长度为， ∴， ∵点对应的数为， ∴点对应的数为， 故选：． 7．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将圆沿数轴向左无滑动地滚动一周，点A到达点的位置，则点表示的数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆的直径为1个单位长度，可得圆的周长为π，则当圆向左滚动时点表示的数是，然后作答即可． 【详解】解：∵圆的直径为1个单位长度， ∴圆的周长为π， ∴当圆向左滚动时点表示的数是． 故选：D． 【点睛】本题考查了在数轴上表示无理数．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 8．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（    ） （　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出数轴在此圆上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：∵， ， ∴数轴上表示数﹣2014的点与圆周上的数字3重合． 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，本题找到表示数的点与圆周上表示的数字重合是解题的关键． 9．在数轴上原点的右侧，表示数a的点与原点的距离是6，那么 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数轴以及数轴上的点表示的数；根据数轴特点可直接得出答案． 【详解】解：∵在数轴上原点的右侧，表示数a的点与原点的距离是6， ∴， 故答案为：． 10．已知点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，若点C所表示的数为a，则点A所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴．将在数轴上表示的点表示出来即可得到答案． 【详解】解：点所表示的数为，且位于原点左侧， 长为． ， 长为． ，且点在原点右侧， 点所表示的数为． 故答案为：． 11．如图，点位于数轴上原点两侧，且点距离点为9个单位长度．若点表示的数是6，则点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离．根据点距离点为9个单位长度．若点表示的数是6，即可得到点表示的数． 【详解】解：由题意得，点表示的数为． 故答案为：． 12．在数轴上点A表示，将点A沿数轴向右移动6个单位长度到达点B，则点B在数轴上表示数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据数轴上的点左移减，右移加，进行计算即可． 【详解】解：， 则点在数轴上表示数为5， 故答案为：5． 13．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与8表示的点重合．若数轴上A、B两点之间的距离为2024（A在B的左侧），且A、B两点经以上方法折叠后重合，则A点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和8的中点对称，即关于对称， 、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经以上方法折叠后重合，则、关于所表示的点对称， ． 故答案为：． 14．长方形纸片上有一数轴，剪下个单位长度（从到）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】或或 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，由题意可得，求出，再分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可． 【详解】解：三条线段的长度之比为， 设三条线段的长分别是，，， 到的距离是， ， 解得， 三条线段的长分别为，，， 当时，折痕点表示的数是； ②当时，折痕点表示的数是； ③当时，折痕点表示的数是； 综上所述：折痕处对应的点表示的数可能或或． 故答案为：或或． 15．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查的数轴上两点之间的距离，折叠的性质，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键． 根据折叠分类讨论，当点A落在4和16对应的点时，结合数轴上两点之间的距离即可求解． 【详解】解：，， 当点A落在数4对应的点时，则点C表示的数为：， 当点A落在数16对应的点时，则点C表示的数为：， 综上所述，点C表示的数是或1， 故答案为：或1． 16．如图，在数轴上，点A表示的数是，点B表示的数为，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ．    【答案】26或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离．可分为“当点P运动到点A右侧时”和“当点P运动到点A左侧时”两种情况讨论，根据“点P到点A的距离与点P到点B的距离比是”，列式计算即可，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【详解】解：∵在点P运动过程中，点P到点A的距离与点P到点B的距离比是， ∴， 当点P运动到点A右侧时，， ∴此时点P表示的数是； 当点P运动到点A左侧时，， ∴此时点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或． 故答案为：26或 17．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 18．画出数轴，在数轴上表示下列各数：0，，，，，并用“”连接． 【答案】数轴见解析， 【分析】本题主要考查有理数在数轴上的表示及大小比较，熟练掌握利用数轴比较有理数大小的方法是解题关键．直接将各数在数轴上表示出来，然后根据右边的数总是大于左边的数比较大小即可． 【详解】解：将各数在数轴上表示如下： 由图知，． 19．已知有理数、，其中数在如图的数轴上的对应点为，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)________，________． (2)比较和的大小：________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，化简绝对值，有理数的大小比较，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）从数轴得出所对应的数是2，即可作答． （2）两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，即可作答． 【详解】（1）解：∵数在如图的数轴上的对应点为， ∴， ∵是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． ∴， 故答案为：，； （2）解：由（1）得， ∵，且， ∴， 故答案为：． 20．用直尺画数轴时，数轴上的点A，B，C分别代表数字a，b，c，已知，如图所示，设点，该轴的原点为O． (1)若点A所表示的数是，则点B所表示的数是 ，点C所表示的数是 ； (2)若点A，B所表示的数互为相反数，则点C所表示的数是 ，此时p的值为 ； (3)若数轴上点C到原点的距离为4，求p的值． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，掌握相关结论即可． （1）由数轴可知：点B所表示的数是；根据，可得点C所表示的数是； （2）由题意得点A所表示的数是，则点B所表示的数是，可求出点C所表示的数是；即可求解； （3）由题意得点C所表示的数是或，分类讨论即可求解； 【详解】（1）解：∵点A所表示的数是， 由数轴可知：点B所表示的数是； ∵， ∴点C所表示的数是； 故答案为：，； （2）解：∵点A，B所表示的数互为相反数， ∴点A所表示的数是，则点B所表示的数是，点C所表示的数是； ， 故答案为：，； （3）解：∵数轴上点C到原点的距离为4， ∴点C所表示的数是或； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 当点C所表示的数是时，点B所表示的数是，点A所表示的数是， ∴； 综上所述，p的值为或． 21．如图，在数轴上，点A，B分别表示数，． (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数“”的点C应落在点A左边、点A、B之间还是点B的右边？请说明理由． 【答案】(1) (2)点A、B之间，见解析 【分析】（1）根据数轴上右边的数大于其左边的数列不等式解答即可； （2）根据，得到得到解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 故x的取值范围为； （2）解：根据，得到， 得到，在A的右侧； ， 故在B的左侧， 故在点A、B之间． 22．【操作探究】已知在纸面上有一数轴（如图所示）． 【操作一】 （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示______的点重合； 【操作二】 （2）折叠纸面，使表示的点与表示3的点重合，那么表示5的点与表示______的点重合，此时若数轴上两点（在的左侧）之间的距离为9，且两点经折叠后重合，则，两点表示的数分别是多少？ 【答案】（1）2；（2），点表示的数为，点表示的数为 【分析】本题考查了数轴说两点之间的距离，轴对称的性质，利用轴对称性质是解答关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）利用轴对称的性质求得折痕处对应的数，再利用轴对称的性质解答即可；利用轴对称的性质可得两点距离折痕处的距离分别为，结合数轴解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：对称中心是原点， 示的点与数2表示的点重合； （2）表示的点与3表示的点重合， 对称中心是1表示的点， 5表示的点与数表示的点重合， 数轴上A、两点之间的距离为9（在的左侧）， 点A表示的数是， 点表示的数是． 23．如图1，将一根木棒放在数轴（单位长度为1）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为3，由此可得这根木棒的长为______；图中点A所表示的数是______；点B所表示的数是______； (2)受（1）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题： ①一天，爸爸对小明说：“我若是你现在这么大，你才刚出生（0岁）；你若是我现在这么大，我就87岁啦！”则爸爸的年龄是______岁．（在图2中标出分析过程） ②爷爷对小明说：“我若是你现在这么大，你还要13年才出生；你若是我现在这么大．我就119岁啦！”则爷爷的年龄是______岁．（画出示意图展示分析过程） 【答案】(1)，12，21； (2)①58；②75． 【分析】本题考查了数轴的认识、用数轴表示数及有理数的加减法，读懂题干及正确理解题意是解决本题的关键． （1）由图象可知3倍的长为，即可求得长度．A点在3的右侧，距离3有9个单位长度，故A点为12；B点在A的左侧，距离A有9个单位长度，故B点为21． （2）根据题意，设数轴上小木棒的A端表示小明的年龄，B端表示爸爸（爷爷）的年龄，则木棒的长度表示二人的年龄差，参照（1）中的方法结合已知条件即可得出． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根这样长的木棒长为，则这根木棒的长为， ∴A点表示为，B点表示的数是， 故答案为：，12，21； （2）解：①借助数轴，把小明和爸爸的年龄差看做木棒， 同理可得爸爸比小明大， ∴爸爸的年龄是（岁）， 故答案为58． ②借助数轴，把小明和爷爷的年龄差看做木棒， 同理可得爷爷比小明大， ∴爷爷的年龄是（岁）， 故答案为75． 24．如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）； (3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2) (3)或 【分析】本题考查数轴表示数，无理数的意义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为圈，为圈，或为圈，为圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为，因此周长为，滚动圈的距离为， 而， 所以， 即，是无理数， 故答案为：，无理数； （2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，所以有， 所以， 答：、之间的距离为； （3）由（2）得，， 由于圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点C滚动圈， 因此有①当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为， 所以、之间的距离为， 又因为点表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为， 所以、之间的距离为， 又因为点表示的数为， 所以点所表示的数为， 答：点表示的数为或． 25．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)2或10 (2)秒或20秒或15秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题： （1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况； （2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果； 正确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设点是【，】的好点， ， 当在、之间时， ， ， ， 表示的数为， 当在右边时， 设表示的数为， ， ， 故答案为：2或10； （2）解：当是【A，】好点时， 即， ， ； 当是【，A】好点时， 即， ， ； 当是【A，】好点时， 即， ， ， 当A是【，】好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$