第12讲 一元二次方程的应用（2）（4大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第12讲 一元二次方程的应用（2）（4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 知识点02：利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 知识点03：几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 知识点04：动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 【题型1 握手、循环赛问题】 【例1-1】圣诞节师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 【例1-2】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛场比赛，共有多少个队参加比赛？ 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【变式1-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【变式1-3】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？ 【变式1-4】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？ 【题型2利润问题】 【例2-1】（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）小毛将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，小毛为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 【例2-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 【变式2-1】（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【变式2-2】（23-24八年级上·上海普陀·期中）某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 【变式2-3】（22-23八年级上·上海青浦·期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 【变式2-4】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【变式2-5】返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液． (1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元． (2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【题型3 几何面积问题】 【例3-1】（24-25八年级上·上海·期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长米，用米长的铁栅栏围一个所占地形状为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 【例3-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 【例3-3】（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【变式3-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 【变式3-5】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门． (1)如果墙长15米，求仓库的长和宽； (2)如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？ 【题型4 动态几何问题】 【例4-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【例4-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【变式4-1】如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm, 秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 【变式4-2】（22-23八年级下·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【变式4-3】（2023八年级下·上海·专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于． 【变式4-4】如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是(　　) A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 5．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 二、填空题 6．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 7．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）某校举行篮球单循环赛，即两队之间互相比赛，共进行了场比赛．设有个队参加这个比赛，那么可以列出方程为 ． 8．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 9．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 10．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建两个矩形篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示图网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，如果围成的篮球场的面积为1200平方米，设的长为x米．那么根据题意可列方程为 ． 三、解答题 11．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 12．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 14．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 一元二次方程的应用（2）（4大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：握手、循环赛问题 单循环赛：若有n支球队进行单循环比赛，即每两队之间都赛一场。1 支球队要和剩下的(n−1)支球队比赛，所以n支球队比赛的总场次为n(n−1)场，但A与B比赛和B与A比赛是同一场，存在重复计算，因此实际比赛场次m= 双循环赛：若每两队之间都赛两场，比如有主客场之分，那么比赛场次就是单循环赛的2倍，即m=n(n−1)。 握手问题：与单循环赛原理相同，若有x人参加聚会，每两人都握一次手，所有人共握手10次，可列方程。 互赠礼品问题：与比赛问题中的双循环原理相同，若x人相互之间各赠送一件礼品，因为甲给乙送和乙给甲送是不同的两件礼品，所以总共赠送的礼品数为x(x−1)件。如全组共互赠了182件礼品，可列方程x(x−1)=182。 知识点02：利润问题 总利润单件利润总件数； 总利润总售价总成本价． 根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可． 知识点03：几何面积问题 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来． 知识点04：动态几何问题 三角形中的动态问题：例如在直角三角形中，动点从顶点出发沿直角边运动，根据三角形面积公式，利用动点运动速度和时间表示出相关线段长度，进而根据面积条件列出一元二次方程求解，如已知直角边长度和动点速度，求何时三角形面积为特定值。 矩形中的动态问题：通常以矩形的长和宽为基础，动点在矩形的边或内部运动，可根据矩形的性质，如四个角为直角、对边相等，结合三角形面积公式等建立方程，如求何时三角形面积为定值 【题型1 握手、循环赛问题】 【例1-1】圣诞节师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？ 【答案】31人． 【解析】设共有师生人， 由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：昂立共有师生31人． 【总结】本题主要考查互送卡片问题，由于每人都要送到，因此不用除2． 【例1-2】参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛场比赛，共有多少个队参加比赛？ 【答案】10． 【解析】设共有个队参加比赛， 由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：共有10个队参加比赛． 【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每两队之间都进行一场比赛，因此不用除2． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·期末）三对三篮球赛第一轮采用单循环赛制（每支队伍与其他队伍只比一场），共计场比赛．则有 支队伍参加比赛． 【答案】 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 有支队伍参加比赛，根据每支队伍与其他队伍只比一场，共计场比赛，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设有支队伍参加比赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即有支队伍参加比赛， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级上·上海黄浦·期中）一个小组有若干人，中秋节互送贺卡，若全组共送90张贺卡，则这个小组共有多少人？ 【答案】这个小组共有个人 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡，根据全组共送90张贺卡，列方程即可解答． 【详解】解：设这个小组共有个人，则可得每个人要送张贺卡， 由题意得， 解得（舍去）， 这个小组共有个人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到每个人要送人数减1张贺卡，是解题的关键． 【变式1-3】生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？ 【答案】14． 【解析】设这个小组共有名同学， 由题意可得： 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：这个小组共有14名同学． 【总结】本题主要考查传播问题中的互送问题，由于每个成员各赠送一件，因此不用除2． 【变式1-4】首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？ 【答案】21． 【解析】设参加第一轮比赛的共有名选手 由题意可得：， 整理得：，解得：，（负值舍去）． 答：参加第一轮比赛的共有21名选手． 【总结】本题主要考查传播问题中的比赛问题，由于每队只参加一场，因此要除2． 【题型2利润问题】 【例2-1】（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件可盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件可降价x元，则每件时装可盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1600元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 【例2-2】（23-24八年级上·上海青浦·期中）小毛将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500个，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，小毛为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元？ 【答案】80元或60元 【知识点】因式分解法解一元二次方程、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及因式分解解一元二次方程，读懂题意，设定价为元，由等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意，准确列出一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设定价为元， 根据题意可得，，即， ，解得，， 答：定价为80元或60元，利润可达到8000元． 【例2-3】（24-25八年级上·上海·阶段练习）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利44元；若每件降价1元，则每天可多售出5件． (1)若想达到每天盈利1600元，每件可降价多少元？ (2)若想盈利达到最大值，每件可降价多少元？ 【答案】(1)4元或36元 (2)20元 【知识点】配方法的应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用： （1）设每件降价元，根据利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件降价元，每天盈利为W元，利润单件利润销售量列出W关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：解：设每件降价元， 由题意得，， 整理得 或， 答：想达到每天盈利1600元，每件可降价4元或36元； （2）解：解：设每件降价元，每天盈利为W元， 则 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴当时，盈利最大， 答：想盈利达到最大值，每件可降价20元． 【变式2-1】（23-24八年级上·上海闵行·期末）某商店从厂家以每件30元的价格购进一批商品，经过市场调研发现，若每件商品售价为a元，则可以卖出件；但政府限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果店家计划赚330元，那么每件商品售价是多少元？ 【答案】每件商品售价是41元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．解题的关键的读懂题意，正确的列出方程． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或， ∵政府限定每件商品加价不能超过进价的40%， ∴， ∴． 答：每件商品售价是41元． 【变式2-2】（23-24八年级上·上海普陀·期中）某商场将进货价为20元的水彩笔套盒以25元售出，平均每月能售出800盒．调查表明：当售价在25元至40元范围内时，这种水彩笔套盒的售价每上涨1元，销售量会减少10盒．为了实现平均每月10500元的销售利润，这种水彩笔套盒每盒的售价应定为多少元？ 【答案】这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵售价在25元至40元范围内， ∴； 答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为35元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【变式2-3】（22-23八年级上·上海青浦·期中）为助力攻坚脱贫，某村村委会在网上直播销售该村优质农产品礼包，已知其3月份的销售量达到400包，若农产品礼包每包的进价25元，原售价为每包40元，该村在今年4月进行降价促销，经调查发现，若农产品礼包每包降价1元，销售量可增加5袋，当农产品礼包每包降价多少元时，这种农产品在4月份可获利4620元？ 【答案】每包降价4元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】先设当农产品每袋降价m元时，该农产品在4月份可获利4620元，然后根据：利润（售价进价）数量，列出方程并解答即可． 【详解】解：设当农产品礼包每包降价m元时，这种农产品在4月份可获利4620元， 由题意得：， 解得：， (舍去)， 答：当农产品礼包每包降价4元时，这种农产品在4月份可获利4620元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找到等量关系列出相应的方程是解答本题的关键． 【变式2-4】（23-24八年级上·上海松江·期中）某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）（件）， 故答案为：45； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件童装应降价10元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【变式2-5】返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全考虑，为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液，去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设家委会共买了x瓶免洗抑菌洗手液． (1)当时，每瓶洗手液的价格是 元；当时，每瓶洗手液的价格是 元． (2)如果家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液？ 【答案】(1)8； (2)一共购买了200瓶洗手液． 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，分别计算出当以及时，每瓶洗手液的价格即可； （2）100瓶洗手液价格为800，由花费1200元可得购买瓶数超出了100瓶，设一共购买了x瓶洗手液，根据题意表示出每瓶单价进而表示出花费，列方程，解出x的值，再根据最低价不能低于每瓶5元对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）解：当时，每瓶洗手液的价格是8元； 当时， （元）． 故答案为：8；； （2）解：， ， ， 解得：， 当时，洗手液单价为： （元）； 当时，洗手液单价为： （元）． 最低价不能低于每瓶5元，， ． 答：一共购买了200瓶洗手液． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键． 【题型3 几何面积问题】 【例3-1】（24-25八年级上·上海·期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，墙长米，用米长的铁栅栏围一个所占地形状为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，如果长方形的面积为平方米，那么长方形的两条邻边长是多少米？ 【答案】长方形的两条邻边长分别是48米、24米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，根据长方形的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程得出的值，再结合墙长米，即可确定结论． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形的两条邻边长分别是米、米． 【例3-2】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，现有一个面积为160平方米的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，在与墙平行的一边，开一扇1米宽的门．如果竹篱笆的长为35米，求这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是多少？与墙平行的边长是多少？（列方程解答） 【答案】这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可． 【详解】解：设这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是x米，则与墙平行的边长是米， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时， ，符合题意； 当时， ，不符合题意； ∴，， 答：这个长方形养鸡场与墙垂直的边长是10米，则与墙平行的边长是16米． 【例3-3】（24-25八年级上·上海·期末）云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． (1)若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ (2)小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】(1)每间商铺的长为米，宽为米 (2)小王每月需要付给经营者元租金 【知识点】配方法的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； （2）解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 【变式3-1】（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，要建一个面积为75平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有32米长的木板，求仓库的长与宽．设仓库垂直于墙面的一边长度为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系．设仓库的垂直于墙的一边长为x，而与墙平行的一边开一道1m宽的门，现有能围成32m长的木板，那么平行于墙的一边长为，而仓库的面积为75平方米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米， 依题意得， 即， 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级上·上海松江·期末）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（墙长米），用120米长的栅栏围成一个所占地面为长方形的临时仓库，栅栏只围三边．长方形仓库的面积是1860平方米，且有一个2米宽的进出铁门．分别求长方形仓库的长和宽． 【答案】长方形仓库的长和宽分别是米、米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米，根据长方形的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程得出的值，再结合墙长米，即可确定结论． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，则平行于墙的一边长为米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：长方形仓库的长和宽分别是米、米． 【变式3-4】（24-25八年级上·上海·期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处（利用墙，墙长50米），用130米长的建筑材料围成一个占地总面积为825平方米的3个长方形仓库（如图），为了便于搬运货物，现决定在与墙平行的边上，每个仓库预留出1个长度为1米的门，求与墙垂直的边的长． 【答案】与墙垂直的边的长为25 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，列出方程并计算求解，本题根据面积列出方程求解即可． 【详解】解：设与墙垂直的边的长为x． ∴长为米， 解得：， ∵， ∴， ∴， 答：与墙垂直的边的长为25 ． 【变式3-5】（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，现准备用32米长的木板建有关面积为130平方米的长方形仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一道1米宽的小门． (1)如果墙长15米，求仓库的长和宽； (2)如果墙长a米，在离开墙9米开外仓库一侧修条小路，那么墙长至少要多少米？ 【答案】(1)长为13米，则宽为10米 (2)20米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． （1）设长方形的长为，则宽为米，而仓库的面积为，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题； （2）根据长方形的长宽列出不等式，并解答． 【详解】（1）设长方形的长为，则宽为米， 由题意，得 解得或 当时，显然，不符合题意，舍去 所以． 答：长方形的长为13米，则宽为10米； （2）解：∵宽为10米米， 此时不符合题意． 当长为20米时，宽为6.5米米， 米， ∴墙长至少要20米． 【题型4 动态几何问题】 【例4-1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图所示，中，，厘米，厘米，占从点开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，经过 秒钟的面积等于5平方厘米． 【答案】1 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程：动态几何问题，根据运动速度以及运动方向得，，，根据面积列式，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：经过秒钟的面积等于5平方厘米， 由题意得：，，， 则， ∵的面积等于5平方厘米 ∴ 解得 ∵ ∴舍去 ∴ 故答案为：1 【例4-2】（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别是从、同时出发，当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． (1)求经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)的面积能否等于10平方厘米，如果能求出运动的时间，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)2秒或4秒 (2)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】一元二次方程的实际应用，根据题意，正确表示出线段长度及，利用三角形面积公式列出方程求解，是解答本题的关键． （1）设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； （2）设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断． 【详解】（1）解：设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为x秒，的面积等于10平方厘米， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于10平方厘米． 【变式4-1】如图，在中，点P、Q同时由A、B两点出发，分别沿AC，BC的方向匀速运动，它们的速度都是每秒1cm, 秒钟后△PCQ的面积等于△ABC的一半？ 【答案】2 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设P、Q同时出发，x秒钟后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm，此时△PCQ的面积为×（8−x）（6−x），令该式＝×AC×BC，得到方程即可求解. 【详解】设运动x秒后．由题意得： AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6−x）cm，CQ＝（8−x）cm， S△ABC＝×AC•BC＝×6×8＝24， 即：×（8−x）×（6−x）＝×24， x2−14x＋24＝0， （x−2）（x−12）＝0， x1＝12，x2＝2； ∵x＜6，∴x1＝12舍去， 所以，当2秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半． 故填：2. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等量关系求解． 【变式4-2】（22-23八年级下·上海静安·期中）在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？    【答案】2秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设经过x秒钟后，的面积为，则，据此利用三角形面积公式建立方程求解即可. 【详解】解：设经过x秒钟后，的面积为， 由题意得，， ∴， ∴． ∵，即， ∴舍去，即． 答：经过2秒，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 【变式4-3】（2023八年级下·上海·专题练习）等腰中，，动点从点出发，沿向点移动，通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于． 【答案】 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，利用平行四边形面积公式求解出的值即可． 【详解】设，则，由题意可知和均为等腰直角三角形，的面积等于， 依题意可得， 解得：，即长为． 故长为时，平行四边形的面积等于． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，动点问题的应用求解，应用平行四边形面积公式求解出是解答本题的关键． 【变式4-4】如图，已知长方形的边长，，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当点到达点时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积等于长方形面积的？ 【答案】(1)经过或之后，的长为cm； (2)秒或秒． 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）设经过后，则，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可； （）设经过秒，由题意得，，，由的面积等于长方形面积的，列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）设经过后，则，，，的长为cm， 根据题意，由勾股定理得：， 即， 解得：，， 答：经过或之后，的长为cm； （2）设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，，， ∴，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， 整理得：， 解得，， 答：经过秒或秒，的面积等于长方形面积的． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）某超市一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元，由第一季度的营业额共1000万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设平均每月增长率为x，则二月份的营业额为万元，三月份的营业额为万元， 根据题意得：． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）假设每一个参加宴会的人跟其他参会的人都握一次手，在宴会结束时，所有的参会者总共握手28次，那么参会人士共有多少人？设参会人士共有x人，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设参会人士共有x人，则根据两两握手一次，共握了28次手可列出方程，解出即可． 【详解】解：设参会人士共有x人， 则根据分析可得：． 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海·期末）某种时装，平均每天销售20件，每件盈利40元，若每件降价1元，则每天可以多售出5件，如果每天要盈利1600元，若设每件可降价x元，根据题意列出的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，如果设每件降价x，那么降价后每件盈利元，每天销售的数量为件，根据每天要盈利1600元，即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得：． 故选：B． 4．（23-24八年级下·上海闵行·期中）如图，从一个长10分米、宽8分米的铁片中间截去一个面积为60平方分米的小长方形，使剩下长方形框四周宽度一样．如果设这个宽度为分米，那么所列出的方程是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设这个宽度为分米，根据中间小长方形面积为60平方分米，列出方程即可． 【详解】解：设这个宽度为分米，则中间小长方形的长为分米，宽为分米，根据题意得： ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一根的一半，则称这样的方程为“半根方程”．以下关于半根方程的说法，正确的是（    ） A．方程是半根方程 B．方程是半根方程 C．若，则方程是半根方程 D．若点在函数的图象上，则关于的方程是半根方程 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握半根方程的定义是解题的关键．根据题意解得方程的解后即可利用半根方程的定义进行逐项判断，即可求解． 【详解】解：A．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； B．方程的解为，此方程不是半根方程，此结论错误； C． ∵， ∴或， ∵方程的解为 ∴或， 则方程是半根方程，此结论正确． D．∵点在函数的图象上， ∴， 关于的方程解得： ， ， ∴此方程不是半根方程，此结论错误． 故选：C 二、填空题 6．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）一块长方形绿地的面积为1200平方米，并且长比宽多10米，如果设长为米，根据题意可列出方程 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查列一元二次方程，设长为米，则宽为米，根据面积等于长乘宽列方程即可． 【详解】解：如果设长为米，则宽为米， 由此可得， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·上海闵行·阶段练习）某校举行篮球单循环赛，即两队之间互相比赛，共进行了场比赛．设有个队参加这个比赛，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．根据“比赛场数”，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）要建造一个面积为130平方米的仓库，仓库的一边靠墙，并在与墙垂直的一边开一个1米宽的门，现有能围32米长的木板，若设仓库垂直于墙面的一边长为米，则可列方程： ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄㯵题意，找出题目中的等量关系． 设仓库的垂直于墙的一边长为，而与墙平行的一边开一道1米宽的门，现有能围成32米长的木板，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为130平方米，由此即可列出方程． 【详解】解：设仓库的垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为米， 依题意得，即， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）“六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学，依题意有：． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如图，某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，已知，米，米，现计划用总长为136米的围网围建两个矩形篮球场，并在每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示图网，两个篮球场之间用围网隔开），为了充分利用墙体，点F必须在线段上，如果围成的篮球场的面积为1200平方米，设的长为x米．那么根据题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题主要考查的是一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．根据围成的篮球场的面积为1200平方米，列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：∵的长为x米， ∴， 由题意可得，， 故答案为：． 三、解答题 11．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． (1) ， ， ， （用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)；；； (2)当t为5时，四边形的面积为． (3)当t为或时，点P和点Q的距离为10cm 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）当运动时间为t s时，根据点P，Q的运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出各线段的长度； （2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值； （3）过点Q作于点E，则，利用勾股定理，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；；；． （2）依题意得：， 整理得：， 解得：． 答：当t为5时，四边形的面积为． （3）过点Q作于点E，则，如图所示． 依题意得：， 即， 解得，． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含t的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 12．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后，的面积等于 (2)0秒或2秒后，的长度等于 (3)不能，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找到关键描述语，结合图形得出等量关系是解决问题的关键． （1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解； （2）利用勾股定理列出方程求解即可； （3），化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以． 【详解】（1）设经过x秒以后，面积为， 此时，，， 由，得， 整理得：， 解得：或舍， ∴1秒后的面积等于 ； （2）设经过t秒后，的长度等于 由， 即， 解得：，， ∴0秒或2秒后，的长度等于5cm； （3）不能，理由如下： 由题意，得： 整理得：， 由于， ∴该方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）上海市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨2元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少钱？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为60元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得： 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，依题意，得： ， 整理，得 解得 因为尽可能让顾客得到实惠，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为60元． 14．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）同学们开展的综合实践活动中取得了系列丰硕的成果，需要推广宣传．原计划使用一块正方形场地布展，后经过研究，发现长与宽之比为的长方形场地展览效果更好，因此需要把长增加6米，宽增加2米（如图1）． (1)直接写出长方形区域的宽是_______m，长是_______m． (2)现计划将长方形区域按图2的方式进行划分，展示四各小组的项目成果，在各展区之间留宽度相等的过道．如果各展区的总面积为，求过道的宽度． 【答案】(1)8， (2)过道的宽度为 2 米 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）设正方形的边长为米，则，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设过道的宽度为米，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为米，则， ∵长与宽之比为， ∴， 解得，， ∴，， 故答案为：8，． （2）解：设过道的宽度为米， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴过道的宽度为2米． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$