专题03 集合之间的关系（知识梳理+3对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题03 集合之间的关系 （知识梳理+3对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系．(重点) 3.理解空集与子集、真子集之间的关系．(难点) 知识点01 子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点02 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 对点集训一：判断两个集合的包含关系 典型例题 例1．（22-23高一上·上海长宁·期末）用符号“”“”或“”填空： ． 例2．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）用符号“”、“＝”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ． 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 例5．下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 例6．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 精练 1．若集合，集合，则集合的关系是 . 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 （用⊆、⊂、＝来表示） 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 对点集训二：求集合的子集（真子集） 典型例题 例1．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）集合有 个子集. 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知集合，则集合的子集依次是 ． （2）已知集合，则集合的真子集依次是 ． 例4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，则满足条件的集合的个数是 . 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高一上·上海·期中）写出所有满足的集合 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 4．（23-24高一上·上海金山·期中）满足关系，的集合A的个数为 . 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合满足，则满足条件的所有的数目为 . 对点集训三： 根据集合的包含关系求参数 典型例题 例1．（23-24高一上·上海闵行·期中）集合，则实数 例2．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 例3．（24-25高一上·上海·开学考试）若集合，，且，求：a的取值范围 例4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，则 ． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则实数m＝ ． 3．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 5．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 7．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列关系式错误的个数为：（    ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，，则下列命题是真命题的数量有（  ） ① ②③ A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知.若集合，则的值为 . 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合，，则，则 . 7．（24-25高一上·上海·期中）下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 8．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 9．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数 . 10．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，则 11．（23-24高一上·上海·期中）满足的集合A的个数是 个. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为 . 14．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 15．已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 16．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知集合，，且，求实数的值. 17．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，．若，求实数的取值范围． 18．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，且，求实数的值． 19．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 1．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则所有满足条件的集合C的个数为 个. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，若集合S的所有非空真子集的元素之和是300，则 . 8．（24-25高一上·上海·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 9．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 10．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 13．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 13．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 14．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 15．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 16．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 17．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 集合之间的关系 （知识梳理+3对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解两个集合间的包含关系. 2.能用符号和Venn图表示两个集合间的关系．(重点) 3.理解空集与子集、真子集之间的关系．(难点) 知识点01 子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 知识点02 真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 对点集训一：判断两个集合的包含关系 典型例题 例1．（22-23高一上·上海长宁·期末）用符号“”“”或“”填空： ． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】由集合间的关系即可求. 【详解】a为集合的其中一个元素，故. 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海杨浦·开学考试）设高一（5）班全体学生的集合为（中有名男生，名女生），高一（5）班全体女生的集合为，则 . 【答案】真包含 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据集合间的关系的定义判断两个集合之间的关系 【详解】由题意，根据真子集的定义，得到真包含. 故答案为：真包含. 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）用符号“”、“＝”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】根据集合的包含关系，子集，集合相等的概念解题即可 【详解】（1）； （2）矩形属于平行四边形，则； （3）表示奇数，也表示奇数． 则． 故答案为：；；. 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合，，则 ．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】通过对，研究集合，与集合比较即可判断． 【详解】解：对于，时，； 时，， ， 故答案为：． 例5．下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． 【答案】①③ 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】需要理解子集，真子集，集合相等的概念，例如要理解如果，不一定能得出，也存在． 【详解】解：①若，则，正确； ②若，不一定，也存在，故错误； ③若，则，正确； ④若，不一定，也存在，故错误； 故答案为：①③． 例6．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)是等边三角形}，是等腰三角形}． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】（1）根据真子集的定义，来进行判断； （2）根据真子集的定义，能看懂范围的区间表示，进行判断； （3）根据真子集的定义，理解等边三角形和等腰三角形的区别，进行判断． 【详解】（1）解：中唯一元素， 又， ； （2）解：， 的元素都是的元素，而的元素不是的元素， ； （3）解：是等边三角形}，是等腰三角形}， 又∵为等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形； ． 精练 1．若集合，集合，则集合的关系是 . 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】根据子集、真子集的定义理解分析. 【详解】对任一，则 ∵，则 ∴，则 又∵，所以. 故答案为：. 2．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合A＝{y|y＝x2+3x+1}，B＝{y|y＝x2﹣3x+1}，则集合A与集合B之间的关系是 （用⊆、⊂、＝来表示） 【答案】＝ 【知识点】判断两个集合的包含关系、求二次函数的值域或最值、描述法表示集合 【分析】根据配方法求出一元二次函数的值域，进而判定两集合的关系． 【详解】因为， 且， 所以， 即集合A与集合B之间的关系是＝. 故答案为：＝． 3．（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 【答案】 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案. 【详解】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）请用文氏图表示下列集合关系：，． 【答案】答案见解析 【知识点】判断两个集合的包含关系、利用Venn图求集合 【分析】根据为的真子集，得到文氏图. 【详解】由于高一（1）班班长是高一（1）班班委成员，即为的真子集，    5．（24-25高一上·上海·课堂例题）指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 对点集训二：求集合的子集（真子集） 典型例题 例1．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）集合有 个子集. 【答案】4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集的定义计算即可. 【详解】集合有四个子集. 故答案为：4 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 例3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知集合，则集合的子集依次是 ． （2）已知集合，则集合的真子集依次是 ． 【答案】 ，，，，，，， ，， 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】（1）根据列举法和子集的定义可求出结果，依次可以按集合元素的个数来列举； （2）根据列举法和真子集的定义可求出结果，依次可以按集合元素的个数来列举． 【详解】解：（1）集合子集依次是：，，，，，，，； 故答案为：，，，，，，，； （2）集合的真子集依次：，，； 故答案为：，，． 例4．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】6 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据已知中M满足条件，列举出所有满足条件的集合M，可得答案 【详解】若集合， 则M可能为： 共6个， 故答案为：6 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则集合A的真子集的个数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】利用真子集定义即可求得集合A的真子集的个数. 【详解】集合中有3个元素，则集合A的真子集的个数为 故选：A 2．（24-25高一上·上海·期中）写出所有满足的集合 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】根据包含关系写出所有可能得集合即可. 【详解】由题设集合的包含关系知：是的真子集， 所以集合可能为. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知集合满足：，写出集合所有可能的情况： 【答案】，，，，，， 【知识点】求集合的子集（真子集） 【分析】利用集合间的包含关系求解，按集合的元素个数由少到多进行列举． 【详解】解：, ∴1,2都在集合中，且3,4,5中有1个或2个在集合中或3个都在集合中， 集合所有可能情况为： ，，，，，，． 故答案为： ，，，，，，． 4．（23-24高一上·上海金山·期中）满足关系，的集合A的个数为 . 【答案】4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合包含关系得到集合，求出答案. 【详解】由题意得或或或. 故答案为：4 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合满足，则满足条件的所有的数目为 . 【答案】4 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】列出所有满足条件的集合的情况，即可得问题的答案. 【详解】由题意知中必含有2和4，1和3可以选也可不选，则满足条件的所有的情况如下： ，，，. 所以满足条件的所有的数目为. 故答案为：4 对点集训三： 根据集合的包含关系求参数 典型例题 例1．（23-24高一上·上海闵行·期中）集合，则实数 【答案】2 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合间关系可知，即可求出. 【详解】因为， 所以，解得， 故答案为：2 例2．（23-24高一上·上海普陀·期中）设，，若，则实数组成的集合 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】由解得，或，所以， 当时，方程无解，则，满足题意； 当时，由解得，所以或7，解得或， 综上，实数组成的集合. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·开学考试）若集合，，且，求：a的取值范围 【答案】当时，；当时，. 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系，分类列式求解即得. 【详解】当时，若，即，解得，满足，则， 若，由，得，解得，因此； 当时，，由，得，因此，即， 所以当时，a的取值范围是；当时，a的取值范围是. 例4．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合. (1)若，求实数的取值范围 (2)若，求实数的值 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数、空集的性质及应用 【分析】（1）利用判别式计算即可； （2）直接代入1计算即可. 【详解】（1）若，则， 即实数的取值范围为； （2）若，则 即实数的值为2. 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，且，则 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由已知，可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：， 集合的元素都属于集合， ，必有， ． 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则实数m＝ ． 【答案】或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合间的包含关系，对两集合中的元素进行分类讨论即可得出结果. 【详解】根据题意若满足可知或， 解得或或； 经检验时，集合中，不合题意，舍去； 所以可得或. 故答案为：或. 3．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，且，则实数组成的集合是 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】计算集合，再分别求和时，的值即可. 【详解】由题意，， 又， 若，则，满足题意； 若，则，所以或. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）设集合，且中任意两数之和不能被5整除，则的最大值为 【答案】45 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】将集合按照除以5的余数分为5个集合，中最多可以选择1个，和中只能选择一个集合中的元素，和中只能选择一个集合中的元素，得到答案. 【详解】将集合按照除以5的余数分为： ，，，， ， 有21个元素，有22个元素，有22个元素，有21个元素，有21个元素， 中最多可以选择1个， 和中只能选择一个集合中的元素，最多22个， 和中只能选择一个集合中的元素，最多22个， 综上所述：中选择1个，和中的全部元素，共45个. 故答案为：45. 【点睛】关键点睛：本题考查了子集的元素个数问题，意在考查学生的综合应用能力，其中将元素按照除以5的余数分类，再根据余数的可加性是解题的关键. 5．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）若三个非零且互不相等的实数满足，则称是调和的；若满足，则称是等差的．已知集合，集合是的三元子集，即．若集合中元素既是调和的，又是等差的，则称集合为“延安集”．不同的“延安集”的个数为 【答案】1012 【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】由为“延安集”的定义解方程，将全用代换，结合可求解. 【详解】由，则，代入，即， 整理得，展开得，解得或（根据集合的互异性，舍去），代入得， 则， 所以为4的整数倍，且不为0，则共有个不同的“延安集”的个数. 故答案为：1012. 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，集合，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】将集合化简，再由可得或或或，分别代入计算，即可求解. 【详解】集合， 因为，所以或或或， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； 当时，，无解； 综上所述，实数a的取值范围为. 7．（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）已知，. (1)若，求； (2)若且，求的值. 【答案】(1)； (2)1或2. 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的概念以及判断 【分析】（1）根据给定条件，结合含参的一元一次方程解的意义求出. （2）根据给定条件，求出集合，再利用集合的包含关系求出值. 【详解】（1）当时，对任意实数，恒有，因此， 所以. （2）当时，，由，得或，解得或， 所以的值1或2. 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列关系式错误的个数为：（    ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可． 【详解】对①：空集不含任何元素，故①错误； 对②：空集是任何集合的子集，故②正确； 对③：是自然数，故③正确； 对④：，故错误，故④错误； 故错误的个数为． 故选：B． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】由集合的概念与关系逐一判断. 【详解】对于选项A，两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，故A正确； 对于选项B，空集是任意集合的子集，故，故B错误； 对于选项C，两个集合所研究的对象不同，故与为不同集合，故C错误； 对于选项D，元素与集合之间只有属于、不属于关系，故D错误． 故选：A． 3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，，则下列命题是真命题的数量有（  ） ① ②③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】运用元素与集合关系，集合与集合关系，分别判断三个命题的真假. 【详解】对①，判断是否成立，令，当时，，因为，所以，此命题为假命题. 对②，判断是否成立，因为. 假设，，则，. 要使，则与要么同为奇数，要么同为偶数. ，将分解因数后发现无法写成的形式（其中），所以，此命题为假命题. 对③，判断是否成立，对于集合中的任意元素，. 令，，则. 所以对于任意的，都有，但是，但.此命题为真命题. 故真命题的数量为1个. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【详解】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知.若集合，则的值为 . 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】利用集合相等，判断元素的取值情况，求得，即可求得答案. 【详解】因为集合， 所以且，所以，所以，解得， 所以. 故答案为：. 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）集合，，则，则 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】结合子集定义以及集合元素的互异性即可得出结果. 【详解】由题知，， 则，， 当，即时，， 此时. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）下列表达式中正确的序号是： （写出所有正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】② 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】利用元素与集合，集合与集合之间的关系判断即可. 【详解】，故①错误；空集为任何非空集合的真子集，故②正确； 为无理数，故③错误；是的子集，所以，故④错误； 故答案为：② 8．（23-24高一上·上海虹口·期中）在下列表达式中，①；②；③；④，其中正确的为 （填写所有正确的序号）． 【答案】② 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的性质及应用 【分析】由数集定义、空集性质及集合的关系判断各项正误即可. 【详解】由数集的定义知：，，则①③错； 由空集性质和集合关系知：，，则②对，④错. 故答案为：② 9．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，，若，则实数 . 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用集合包含关系，分类讨论元素的情况即可得解. 【详解】因为，，， 当时，得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 当时，得或（舍去），此时，即，满足题意； 综上，. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海·期中）已知集合，则 【答案】2 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、集合元素互异性的应用 【分析】分类讨论，分别令，结合元素互异性和，得到答案. 【详解】若，此时，与元素互异性矛盾，舍去； 若，此时，则，满足， 若，此时，此时不满足， 若，此时，此时不满足， 综上，. 故答案为：2 11．（23-24高一上·上海·期中）满足的集合A的个数是 个. 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据子集的定义即可得解. 【详解】满足的集合A的个数是. 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合的关系，得出或，解出，再根据集合元素的互异性即可判断的取值. 【详解】因为，所以有或两种可能， 若，则有，符合题意； 若，解得或，根据集合元素的互异性，有， 若，则有 符合题意； 所以的值为或. 故答案为：或 13．（24-25高一上·上海·期中）已知集合，.若，则实数的值为 . 【答案】1 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系求解即可. 【详解】由题意，，则， 又，则， 此时，，符合题意. 故答案为：1. 14．（24-25高一上·上海·期中）若集合，，若集合M满足，则这样的集合M的个数是 . 【答案】15 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的包含关系确定集合中的元素，从而得集合的个数． 【详解】因为，，， 所以中必含有元素1和2，元素3，4，5，6中至少含有一个，这样的有个. 故答案为：15. 15．已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 【答案】实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【知识点】求集合的子集（真子集） 【解析】若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得集合为单元素集 （1）当时，此时集合的两个子集是， （2）当时则解得，此时集合的两个子集是， 实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用． 16．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知集合，，且，求实数的值. 【答案】或或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】对集合是否为空集进行分类讨论，再由集合间的包含关系即可求得实数的值. 【详解】由题意解方程可得； 当时，易知，满足，符合题意； 当时，此时， 若满足，则需或，解得或； 综上可知，实数的值为或或 17．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，．若，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. 【详解】因为，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 18．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，若，且，求实数的值． 【答案】或或 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】先求得集合，然后根据进行分类讨论，由此求得的值. 【详解】，解得或，所以， 依题意，且，. ①当时， ，∴； ②当时， ，∴； ③当时， ，∴． 综合得或或． 19．（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、空集的概念以及判断、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 1．（24-25高一上·上海·期中）设集合，，若，则对应的实数对有（   ） A．无数对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由绝对值解出集合，再由得到，或，或，然后由元素的互异性讨论即可； 【详解】由得，所以， 因为，所以，或，或， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 当时，则或-3， 当时，即，，此时，成立，即； 当时，即，，此时，成立，即； 综上，共有4对， 故选：D. 2．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、集合新定义 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，S的所有非空子集的元素之和为128，则 ． 【答案】8 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、求集合的子集（真子集） 【分析】根据给定条件，求出含有每个元素的集合个数，再求和计算可得结果. 【详解】依题意集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ； 共16个； 同理集合的所有非空子集中含有元素的子集都各有16个； 依题意可知，， 所以. 故答案为：8 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【答案】6 【知识点】列举法求集合中元素的个数、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且中至少含有两个奇数，则满足条件的集合的个数是 . 【答案】175 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】考虑反面的两种情况，得到若中不含有奇数和中只含有1个奇数时的情况数，再用的真子集个数减去前面求解的两者即可. 【详解】考虑反面的两种情况， 若中不含有奇数，则集合的个数等价于集合的子集的个数，即个， 若中只含有1个奇数，集合中共有4个奇数，故有4种可能， 集合的个数等价于集合的子集的个数的4倍，即， 的真子集个数共有， 所以中至少含有两个奇数时，满足条件的集合个数为. 故答案为：175 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，则所有满足条件的集合C的个数为 个. 【答案】8 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】化简集合A，根据包含关系，由集合子集的个数公式求解. 【详解】由，可知， 满足的集合C的个数即为集合的子集个数，共有个. 故答案为：8 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，若集合S的所有非空真子集的元素之和是300，则 . 【答案】20 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据给定条件，求出含每个元素的集合个数，再进行求和即可. 【详解】集合的所有非空真子集中含有的子集有： ，共15个， 同理集合的所有非空真子集中含有的子集都各有15个， 依题意，，所以. 故答案为：20 8．（24-25高一上·上海·期中）设集合，现对M的任一非空子集A，令为A中最大数与最小数之和，则所有这样的的算术平均值为 【答案】 【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】记最大值与最小值的差为，的值分别为，根据的值分类讨论确定的值及与之对应的集合的个数．然后由平均数定义计算． 【详解】由已知集合的非空子集有个， 其中一元集有7个，，的和为， 记最大值与最小值的差为，的值分别为，其中是上面的一元集， 的集合有6个：中相邻两个元素构成的集合，，的和为， 的集合有个：如，之类的，，每个值对应两个集合，的和为， 的集合有个：如之类的， ，每个值对应4个集合，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 的集合有个，，的和为， 所以所求平均数为． 故答案为：． 9．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据集合中元素的个数求参数、子集的概念 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 10．（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 11．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知非空集合，且若，则，满足题设条件的集合共有 个. 【答案】31 【知识点】判断元素与集合的关系、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据集合的定义确定集合中可能含有的元素，然后结合子集个数可得.. 【详解】由题意1和36同时属于或不属于集合，2和18同时属于或不属于集合，3和12同时属于或不属于集合，4和9同时属于或不属于集合，又6也可以属于或不属于集合， 因此满足题意的集合的个数为， 故答案为：31. 13．（23-24高一上·上海·期中）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是 ． 【答案】 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】利用题设规定的子集的定义，将211化为的形式，从而得解. 【详解】由于， 因为集合，的子集为的第个子集，其中， 所以的第211个子集是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·期中）已知全集，，，且，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】，，， ①时，，解得， ②时，或， 解得： 综上，或. 所以m的取值范围是. 14．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断两个集合是否相等 【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 15．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若只有一个元素，试求实数的值，并用列举法表示集合； (2)若至少有两个子集，试求实数的取值范围. 【答案】(1)或，或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）考虑和且两种情况. （2）至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和且两种情况. 【详解】（1）时，解得符合题意； 时令解得， 此时， 解得符合题意， 故或，或 （2）若至少有两个子集，则至少有一个元素. 由（1）知或时符合题意. 由题意可知时若也符合题意. 即解得且. 综上. 16．（23-24高一上·上海嘉定·期中）已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、空集的性质及应用、根据集合中元素的个数求参数 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 17．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【知识点】求集合的子集（真子集）、集合新定义 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$