第九章 计数原理与概率统计（综合训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第九章 计数原理与概率统计 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 2．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 3．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.这两个人在同一层离开电梯的概率是 . 4．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）    5．某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是 . 6．两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种． 7．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是 .（结果用数值表示） 8．柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 . 9．从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为 ． 10．徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 11．已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数， . 12．已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点、、、的点，记．若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点有 个． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 14．下列选项中，正确的是（   ） A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是 C．若事件、满足，且，则与相互独立 D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为8 15．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 16．研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？ 18．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 19．某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 20．21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 21．根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 计数原理与概率统计 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．某校高三年级有人，为调查年级学生每天上网时间，现抽取的同学做调查问卷，该统计的样本量为 ． 【答案】 【详解】样本量为. 故答案为：. 2．在的二项展开式中，若各项系数之和为，则含有项的系数为 【答案】 【详解】由题意可知，解得， 由的二项展开式的通项为， 则含有项的系数为. 故答案为：. 3．有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.这两个人在同一层离开电梯的概率是 . 【答案】 【详解】依题意，两个人各有6种不同的下法，因此两人离开电梯共有种结果， 两人在同一层下，共有6种结果，所以两个人在同一层离开电梯的概率是. 故答案为： 4．将某学校一次物理测试学生的成绩统计如图所示，则估计本次物理测试学生成绩的平均分为（同一组数据用该组区间的中点值作代表）    【答案】72 【详解】依题意：，解得， 则平均分为. 故答案为：72 5．某景点对30天内每天的游客人数（单位：万人）进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的第75百分位数是 . 【答案】51 【详解】因为， 所以该样本的第75百分位数是按照从小到大的顺序排列的第23个数，即为51. 故答案为：51. 6．两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种． 【答案】 【详解】把两本不同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，有种分法， 其中两本图画书分给同一个小朋友的分法有种， 故两本图画书不分给同一个小朋友的分法有种. 故答案为：. 7．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是 .（结果用数值表示） 【答案】 【详解】小明购买4个盲盒的试验有个基本事件，它们等可能，能集齐3种玩偶的事件含有的基本事件数为：， 所以能集齐3种玩偶的概率是. 故答案为：. 8．柏老师在整理建模小组10名学生的成绩时不小心遗失了一位学生的成绩，且剩余学生的成绩数据如下：，但李老师记得这名学生的成绩恰好是剩余学生的成绩的第25百分位数，则这10名学生的成绩的方差为 . 【答案】 【详解】因为，则遗失的学生成绩是剩余学生的成绩从小到大排列的第3个， 所以遗失的学生成绩为. 因为这10名学生的成绩的平均数为：， 所以方差为. 故答案为：2.09. 9．从m个男生和n个女生（）中任选2个人当队长，假设事件A表示选出的2人性别相同，事件B表示选出的2人性别不同．如果事件A的概率和事件B的概率相等，那么的可能值为 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，整理得， 因为，所以，即， 所以，又因为都是正整数， 所以， 当时，此时， 所以（舍去）， 当时，此时， 所以， 综上所述，， 所以. 故答案为：. 10．徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有 ． 【答案】 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 11．已知集合，非空集合，且满足: 对任意，均存在 ，使. 记符合要求的的个数为. 则对于正整数， . 【答案】 【详解】因为，所以P中元素是中满足且的元素， 对于，则， 所以满足要求的元素有，共有个元素， 所以在不考虑顺序的情况下，共有对， 故. 故答案为： 12．已知三棱锥的侧棱长相等，且侧棱两两垂直．设为该三棱锥表面（含棱）上异于顶点、、、的点，记．若集合中有且只有2个元素，则符合条件的点有 个． 【答案】10 【详解】设中的两个元素分别为， 若对应的点的个数分别为或， 不妨设对应的点的个数为个，对应点的个数为个，此时共有4种情形： （1），， 此时在过等边三角形的中心且垂直于平面的直线上， 而在该三棱锥表面且异于各顶点，故为的中心； （2），，其中， 彼此互异且为中取出后余下的3个不同元素， 此时在过直角三角形的外心（即斜边的中点）且垂直于平面的直线上， 而在该三棱锥表面且异于各顶点，故为直角三角形的外心， 此类情形共有3种； 若对应的点的个数分别为，设，， 其中，故此时，恰为四面体的一对对棱，. 此时在线段的中垂面上，也在线段的中垂面上，不妨设， 如图：设为的中点， 则这两个中垂面的交线即为的中点与中点的连线， 而在该三棱锥表面且异于各顶点，故为或者， 故不同的的个数为 综上所述，符合条件的点共有10个. 故答案为：10. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 14．下列选项中，正确的是（   ） A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12 B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是 C．若事件、满足，且，则与相互独立 D．若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为8 【答案】C 【详解】对于A，数据1、3、5、7、9、11、13已经是从小打到排列的，因为， 所以数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为11，故A错误； 对于B，用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是，故B错误； 对于C，因为，且， 所以，即与相互独立，故C正确； 对于D，若样本数据、、…、的平均数为2，则、、…、的平均数为，故D错误. 故选：C. 15．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（    ） A．第一次朝上的数字是偶数 B．第一次朝上的数字是1 C．两次朝上的数字之和是8 D．两次朝上的数字之和是7 【答案】D 【详解】解：抛掷骰子两次，共有个基本事件数, 则, 共18个基本事件，则, 设事件为第一次朝上面的数字是偶数，则事件与事件是对立事件，故错误； 设事件为第一次朝上面的数字是1，则，故错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是8， 则共5个基本事件，则, 且，则, ，所以C错误； 设事件为两次朝上面的数字之和是7，则, 则,且，则 因为，所以事件与事件相互独立. 故选：D. 16．研究变量x，y得到一组成对数据，，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（   ） A．变量与变量的相关性变强 B．相关系数的绝对值变小 C．线性回归方程不变 D．拟合误差Q变大 【答案】C 【详解】设变量x，y的平均数分别为，， 则，，即，， 可知新数据的样本中心点不变，仍为， 则， ， ， 则相关系数. 可知相关系数的值不变，变量与变量的相关性不变，故A，B错误； 对于C，因为，所以不变， 且线性回归方程过样本中心点，即，均不变，所以线性回归方程不变，故C正确； 因为即为样本中心点，即， 可知残差平方和不变，所以拟合误差Q不变，故D错误. 故选：C. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加，，三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目． (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一项目，丙不报A项目，则有多少种不同的报名方法？ 【详解】（1）每个同学都有种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为. （2）甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为， 丙不报项目，则丙有种选择，丁有种选择， 由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为. 18．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 19．某区为推进教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依托AI技术搭建了区域智慧题库系统，形成了“通识过关—综合拓展—创新提升”三层动态原库，且三层题量之比为，设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同. (1)现有4人参加一项比赛，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至少有2人的选题来自层的概率； (2)现采用分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到层题的题数为，求的分布与期望． 【详解】（1）因为三层题量之比为， 所以在层选题的概率为，不在层选题的概率为， 设至少2人的选题来自层的概率为，从层选题数量为， 由题意得，而二项分布概率公式为， 则至少2人的选题来自层的概率为， 故. （2）因为三层题量之比为， 所以在层最多抽到7道，且可取， 则， ， 其分布列为 X P 所以期望. 20．21世纪汽车博览会在上海举行，某车展商制作了30个汽车模型，其外观分红色和蓝色，内饰分橙色和米色，具体数量如下表所示： 红色外观 蓝色外观 橙色内饰 12 8 米色内饰 6 4 (1)若小明从这30个模型中随机抽取一个，记事件为小明“抽到红色外观”的模型，事件为小明抽到“橙色内饰”的模型.分别计算，并判断事件和事件是否独立？ (2)车展公司举行抽奖活动，从30个模型中随机抽取两个，并假设： ①抽取的模型按颜色分为三类：外观和内饰都相同；外观和内饰都不同；仅外观相同或仅内饰相同． ②按抽取结果的可能性确定中奖金额，可能性越小，奖金越高； ③抽奖活动奖金分：一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元. 小张抽奖一次，抽到外观和内饰都不同，请问他能获得多少金额？ (3)参观者喜欢外观是蓝色，内饰是橙色的汽车模型，该车展商想多制作一些这样的汽车模型，其余模型数量不变，且设每位参观者可以随机抽取2个汽车模型.事件“首位参观者抽出的两个模型中，恰好有一个是红色外观，且恰好有一个是橙色内饰的汽车模型”发生概率小于．则车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要多少个？ 【详解】（1）若小明抽到红色外观的模型，则分橙色内饰个，米色内饰个，则对应的概率， 若小明抽到橙色内饰，分红色外观个，蓝色外观个，则对应的概率． 抽到红色外观的模型同时是橙色内饰的有个，即， ，， 所以事件和事件独立． （2）依题意外观和内饰均为相同的概率， 外观和内饰都不同的概率， 仅外观相同或仅内饰相同的概率， 因为，即 所以一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都不同， 二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均相同， 三等奖为两个汽车模型仅外观相同或仅内饰相同． 所以抽到外观和内饰都不同的可以获得一等奖元，即小张能获得元奖金. （3）设车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型个（且）， 记事件“首位参观者恰好抽到一个外观是红色的且恰好抽到一个橙色内饰的汽车模型”为事件， 则， 依题意，即，即，解得或（舍去）， 又，所以， 即车展商应该制作蓝色外观且橙色内饰的汽车模型至少要个. 21．根据相关研究报告显示，预计年电商交易额突破亿元，网购用户规模接近亿．下表为某网店统计的近个月的利润（单位：万元），其中为月份代号． 月份 2024年12月 2025年1月 2025年2月 2025年3月 2025年4月 月份代号 1 2 3 4 5 利润／万元 8 6.3 5.1 3.2 2.4 (1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数（精确到），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系；若可用，求出关于的经验回归方程，并估计年月该网店利润；若不可用，请说明理由； (2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折，其余情况不打折．方案二：从装有个形状大小、完全相同的小球（其中红球个，白球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸出个红球和一个白球打六折，摸出个黑球打八折，其余情况不打折．某顾客计划在此网店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 参考：，， 【详解】（1）由题意可得，， ， ， ， 所以，， 因为接近于，所以可以用线性回归模型拟合与的关系， ，则， 所以，关于的经验回归方程为， 将代入经验回归方程为， 故估计年月该网点利润估计知为万元. （2）设方案一的中奖次数为，由题意可知，实际付款金额为万元， 则的可能取值有、、、， 则，， ，， 故， 设方案二实际付款金额为万元，由题意可知，的可能取值有、、， ，，， 故 因为，所以，从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择方案二更优惠. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $