精品解析：甘肃省武威市凉州区武威三中教研联片2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 故选：B． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．结合二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项符合题意； D、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，根据有理化因式的特征，二次根式的运算逐项进行判断即可． 【详解】解：如果“□”中添上的是“+”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的数，因此选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“-”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的数，因此选项A、选项B不符合题意； 如果“□”中添上的是“×”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的数，因此选项B、选项D不符合题意； 如果“□”中添上的是“÷”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的数，因此选项A不符合题意； 综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式， 故选：C． 4. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．树垂直于地面，形成，因此用勾股定理结合已知条件求出长度，再用长度加上长度即为大树的高度． 【详解】解：∵树折断部分与未断部分和地面构成了直角三角形，且，， ∴， ∴这棵树原来的高度为， 故选C． 5. 如图，在中，O为的三边垂直平分线的交点，连接，若，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交于，连接、，过作交于，过作交于，由线段垂直平分线的性质，结合等腰三角形的判定及性质、三角形外角性质得，，由直角三角形的特征得， ，由勾股定理得，，，即可求解． 【详解】解：延长交于，连接、，过作交于，过作交于， O为的三边垂直平分线的交点， ， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解答：； 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的特征，勾股定理，等腰三角形的判定及性质；三角形外角的性质等；掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质；三角形外角的性质等，能构建直角三角形，熟练利用直角三角形的特征和勾股定理进行求解是解题的关键． 6. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的性质，根据四边形是平行四边形，得，结合平分交边于点，则，所以，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 8. 如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 利用全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质逐一判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ，， ， ， ， ，，故①正确； ， ， ∴， ，即， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ，而不一定等于，故③错误； ，， ， ∴平分的周长，故④正确； 如图，过点E作，并延长交于点N， ∵， ， ∴， ， ， ，故⑤正确， 综上，正确的有4个． 故选；C． 9. 如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而求出的长，设，在中利用勾股定理即可求出的值，继而再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 将沿翻折，点D落在边上处， ，， ， ， 设，则， 在中， ，即， 解得，即， ， 故选D． 10. 如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和点的坐标，解题关键是构建全等三角形，利用全等三角形对应边相等求出点的坐标． 【详解】解：作，垂足为E， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵B、C的坐标分别为，， ∴，， 点A的坐标为； 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 当时，二次根式的值为_____ ． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的求值等知识点，掌握二次根式的计算成为解题的关键． 将代入二次根式，然后求解即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：2． 12. 计算的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式的乘法法则即可得． 【详解】解： ． 13. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 14. 如图，在中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，，求出，在线段截取，利用角平分线性质和等腰三角形定义及外角的性质得，然后设，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴， 在线段截取，使， ， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， 在中 即， 解得：，（负值舍去）， 故答案为：. 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，勾股定理，此题辅助线的连接是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，垂足分别是E、F．若，则______． 【答案】135##135度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，先根据四边形的内角和为求出的度数，然后根据平行四边形的对角相等求解即可． 【详解】解∶ ∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为∶135． 17. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质可得，，由线段垂直平分线的性质得，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定，矩形的性质与判定等等，连接，当时，即时，的最小值等于，即可判定①；延长交于点，由，，即可判定②；连接交于P，此时最小，最小值为长，则周长最小，利用勾股定理求出的长，即可求出周长最小值，即可判定③． 【详解】解：连接， ∵正方形 ∴，， ∴ ∵于点E，于点F， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴当最小时，最小， 则当时，即时， 的最小值等于，故①错误； 延长交于点， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵于点F， ∴，， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，， 在和中，，， ； 在和中，，， ，故②正确； 连接交于P，如图， ∵正方形， ∴点A与点B关于对称， ∴， ∴ 根据两点之间线段最短可得，此时最小，最小值为长， ∵周长，， ∴最小时，周长最小， 在中，， ∴周长最小值． 故③正确． 故答案为：②③． 三、解答题（共66分） 19. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． （1）如图1，过点B画的垂线； （2）如图2，E为边上一点，在边上画点F，使得； （3）如图3，E为边上一点，在边上画点F，使得． 【答案】（1） 如图1，直线即为所求． （2） 如图2，则点F即为所求． （3） 如图3，则点F即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合菱形的性质，作直线即可； （2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，则点F即为所求； （3）连接，相交于点G，连接并延长交于点F，，则点F即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法即可得到答案； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．利用分式的运算法则对分式进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求分式的值，解题的关键是利用完全平方公式的变形求值． （1）可先根据题意求出，，再利用完全平方公式的变形求解即可； （2）将所求式子化为，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 23. 如图，中，，中垂线分别交于，交于．已知，求的周长和面积． 【答案】周长为，面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和中垂线的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解题的关键．根据勾股定理，先求出的长度，再根据是的中垂线，得到，求出长，利用勾股定理，在中，求出长，即可通过三边长求出周长，利用直角三角形的面积公式求出面积． 【详解】解：如图所示，连接， ，，， 根据勾股定理，在中，， 是的中垂线， ， ， 在中，， 的周长为， 的面积为． 24. 如图，在中，，平分，点在线段上，若，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，判定，． （1）由，推出，即可证明； （2）延长交于，过作交的延长线于，判定，推出，，得到，判定，推出，，求出，由勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于，过作交的延长线于， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ∴． 25. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，等角对等边，熟知菱形的性质与判定定理，矩形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行四边形对边平行，平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可证明结论； （2）根据菱形对角线互相垂直平分得到，再利用勾股定理求出，接着证明四边形是矩形，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴． 26. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵， ， 在和中， ， ， （2） 证明：由（1）得， ，， ∴ 即 ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法． （1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再结合已知条件并根据全等三角形判定（边角边），得； （2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，进一步根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 如图，在中，，，D是边上一动点． （1）如图①，若，求的长； （2）如图②，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论； （3）如图③，若点M是内部一点，且，点Q是边上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） ； 证明：如图②中，连接，延长、，则与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 即； （3）4 【解析】 【分析】（1）如图①中，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接．设，则，构建方程求出m即可； （2）连接，延长、，则与交于点T，证明，得出，证明，得出，证明，根据，得出； （3）作点关于的对称点，过点作于点，则，过点作于点，则垂直平分，故点在上，此时，当点共线，且于重合时，取最小值，求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图①中，过点D作于点E，在上取一点F，使得，连接． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点关于的对称点，过点作于点，则，过点作于点，作于点K， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴垂直平分， ∵点是内部一点且， ∴点在上， ∴， ∵垂线段最短，且两点之间线段最短， ∴当点共线，且于重合时，取最小值即为， 即最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即的最小值为4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，难度较大，解题的关键在于构造全等三角形进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，O为的三边垂直平分线的交点，连接，若，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 6. 如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知，，平分交边于点，则等于（     ） A. B. C. D. 8. 如图，是的对角线，过点B作交于点G，垂足为E，过点D作交于点H，垂足为F，连接．则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④平分的周长；⑤，其中正确的个数是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，在矩形中，，将沿翻折，使得点落在边上的点处，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 如图，正方形的顶点B、C的坐标分别为，，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 当时，二次根式的值为_____ ． 12. 计算的结果是________． 13. 化简：_______． 14. 如图，在中，，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，则______． 15. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为______． 16. 如图，在中，，，垂足分别是E、F．若，则______． 17. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点．若，则的长为______． 18. 如图，在边长为4的正方形中，Q是边上的一点，且，点P为对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出下列结论： ①的最小值为2；②；③周长的最小值为6． 其中正确的结论有：______．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（共66分） 19. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下画图（不写画法，保留画图痕迹）． （1）如图1，过点B画的垂线； （2）如图2，E为边上一点，在边上画点F，使得； （3）如图3，E为边上一点，在边上画点F，使得． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 23. 如图，中，，中垂线分别交于，交于．已知，求的周长和面积． 24. 如图，在中，，平分，点在线段上，若，，． （1）求证：； （2）求的长． 25. 如图，的对角线相交于点O，平分过点B作，过点A作，交于点E，连接． （1）求证：是菱形； （2）若，求的长． 26. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，且，．求证： （1）； （2）四边形是平行四边形． 27. 如图，在中，，，D是边上一动点． （1）如图①，若，求的长； （2）如图②，是边的中点，是延长线上一点，连接，过点作于点，过点作交延长线于点，连接．请猜想、、的关系，并证明你的结论； （3）如图③，若点M是内部一点，且，点Q是边上的动点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $