精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题

石嘴山市第一中学2024-2025学年高一第二学期6月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知和都是单位向量，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 化简（ ） A B. C. D. 6. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则边上的高的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合题目要求.） 9. 为了了解某社区60周岁以上老年人的体重，进行如下调查： 调查一：对该社区所有60周岁以上老年人的体重进行调查； 调查二：对该社区部分60周岁以上老年人（500名）的体重进行调查. 关于上述调查，下列说法正确的是（ ） A. 调查一是普查，调查二是抽样调查 B. 调查二中的总体是指该社区抽取的500名60周岁以上老年人的体重 C. 调查二中的样本量是500 D. 检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的数据更精确 10. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线C的顶点为O，焦点为F，圆F的圆心为F，半径为OF.平面内一点P满足，过P分别作C和圆F的切线，切点分别为M，N（均异于点O），则下列说法正确的是（ ） A B. C. M，N，F三点共线 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则___________. 13. 若，则的取值范围是_____. 14. 已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2，则该三棱柱ABC-A1B1C1外接球O的表面积为________；若P为正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1的中点，则平面PBC与球O的交线长为________. 四、解答题（共77分，解答应写出演算过程.） 15. 已知全集，，集合或，求： （1）； （2）. 16. 将直线的方程作如下转换： （1）化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． （2）化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 17. 已知函数，且 （1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，且对于任意实数，总存在实数，使得，求实数的取值范围． 18. 已知，，动点直线上． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 19. 已知函数． （1）设． ①判断在上的单调性，并用定义证明； ②判断在上是否存在零点． （2）当时，讨论零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2024-2025学年高一第二学期6月考 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知样本数据1，3，5，7，9，11，13，15，则该组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数的定义直接求得结果. 【详解】样本数据1，3，5，7，9，11，13，15的中位数是. 故选：C 2. 已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先化简计算，结合复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数在复平面内对应点为，位于第三象限. 故选：. 3. 已知和都是单位向量，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据向量的三角不等式进行求解即可． 【详解】根据向量的三角不等式得. 故选：C． 4. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知利用正弦定理可，结合已知，利用余弦定理即可求解的值. 【详解】因为 由正弦定理可得，所以 又 所以 故选:D 5. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】由二倍角的正弦公式可得. 故选:B. 6. 已知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到斜高，从而得到四棱锥体高，由体积计算公式即可求解. 【详解】如图，在正四棱锥中，为四棱锥的高，为侧面的高， 因为正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 所以，解得， ， 所以， 故选：A. 7. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题目条件有，则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 【详解】因，平面ABCD，平面ABCD， 则，又因四边形ABCD为矩形，则. 则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同. 又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：， 则外接球的表面积为： 故选：B 8. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则边上的高的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等面积法求得，结合是锐角三角形求出的范围即可. 【详解】因为是锐角三角形，所以，解得. 由正弦定理可得，则，. 设边上的高为，由， 得， 所以 . 由，得，可得， 所以， 即边上的高的取值范围为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，有多项符合题目要求.） 9. 为了了解某社区60周岁以上老年人的体重，进行如下调查： 调查一：对该社区所有60周岁以上老年人的体重进行调查； 调查二：对该社区部分60周岁以上老年人（500名）的体重进行调查. 关于上述调查，下列说法正确的是（ ） A. 调查一是普查，调查二是抽样调查 B. 调查二中的总体是指该社区抽取的500名60周岁以上老年人的体重 C. 调查二中的样本量是500 D. 检测一批灯泡的寿命宜采用调查一的调查方式，以使收集的数据更精确 【答案】AC 【解析】 【分析】根据抽样调查和普查概念、总体和样本的概念即可求解. 【详解】对于选项，根据抽样调查和普查的概念可知， 调查一调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故A正确； 对于选项B，根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区500名60周岁以上老年人的体重，故B错误； 对于选项C，结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是500，故C正确； 对于选项D，由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能用抽样调查，故D错误. 故选：AC. 10. 已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于C：因为，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：BCD 11. 已知抛物线C的顶点为O，焦点为F，圆F的圆心为F，半径为OF.平面内一点P满足，过P分别作C和圆F的切线，切点分别为M，N（均异于点O），则下列说法正确的是（ ） A. B. C. M，N，F三点共线 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设抛物线方程，可得圆的标准方程，设，切线PM的方程，利用直线与抛物线、直线与圆的位置关系分别求出两条切线方程，进而求出点P的坐标，结合、、、、，利用平面向量的坐标表示化简计算，依次求解即可. 【详解】设抛物线方程为，则， 所以圆F的方程为，即. 设切点分别为，则，， 有，. 易知两条切线的斜率存在，设切线PM的方程为， 则，消去x，得， ，整理得， 即，得，即， 所以切线PM的方程为，即. 同理可得切线PN的方程为， 令，分别得，， 由，知点P在y轴上，为，由，得，有. 又，， 所以与共线，即，故A正确； 又，， 所以，即，故B正确； 又， ， 所以与共线，所以三点共线，故C正确； 因为，三点共线，所以，得， 所以， 得， 有，所以不成立，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】求解圆锥曲线在某点出的切线方程时，考虑切线斜率存在与否，若存在，设切线方程，利用直线与圆锥曲线的位置关系令，求出参数，解出切线方程，结合题意即可解决有关空间中位置关系或距离关系的问题. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出，再由函数的奇偶性求出的值. 【详解】由题意得：，因为函数是定义在R上的偶函数，所以 故答案为：2 13. 若，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据等式，结合三角函数的值域，可求得.由同角三角函数式化简所求整式，即可由二次函数性质求得值域. 【详解】因为 则 因为 所以，解得 所以由同角三角函数关系式，并代入化简可得 ， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为； 综上可知，的取值范围为 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的值域应用，二次型余弦函数的值域求法，同角三角函数关系式的应用，属于基础题. 14. 已知在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB=2，则该三棱柱ABC-A1B1C1外接球O的表面积为________；若P为正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1的中点，则平面PBC与球O的交线长为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接，算出的长度后根据勾股定理可求外接球的半径，取的中点为，连接，过作的垂线，垂足为，求出的长度后可求交线圆的半径，从而可求交线长. 【详解】如图，设上底面的中心为，下底面的中心为，连接， 则其中点为外接球的球心. 又，故球的半径为， 故外接球的表面积为. 取中点为，连接，过作的垂线，垂足为， 因为，故， 由正三棱柱可得平面，而平面，故， 同理， 因为，故， 所以，故， 因为，故平面， 而平面，故平面平面，而平面平面， 平面，故平面， 所以到平面的距离为. 因为为的中点，为的中点，故， 而，， 在中，由余弦定理可得. 而为三角形内角，故， 因为， 故， 平面与外接球的交线为圆，该圆的半径为， 故圆的周长为：. 故答案为：，. 四、解答题（共77分，解答应写出演算过程.） 15. 已知全集，，集合或，求： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据交集运算法则直接计算即可； （2）先求出，再计算出补集即可. 【详解】（1）； （2）∵或， ∴. 【点睛】本题考查集合的交并补运算，属于基础题. 16. 将直线的方程作如下转换： （1）化成斜截式，并指出它们的斜率与在轴上的截距． （2）化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到直线的斜截式方程，并求得斜率和截距； （2）根据题意，化简得到直线的截距式方程，进而求得坐标轴上的截距. 【小问1详解】 解：将原方程移项，可得，可得直线的截距式方程为， 则直线的斜率为，在轴上的截距为. 【小问2详解】 解：将原方程化简为，可得直线的截距式方程为， 所以直线在轴和轴上的截距分别为. 17. 已知函数，且 （1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，且对于任意实数，总存在实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可. (2)根据，求出的范围，将式子转化成关于的关系式，求出的最值，利用即可求得实数的取值范围. 【详解】解：（1）∵函数在区间上单调递减, ∴，, ∴实数的取值范围为. （2）,, , 又∵, ∴恒成立, ∴ . 当时， , 当时， , 综上可得：实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查的是复合函数的单调性和函数最值，以及利用最值求参数的取值范围，要求学生认真审题、理清思路，考查学生的计算能力，是难题. 18. 已知，，动点在直线上． （1）求的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助线段和的几何意义求解即可； （2）设点坐标为，写出的表达式，将代入消元，转化为二次函数的最值问题，即可求解. 【小问1详解】 设关于直线：对称点坐标为， 则，得，即， ， 所以的最小值为． 【小问2详解】 设点坐标为， 则 因为点在直线上， 所以， 所以， ， 所以的最小值为． 19. 已知函数． （1）设． ①判断在上的单调性，并用定义证明； ②判断在上是否存在零点． （2）当时，讨论零点的个数． 【答案】（1）①在上单调递增，证明见解析；②在上不存在零点，在上存在零点 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设得到，设，计算，得到函数单调递增；再计算，得到是否存在零点. （2）令，则，题目转化为求的零点，考虑，和三种情况，分别计算零点得到答案. 【小问1详解】 若，则．令，则，得， 所以． ①在上单调递增． 证明如下：设， 则． 因为，所以，则， 即，所以在上单调递增． ②根据①同理可得在上单调递减． 因为， 故，则在上不存在零点，在上存在零点． 【小问2详解】 令，则， 故的零点个数即函数在上的零点个数． 当时， 当，即时，在上没有零点． 当，即时，在上有1个零点． 当，即时，由， 得， 若，即，则在上有1个零点； 若，即，则在上有2个零点． 综上所述： 当或时，有1个零点； 当时，有2个零点； 当时，没有零点． 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性和零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据的正负分和方程解的正负进行讨论是解题的关键，讨论的方法是常考内容，需要熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$