第04讲 有理数的加法与减法（知识清单+2易错+8必考题型）讲义-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版2024）

第04讲 有理数的加法与减法 题型梳理 易错分析 易错点一 对有理数的减法法则理解不透彻致错 易错点二 去括号时未变号致错 题型方法 题型一 有理数的加法法则 题型二 有理数加法的应用 题型三 有理数加法的运算律 题型四 有理数加法运算律的应用 题型五 有理数的减法法则 题型六 有理数减法的应用 题型七 省略括号的和式 题型八 有理数的加减运算 知识清单 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 特别解读 1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是正数；(2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；(3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是负数；(2)一个是正数、一个 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3：有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 知识点4：有理数的加减混合运算 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 特别解读 1.有理数加减混合运算关键有两步： 第一步统一为加法； 第二步运用加法运算律. 2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 易错分析 【易错点一】对有理数的减法法则理解不透彻致错 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据加减运算的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，原选项计算错误，符合题意； C、，计算正确，不符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，减法和多重符号的化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：A．，故原式不正确； B．，故原式不正确； C．，正确； D．，故原式不正确； 故选C． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则逐项判断即可． 【详解】解：，则A不符合题意； ，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 【变式3】在计算“”时，甲同学的做法如下：．甲同学的计算是否正确？如果不正确，请写出正确的计算过程． 【答案】甲同学的计算不正确，过程见解析，7 【分析】由减去两个有理数，相当于减去这两个数的相反数的和，可得甲同学的计算错误，再根据正确的运算方法计算即可. 【详解】解：减去两个有理数，相当于减去这两个数的相反数的和． 故甲同学的计算不正确． 正确的计算过程为 ． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，理解减法的意义是解题的关键． 【易错点二】去括号时未变号致错 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算． （1）把减法变为加法后利用加法交换律和结合律进行计算即可； （2）把减法变为加法后利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算及运算律，熟练掌握运算律是解题的关键． （1）先把减法运算统一为加法运算，然后利用加法交换律、结合律进行简便计算即可； （2）先把减法运算统一为加法运算，然后利用加法交换律、结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键． （1）减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可； （2）根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）阅读下列解题过程： 解：原式① …② …③ ． (1)上面解题过程在第 步出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的加减混运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）观察已知条件中的算式，找出出现错误的步骤即可； （2）按照混合运算法则，把减法化成加法，写成省略加号和的形式进行简便计算即可． 【详解】（1）解：∵①， ∴上面解题过程在第①步出现错误， 故答案为：①； （2）解：正确的解题过程如下： ． 题型方法 【题型一】有理数的加法法则 【例1】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，掌握有理数加法运算法则计算即可．直接运用有理数加法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟悉掌握加法运算法则是解题的关键．根据加法运算法则运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江·期中）将填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等，如图所示的x处应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先找出这些数从小到大排列，找到最中间的数填在中间，然后分别让两头的数组合成一对，往里边填写即可． 【详解】解：把填在中间，如图： ∴x处应填， 故选：C． 【点睛】本土考查了九宫格以及有理数加法，熟练掌握有理数的加法运算法则是解本题的关键． 【变式3】（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： 【答案】 【分析】直接运用有理数的加法法则进行计算即可． 【详解】解： 【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则． 【题型二】有理数加法的应用 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点向右平移个单位到点，可以表示这一变化过程的算式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查数轴上点的平移,有理数的加法，解题关键是看清平移的方向和距离．点向右平移个单位到点相当于从向右平移了个单位，因此表示为即可． 【详解】解：点向右平移个单位到点体从点A向左平移5个单位到点B，即． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则x，y，，这四个数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较数的大小，有理数的加法运算法则．解题的关键是掌握负数小于0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图， ∴． 故选A． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1∶1∶2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴上的折叠变换问题，有理数的加法运算， 分三种情况进行讨论：分别画出对应的图形，①当时所以设，，，得，得出的值计算折痕处对应的点所表示的数的值，当时，当时，同理可得出折痕处对应的点所表示的数的值．掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图：①当时， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴折痕处所表示的数为：； ②当时， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； ∴折痕处所表示的数为：； ③当时， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； ∴折痕处所表示的数为：； 综上所述：折痕处所表示的数可能为：或或． 故答案为：或或． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，绝对值，相反数和倒数的定义，根据绝对值，相反数和倒数的定义求出a、b、c的值是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得a的值，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得b的值，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的想法是，据此可得c的值，再代值计算即可． 【详解】解：∵a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3， ∴， ∴或； 综上所述，的值为或． 【题型三】有理数加法的运算律 【例3】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）的原理是（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【答案】A 【分析】根据题意，该式为省略括号的和的形式，则依据是加法交换律． 【详解】解：根据题意，原等式左边可以看成省略括号的和的形式，根据加法交换律，可得 故选：A 【点睛】本题考查了有理数加法运算和加法交换律，熟练掌握相关运算法则和运算律是解答关键． 【举一反三】【变式1】（七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数加法的运算律，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，掌握加法的运算律是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查加法交换律，根据加法交换律逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项变形错误，不符合题意； B、，原选项变形错误，不符合题意； C、，原选项变形正确，符合题意； D、，原选项变形错误，不符合题意； 故选C． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)2 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则和加法的运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则和加法结合律解答即可； （2）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （3）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可； （4）利用有理数的加法法则和加法交换律和加法结合律解答即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型四】有理数加法运算律的应用 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（   ） A．50米 B．30米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，用潜水艇所在的海拔高度加上10米即可得到答案． 【详解】解：米， ∴海豚所在的海拔高度是米， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期末）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货3吨，出货4吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，理解正负数的意义是解题的关键． 根据正负数的意义，可得答案． 【详解】解：∵记进货为正，出货为负， ∴进货3吨表示为，出货4吨表示为， ∴当天库存变化为 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图是同一时刻莫斯科与中国北京的时差时间，则当莫斯科时间为时，北京时间为 ． 【答案】22：08 【分析】根据同一时刻莫斯科与中国北京的时差时间是5小时，即可求解． 【详解】如图可知： 同一时刻莫斯科与中国北京的中时差时间是5小时 所以当莫斯科时间为时，北京时间为 故答案为： 【点睛】本题考查有理数的加法，解题的关键是能够读懂图片的含义． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某考察队在一条东西走向的路上进行按顺序定点观测，他们从点出发，先向东走，对第一个点进行观测，观测完毕后，向西走进行第二个点的观测，然后又向东走观测第三个点，最后向西走到达最后观测点．问： (1)考察队最后停在点的东面还是西面多少米处？ (2)该考察队一共走了多少米？ 【答案】(1)考察队最后停在点的西面米处 (2)该考察队一共走了米 【分析】本题考查了有理数的加法运算的实际应用，绝对值的定义，解题的关键是理解题意． （1）先设向东为正，向西为负，再列式进行计算即可； （2）把行驶的路程相加即可． 【详解】（1）解：我们规定向东为正，则： ， 答：考察队最后停在点的西面米处； （2）， 答：该考察队一共走了米． 【题型五】有理数的减法法则 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个数与的和是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算法则．根据加数等于和减去另一个加数即可求解． 【详解】解：一个数与的和是， 这个数是， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若减去一个有理数的差是，则这个有理数是（   ） A．7 B． C． D．11 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法，被减数减去差即为减数． 【详解】解：， 故选A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列运算结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数减法法则计算后即可得到答案． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若减去一个有理数的差是，则这个有理数是 ． 【答案】4 【分析】本题考查有理数的减法，计算即可解答． 【详解】解：由题意，得， ∴这个有理数是4． 故答案为：4 【题型六】有理数减法的应用 【例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的减法及正数和负数，根据甲地的海拔高度减乙地的海拔高度，直接列式即可． 【详解】解：根据题意得，甲地比乙地高列式为， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）文文想了解北京某天的天气情况，用手机查询到北京这天的天气情况如图所示，则北京这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法应用．熟练掌握温差意义，有理数的减法法则，是解题的关键． 由最高气温减去最低气温即可求解． 【详解】解：依题意得：（）． 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·浙江·期中）某种零件，标明要求是（表示直径，单位：），经检查，一个零件的直径是，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【分析】算出该零件直径允许的最大值和最小值即可． 【详解】解：该零件直径允许的最大值为：mm 该零件直径允许的最小值为： ∵ ∴合格 故答案为：合格 【点睛】本题考查了有理数的加减法在实际生活中的运用．较为简单． 【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【答案】(1)小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个 (2)一分钟最多跳绳173个 (3)累计跳绳827个 【分析】本题考查了正数和负数应用，以及有理数的混合运算的应用，解题关键是正确列出算式． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）分别求出11月1日至5日每日跳绳量即可得解； （3）把5天的跳绳量相加即可得解． 【详解】（1）个， 个， 答：小李在11月1日跳绳162个，在11月2日跳绳159个； （2）个， 个， 个， 答：一分钟最多跳绳173个； （3）个， 答：累计跳绳827个． 【题型七】省略括号的和式 【例7】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 利用去括号法则省略括号后即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 【举一反三】【变式1】将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减法，掌握有理数的加法法则和减法法则是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：A． 【变式2】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 【变式3】把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 【答案】 【分析】根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法中的括号问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型八】有理数的加减运算 【例8】（24-25七年级上·浙江·期末）把算式写成省略加号的和的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用有理数的加减法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握加法交换律在有理数加法运算中的应用是解题关键，根据加法交换律，在交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起移动，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A. ，故此选项错误； B. ，故此选项错误； C. ，故此选项错误； D. ，此选项正确． 故选：D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期中）图形表示运算，则 【答案】 【分析】利用新定义运算的法则，先列式再计算． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是定义新运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产自行车辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录求前三天共生产自行车多少辆； (2)若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)根据记录求前三天共生产自行车辆 (2)该厂工人这一周的工资总额是元 【分析】本题考查有理数的加减运算，解题的关键是根据题意，列出代数式． （1）根据记录可知，前三天生产的自行车数量为：，即可； （2）先求出超额，然后列式计算，即可． 【详解】（1）（辆）， 答：根据记录求前三天共生产自行车辆． （2）（辆）， ∴（元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）数轴上与的距离等于2的数是（    ） A． B． C．或 D．5或1 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离和有理数的加法与减法，根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意可得， 或， 即数轴上与的距离等于2的数是或， 故选：C 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）计算的结果（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数．根据加法法则计算即可． 【详解】解：． 故选B． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）不改变原式的值，将中的减法改成加法，并写成省略加号的形式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法法则和“”号的意义，理解法则：“减去一个数等于加上这个数的相反数”及 “”号的意义是解题的关键． 【详解】解：原式； 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）长汀冬季的某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的减法的运算方法，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号减号变加号；二是减数的性质符号减数变相反数 根据有理数的减法的运算方法，用长汀冬季的某天的最高气温减去这天的最低气温，求出这一天的温差是多少即可． 【详解】解： 答：这一天的温差是， 故选：A． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数加法的应用，能准确理解正负数的意义是解题关键．根据正负数是表示一对意义相反的量、有理数的加法求解即可得． 【详解】解：由题意得：赛车相对于起点位置的是， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级上·浙江·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据异号两数相加，去绝对值较大数的符号，再用绝对值较大减去较小数即可． 【详解】解： 故答案为：． 7．（21-22七年级上·浙江台州·阶段练习）计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 【答案】1010 【分析】根据数的特点，每两个一组进行运算即可． 【详解】解：（﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020 ＝[（﹣1）+2]+[（﹣3）+4]+…+[（﹣2017）+2018]+[（﹣2019）+2020] ＝1+1+…+1 ＝1010， 故答案为：1010． 【点睛】本题考查数字的变化规律，根据所给数的特点，分组进行求解是解题的关键． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）杭州启正中学创办于年，若将年记为0，之后每过一年记为，那么明年年可记为 ，也是杭州启正中学的校庆年． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：，即可解答． 【详解】解：由题意得：， 若将年记为0，之后每过一年记为，那么明年年可记为，也是杭州启正中学的校庆年， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)107.5 【分析】本题考查了有理数的加法混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是关键． （1）根据去括号法则，可变为，计算可得； （2）可变为，然后利用加法的结合律将两个加数相加． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（24-25七年级上·浙江·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 【答案】(1)；1；0 (2) (3)都符合，举例见解析 【分析】本题主要考查了新定义： （1）根据新定义分别求出向后转向右转，向后转向左转，向后转向后转的结果即可得到答案； （2）根据任意口令立正该任意口令即可得到答案； （3）只需要证明向右转向左转立正，向左转向右转立正，向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）即可． 【详解】（1）解：∵向后转向右转向左转， ∴； ∵向后转向左转向右转， ∴ ∵向后转向后转立正， ∴； （2）解：∵任意口令立正该任意口令， ∴； （3）解：由表可知向右转向左转立正，向左转向右转立正， ∴符合加法的交换律； ∵向右转向左转立正，立正向后转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转， ∵向右转（向左转+向后转）向右转向右转向后转， ∴向右转向左转+向后转向右转（向左转+向后转）， ∴符合加法交换律． 11．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 【答案】(1)，29， (2)①；② 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减计算的实际应用： （1）根据正负数的意义分别计算出每一天的客流量即可得到答案； （2）①根据正负数的意义即可求出9月28日的实际客流量；②用10月2日的客流量减去10月1日的客流量即可得到答案． 【详解】（1）解：9月29日实际客流量是万人次， 9月30日实际客流量是万人次， 10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， 10月3日实际客流量是万人次， 10月4日实际客流量是万人次， 10月5日实际客流量是万人次， ∴10月5日这一天的实际客流量是万人次； 该动车站客流量最多的一天是29日，这一天的实际客流量是万人次； 故答案为：，29，； （2）解：①∵9月29日实际客流量是万人次， ∴9月28日实际客流量是万人次， 故答案为：； ②∵10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， ∴10月2日比10月1日减少万人次， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加法与减法 题型梳理 易错分析 易错点一 对有理数的减法法则理解不透彻致错 易错点二 去括号时未变号致错 题型方法 题型一 有理数的加法法则 题型二 有理数加法的应用 题型三 有理数加法的运算律 题型四 有理数加法运算律的应用 题型五 有理数的减法法则 题型六 有理数减法的应用 题型七 省略括号的和式 题型八 有理数的加减运算 知识清单 知识点1：有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 特别解读 1. 若两个数的和为正数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是正数；(2) 一个是正数、一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值；(3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个加数有三种可能： (1)两个都是负数；(2)一个是正数、一个 知识点2：有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 知识点3：有理数的减法 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 特别解读 减法转化为加法过程中，应注意“两变一不变”.“两变”是指运算符号“－”号变成“＋”号，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数和减数的位置不变. 知识点4：有理数的加减混合运算 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 特别解读 1.有理数加减混合运算关键有两步： 第一步统一为加法； 第二步运用加法运算律. 2.改写算式时，运算符号中的加号可以省略，但必须保留性质符号. 易错分析 【易错点一】对有理数的减法法则理解不透彻致错 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列计算中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】在计算“”时，甲同学的做法如下：．甲同学的计算是否正确？如果不正确，请写出正确的计算过程． 【易错点二】去括号时未变号致错 【例1】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： (1) (2) 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式2】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）阅读下列解题过程： 解：原式① …② …③ ． (1)上面解题过程在第 步出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 题型方法 【题型一】有理数的加法法则 【例1】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．7 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）计算过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江·期中）将填入九宫格内，使每行、每列、每条斜对角线上的3个数和都相等，如图所示的x处应填（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2022七年级上·浙江·专题练习）计算： 【题型二】有理数加法的应用 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）我们可用数轴直观研究有理数及其运算．如图，将物体从点向右平移个单位到点，可以表示这一变化过程的算式为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，，，则x，y，，这四个数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小之在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：在数轴上剪下从到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1∶1∶2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知a与互为相反数，b与互为倒数，c的绝对值为3，求的值． 【题型三】有理数加法的运算律 【例3】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）的原理是（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法交换律与结合律 【举一反三】【变式1】（七年级上·浙江衢州·阶段练习）下列交换加数位置的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列交换加数位置的变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型四】有理数加法运算律的应用 【例4】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方10米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（   ） A．50米 B．30米 C．米 D．米 【举一反三】【变式1】（23-24七年级上·浙江温州·期末）某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货3吨，出货4吨，记进货为正，出货为负，下列算式能表示当天库存变化的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图是同一时刻莫斯科与中国北京的时差时间，则当莫斯科时间为时，北京时间为 ． 【变式3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某考察队在一条东西走向的路上进行按顺序定点观测，他们从点出发，先向东走，对第一个点进行观测，观测完毕后，向西走进行第二个点的观测，然后又向东走观测第三个点，最后向西走到达最后观测点．问： (1)考察队最后停在点的东面还是西面多少米处？ (2)该考察队一共走了多少米？ 【题型五】有理数的减法法则 【例5】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个数与的和是，则这个数是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若减去一个有理数的差是，则这个有理数是（   ） A．7 B． C． D．11 【变式2】（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列运算结果正确的是（     ）． A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）若减去一个有理数的差是，则这个有理数是 ． 【题型六】有理数减法的应用 【例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）已知甲地海拔为 120 米，乙地海拔为米，求甲地比乙地高多少米？下列列式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江金华·期末）文文想了解北京某天的天气情况，用手机查询到北京这天的天气情况如图所示，则北京这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江·期中）某种零件，标明要求是（表示直径，单位：），经检查，一个零件的直径是，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 【变式3】（23-24七年级上·浙江衢州·期中）为了提高学生的身体素质，学校鼓励学生开展每日一分钟跳绳打卡活动．小李记录了11月1日至5日每日一分钟跳绳个数如下表（正号表示比上一天多，负号表示比上一天少）． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 个数变化（单位：个） 若10月31日小李一分钟跳绳170个，问： (1)小李在11月1日、2日各跳绳多少个？ (2)小李在这5天的跳绳练习中，一分钟最多跳绳多少个？ (3)小李在这5天的跳绳练习中，累计跳绳多少个？ 【题型七】省略括号的和式 【例7】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）算式写成省略加号的和式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】将写成省略正号和括号的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【变式3】把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 【题型八】有理数的加减运算 【例8】（24-25七年级上·浙江·期末）把算式写成省略加号的和的形式为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·浙江金华·期中）图形表示运算，则 【变式3】（23-24七年级上·浙江台州·期末）某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产自行车辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是某周的自行车生产情况（超过计划生产量为正，不足计划生产量为负，单位：辆）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录求前三天共生产自行车多少辆； (2)若该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车可得元，一天中生产超过计划生产量的，每超一辆奖元；一天中生产不足计划生产量的，每少一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）数轴上与的距离等于2的数是（    ） A． B． C．或 D．5或1 2．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）计算的结果（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）不改变原式的值，将中的减法改成加法，并写成省略加号的形式的是（      ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）长汀冬季的某天的最高气温是，最低气温是，则这一天的温差是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江温州·期末）一辆玩具赛车在一条水平直线上先向东行驶，再向西行驶，规定向东行驶为正，向西行驶为负，下列算式能表示赛车相对于起点位置的是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·浙江·阶段练习） ． 7．（21-22七年级上·浙江台州·阶段练习）计算： （﹣1）+2+（﹣3）+4+…+（﹣2017）+2018+（﹣2019）+2020＝ ． 8．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）杭州启正中学创办于年，若将年记为0，之后每过一年记为，那么明年年可记为 ，也是杭州启正中学的校庆年． 三、解答题 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·浙江·期末）在体育课中，我们经常根据“立正，向右转，向左转、向后转”这些口令进行相应的运动，这些运动是可以连续进行的，现规定：把连续执行2个口令的结果，叫作这2个口令相加所得到的和，并用“”表示相加．例如：向右转向左转立正，向左转向左转向后转，等等．分别用数字符号0，1，，2表示立正，向右转，向左转，向后转，可以建立如下的体育口令加法运算表． 0（立正） 1（向右转） （向左转） 2（向后转） 0（立正） 0 1 2 1（向右转） 1 2 0 n （向左转） 0 2 1 2（向后转） 2 x y m 请完成下面问题： (1)上述表格中， ， ， ． (2)若用字母a表示任何一种体育口令，则 ． (3)判断这种体育口令的加法运算是否满足交换律和结合律？请举例验证（各举一个例子即可）． 11．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$