精品解析：福建省漳州市华安一中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

华安一中2024-2025学年下学期期中考高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义或者基本初等函数的导数公式，结合导数的物理意义即可求解. 【详解】法一（导数的定义）： ， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 法二（基本初等函数的求导公式）： ∵，∴， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：C. 2. 已知，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】求得，，根据题意建立等式求解即可. 【详解】由题意得，， 因为三点共线，所以， 即， 解得，，，所以． 故选：B 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 故选：C 4. 某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ） A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出总利润的解析式，再利用导数求解最大值即可. 【详解】由题意得，总利润为， 当时，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则时，； 当时，，函数单调递减， 所以， 所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大． 故选：D. 5. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：可以通过几何法找到异面直线所成角的平面角，结合余弦定理可以求出； 解法二：通过空间向量法，用坐标运算可以求出. 【详解】解法一：设E为BC的中点，连接FE，如图， ∵E是BC的中点， ∴∥，,,; 在中，由余弦定理可知 ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为， 解法二：以A为坐标原点，AC，AM所在直线分别为y，z轴建立空间直角坐标系如图所示， 易知，，， 所以，， 则， ∴异面直线BE与AF所成角的余弦值为. 故选：D 6. 已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，判断函数单调性后即可求解. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 因为，所以． 故选：B 7. 函数与函数公切线的斜率为（    ） A 或 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为， 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即， 又易知，整理可得， 即，即，解得或， 因此可得斜率为或， 故选：C. 8. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.） 9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ） A. 是函数的极值 B. 函数的有最小值无最大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 【答案】BC 【解析】 【分析】由极值的定义可判断A,根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性即可判断B，C，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率可判断D． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故B，C正确； 则是函数的极小值点不是极值，故A错； 由图像可知函数在处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确； 故选：BC 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，m的取值范围为 D. 当只有1个零点时，m的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】讨论的取值范围，通过求导分析函数的单调区间，可得选项A错误，选项B正确；把函数零点问题转化为的图象与直线的交点个数问题，作出函数图象，数形结合可得选项C正确，选项D错误. 【详解】由得或；由得. 当或时，，则， ∴当或时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减. 当时，则， ∴当时，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上得，在处取得极小值，故有2个极小值点，故A错误. ∵，∴曲线在点处的切线斜率为9，故B正确. 由得，函数的零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题. 根据函数单调性分析，作出函数的图象，如图所示， 由图1可得，当函数的图象与直线有3个交点时，m的取值范围为，故C正确. 由图2可得，当函数的图象与直线有1个交点时，m的取值范围为，故D错误． 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，由向量垂直的坐标表示，代入计算，即可得到结果. 【详解】先计算，由题意可得： ， 所以. 故答案为：4 【点睛】 13. 若函数在处有极值10，则________． 【答案】15 【解析】 【分析】先求导，根据题意有解得，验证在处有极值10即可. 【详解】由题意有，由题意得，解得或， 当时，，， 故在上单调递增，无极值，舍去， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在处取得极小值，满足要求，此时． 故答案为：15. 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）求函数在处的切线方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点以及根与系数求得. （2）利用切点和斜率即可求得切线方程. 【小问1详解】 依题意，在及处取得极值， 而的两根为，， 所以，， ，， 此时， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减， 所以及是极值点，符合题意. 所以. 【小问2详解】 由（1）得，， ，，则切线方程为， 化简得，函数在处的切线方程为. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直的判定定理即得； （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得. 【小问1详解】 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面，又平面， 所以, 又，，平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又因为， ，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，，， 因为， 所以，即，则， 由（1）平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角的大小为，则 ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】（1）极大值点，无极小值点； （2）当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求导得到，讨论和两种情况，计算得到答案. （3）讨论，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为. ， 令，得, 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 在时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是，无极小值点. 【小问2详解】 ，则，， 当时，恒成立，函数单调递减； 当时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当时，函数单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当时，函数单调递减，故恒成立，故符合题意； 当时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 18. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，，线段上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据正方形的几何性质以及勾股定理，结合线面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量以及直线的方向向量，利用点面距的向量公式，可得答案； （3）由（2）建立的空间直角坐标系，设的坐标，利用共线定理，求得两平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 取的中点为，连接，作图如下： 因为四边形是边长为正方形，所以，， 在中，，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由两两垂直，则以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 取， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 点到平面的距离. 【小问3详解】 设，则，设，， 可得，解得，所以， 则，， 设平面的法向量，可得， 令，则，所以平面的一个法向量， 由图易知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 化简可得，解得或（舍去）， 所以存在，点的坐标为，点为线段靠近的三等分点. 19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间. 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： （1）试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； （2）已知函数，求的凹的区间和凸的区间； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）图象是凸的，证明见解析； （2）的凹的区间为，的凸的区间为. （3）. 【解析】 【分析】（1）求以及，判断的正负可证明； （2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间； （3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围. 【小问1详解】 的图象是凸的. 因为，， 又，所以，所以图象是凸的. 【小问2详解】 因为函数，所以的定义域为， ，， 令，则，令，则， 故的凹的区间为，的凸的区间为. 【小问3详解】 由题意可知，定义域为， 且等价于， 令，，，， 则，， ，当时，，当时，， 时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 则，， 若恒成立，则，解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华安一中2024-2025学年下学期期中考高二数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，若三点共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 4. 某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，若总收入与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是（ ） A. 150 B. 200 C. 250 D. 300 5. 如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，满足（为的导函数），设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数与函数公切线的斜率为（    ） A. 或 B. C. 或 D. 或 8. 已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错或不选的得0分.） 9. 函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（ ） A. 是函数的极值 B. 函数的有最小值无最大值 C. 在区间上单调递增 D. 在处切线的斜率小于零 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处切线斜率为9 C. 当有3个零点时，m的取值范围为 D. 当只有1个零点时，m取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，若，则________． 13. 若函数在处有极值10，则________． 14. 已知恒成立，则正数的取值范围为______． 四、解答题（共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）求函数在处的切线方程； 16. 如图，在直三棱柱中，，，，交于点E，D为的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数，. （1）当时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 18. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间. 关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题： （1）试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明； （2）已知函数，求的凹的区间和凸的区间； （3）若时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $