专题2.2 数轴（举一反三讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.2 数轴（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 识别数轴】 2 【题型2 用数轴上的点表示有理数】 3 【题型3 数轴上的整点问题】 5 【题型4 数轴上点的平移】 6 【题型5 有理数比较大小】 8 【题型6 有理数大小比较的实际应用】 9 知识点1 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点3 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在数轴上表示的两个数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 3. 相对于有理数a、b，以下三种关系且只有一种成立： ，， 4. 有理数大小关系的传递性： 对于有理数a，b，c， 如果，且，那么； 如果，且，那么． 5. （拓展）作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型1 识别数轴】 【例1】（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的定义，掌握数轴的定义是解题的关键； 根据数轴的三要素是原点，单位长度，正方向，分析哪个图形含有这三要素，就是数轴； 【详解】解：A、没有方向，故错误； B、没有原点，故错误； C、单位长度不一样长，故错误； D、符合所有条件，是数轴，故正确； 故选：D 【变式1-1】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【答案】D 【详解】数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．故可知：D正确. 故选D. 【变式1-2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案． 【详解】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念． 【变式1-3】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．请选择适当的单位长度画出数轴，并在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置． 【答案】答案见解析 【分析】以东为正方向，书店为原点画数轴，然后根据数轴表示数的方法在数轴上分别表示出超市、书店、玩具店的位置即可. 【详解】解：以东为正方向，书店为原点画数轴，单位长度代表10米，如下图： 【点睛】本题考查了数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，合理的选择原点和单位长度是解答本题的关键. 【题型2 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点A表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数是， ∴， ∵点A在O点右侧， ∴点A表示的数为：， 故选:A． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了了数轴表示数，根据所给数轴，得出一个单位长度为小格，据此可得出答案，能根据题意得出一个单位长度为小格是解题的关键． 【详解】解：由所给数轴可知，一个单位长度为小格， ∴点与相距个单位长度，且在的左边， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式2-2】如图，图中1格代表，点A在处，点B在点A右侧处，则点B表示数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴，根据即可得出答案． 【详解】解：∵点A在处，点B在点A右侧处， ∴点B表示数为． 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的表示方法是解题的关键．根据数轴上个单位长度表示，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：数轴上个单位长度表示， 故个单位长度表示， 则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为， 故答案为：． 【题型3 数轴上的整点问题】 【例3】（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 【变式3-1】如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点右侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小. 【详解】解：被遮住的左边是整数-2，右边是0，因此被遮挡的整数是-1. 故选B. 【点睛】本题主要考查数轴表示数的意义，理解数轴表示数的意义. 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 【变式3-3】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 【题型4 数轴上点的平移】 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴的动点问题，准确计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况讨论即可求解； 【详解】解：从数轴上点出发向左爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 从数轴上点出发向右爬了个单位长度到了表示的数的点，则点表示的数是； 综上所述，点所表示的数是或； 故答案为：或 【变式4-1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把数轴上表示数2的点向右移动3个单位后，表示的数为（   ） A．5 B．1 C．5或 D．都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，熟知“左减右加”的法则是解答此题的关键． 根据“左减右加”的法则进行解答即可． 【详解】解：把数轴上表示数2的点向右移动3个单位长度后，即，表示的数为5， 故选：A． 【变式4-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 【变式4-3】（24-25六年级上·山东济宁·期中）若数轴上的点距离原点个单位长度，若一个点从点出发向右移动个单位长度，此时终点所表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的点所表示的数，根据数轴上的点距离原点个单位长度，可得点表示的数，再根据向右移动几个单位加几，向左移动几个单位减几．明确向右移动用加法，向左移动用减法是解题的关键． 【详解】解：∵点距离原点个单位长度， ∴点表示的数为或， 当点表示的数为时，一个点从点出发向右移动个单位长度，终点所表示的数是：； 当点表示的数为时，一个点从点出发向右移动个单位长度，终点所表示的数是：； 综上所述，此时终点所表示的数是或． 故答案为：或． 【题型5 有理数比较大小】 【例5】（2025九年级下·河南安阳·学业考试）如图，数轴上点P所表示的数可能为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数比较大小，根据数轴可得点P所表示的数要大于负2，小于负1，再证明即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点P所表示的数要大于负2，小于负1， ∴， ∴数轴上点P所表示的数可能为， 故选：A． 【变式5-1】（2025·海南儋州·模拟预测）下列四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴在有理数，，，中，最小的数是． 故选：B． 【变式5-2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上表示数：，，，，其中最接近0的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可得到答案．熟练掌握用数轴表示有理数的方法是解题关键． 【详解】解：在直线上表示数如下： 其中最接近0的数是， 故答案为： 【变式5-3】（24-25七年级上·河南濮阳·期末）给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 【答案】(1) (2)见详解； 【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较．熟知相关定义是正确解题的关键． （1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果； （2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来； 【详解】（1）解：将3，，0，，0.45，，，，用“”排列如下： ； （2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下： 【题型6 有理数大小比较的实际应用】 【例6】（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【答案】D 【分析】本题考查负数的知识，负数大小的比较．分别比较几个凝固点的大小，即可得到解答．． 【详解】解：由表格可知，固态氢的熔点为，固态氧的熔点为，固态氮的熔点为，固态酒精的熔点为， ∵， ∴熔点最高的是固态酒精． 故选：D． 【变式6-1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）某工厂生产雨伞，每天标准生产量为200把，但由于各种原因，实际每天生产的量与标准产量相比有所不同，下表是这周的实际生产情况（超过每日标准产量的记作正数，不足每日标准产量的记作负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 8 12 14 7 (1)表中的表示什么？ (2)哪一天生产的雨伞数量最多？哪一天生产的雨伞数量最少？ (3)这周雨伞的总生产量是多少？ 【答案】(1)表示比每日标准产量少生产5把雨伞 (2)星期六生产的雨伞数量最多，星期四生产的雨伞数量最少 (3)这周雨伞的总生产量是1414把 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正负数的实际应用： （1）根据正负数的意义，进行作答即可； （2）比较表格中数值的大小，作答即可； （3）标准产量乘以天数，再加上表格中的数据之和，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示比每日标准产量少生产5把雨伞； （2）由表格可知，星期六生产的雨伞数量最多，星期四生产的雨伞数量最少； （3）（把）； 答：这周雨伞的总生产量是1414把． 【变式6-2】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）【新情境生产生活】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5为标准，超过的记为“”，不足的记为“－”．七年级六个班的废纸收集情况如下表所示．统计员小虎不小心将六班的数据弄丢了，但他记得三班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4． 班级 一 二 三 四 五 六 质量/kg 0 (1)计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)将本次活动七年级六个班收集的废纸集中卖出，其中有3的硬纸板是元，其余废纸均是元，求卖废纸的总钱数． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据，得到，不符合题意，判断七年级六班同学收集废纸的质量最多，解答即可． （2）先计算总质量：，分类计算求和即可． 【详解】（1）解：根据，得到，不符合题意，故六班收集废纸的质量最多，超出标准质量． 故七年级六班收集废纸的质量为． （2）解：收集的废纸的总质量为：． 故卖废纸的总钱数为（元）． 【变式6-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）某海鲜超市每天要到小龙虾养殖基地购进小龙虾，下表是该海鲜超市记录的本周小龙虾购进单价变化情况（正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 单价变化/元 已知小龙虾上周末的进价为每千克元，这周四的进价为每千克元． (1)请你求出表中星期四的单价变化值； (2)这周购进小龙虾的最高价是每千克多少元？最低价是每千克多少元？ (3)若该海鲜超市本周五将购进的小龙虾以每千克25元全部售出，那么该海鲜超市在本周五的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)这周购进小龙虾的最高价是每千克25元；最低价是每千克21元； (3)该海鲜超市在本周星期五的收益情况是盈利元. 【分析】本题考查正负数的意义和有理数的混合运算的应用． （1）通过题意和图中的表格，可以计算出每天小龙虾的进价，即可求出星期四的单价变化值 （2）根据（1）的结论，将进价从小到大排列，即可求解； （3）算出周五购进的小龙虾的价格，根据题意列出关系式即可算出最终收益情况． 【详解】（1）由题意可知：星期一的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期二的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期三的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期四的小龙虾每千克进价为：元； 所以星期四的单价变化值为； 星期五的小龙虾每千克进价为：（元）； 星期六的小龙虾每千克进价为：(元)； 星期日的小龙虾每千克进价为：(元)， 故答案为：． （2）由（1）可知： ，这周购进小龙虾的最高价是每千克25元；最低价是每千克21元； （3）由（1）可知：星期五的小龙虾每千克进价为21元， （元） 答：该海鲜超市在本周星期五的收益情况是盈利元. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 数轴（举一反三讲义） 【苏科版2024】 【题型1 识别数轴】 2 【题型2 用数轴上的点表示有理数】 3 【题型3 数轴上的整点问题】 3 【题型4 数轴上点的平移】 4 【题型5 有理数比较大小】 4 【题型6 有理数大小比较的实际应用】 5 知识点1 数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴，它满足以下条件： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，；从原点向左，用类似的方法依次表示1，2，3，． 知识点2 数轴上的点与有理数之间的关系 1. 每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说，每个有理数都对应数轴上的一点． 2. 一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度． 知识点3 有理数的大小比较 1. 利用数轴比较大小：在数轴上表示的两个数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数． 2. 利用有理数的分类比较大小：正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 3. 相对于有理数a、b，以下三种关系且只有一种成立： ，， 4. 有理数大小关系的传递性： 对于有理数a，b，c， 如果，且，那么； 如果，且，那么． 5. （拓展）作差法:若两数分别为a，b，，则；若，则；若，则． 【题型1 识别数轴】 【例1】（24-25七年级上·云南文山·阶段练习）下列图形中是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】关于数轴下列说法最准确的是(     ) A．一条直线 B．有原点、正方向的一条直线 C．有单位长度的一条直线 D．规定了原点、正方向和单位长度的直线 【变式1-2】下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴 ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数 ③有理数数轴上无法表示出来 ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④ 【变式1-3】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．请选择适当的单位长度画出数轴，并在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置． 【题型2 用数轴上的点表示有理数】 【例2】（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【变式2-1】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）如图，点A在数轴上所表示的数是 ． 【变式2-2】如图，图中1格代表，点A在处，点B在点A右侧处，则点B表示数为（    ） A．5 B．3 C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，小明同学借助刻度尺画了一条数轴，其中原点落在示数7的刻度线上，表示数字1的点落在示数9的刻度线上，则这条数轴上表示数字的点对应刻度尺的示数为 ． 【题型3 数轴上的整点问题】 【例3】（24-25七年级上·河南南阳·期中）小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式3-1】如图，数轴上被遮挡的整数是（    ） A． B． C． D．3 【变式3-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【变式3-3】若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【题型4 数轴上点的平移】 【例4】（24-25七年级上·全国·期末）在数学超市课上，李老师出了这样一道题：点是数轴上一点，一只蚂蚁从点出发爬了个单位长度到了表示的数的点，则点所表示的数是 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把数轴上表示数2的点向右移动3个单位后，表示的数为（   ） A．5 B．1 C．5或 D．都不正确 【变式4-2】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25六年级上·山东济宁·期中）若数轴上的点距离原点个单位长度，若一个点从点出发向右移动个单位长度，此时终点所表示的数是 ． 【题型5 有理数比较大小】 【例5】（2025九年级下·河南安阳·学业考试）如图，数轴上点P所表示的数可能为（   ） A． B． C．0 D． 【变式5-1】（2025·海南儋州·模拟预测）下列四个数，，，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D．2 【变式5-2】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上表示数：，，，，其中最接近0的数是 ． 【变式5-3】（24-25七年级上·河南濮阳·期末）给出下列9个有理数，按下列要求解答： 3，，0，，0.45，，，， (1)把上面的9个数用“”排列起来； (2)把数3，0，，，表示在数轴上． 【题型6 有理数大小比较的实际应用】 【例6】（2025·江西·中考真题）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如下表所示，则熔点最高的是（   ） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：） A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【变式6-1】（24-25七年级上·广西南宁·期中）某工厂生产雨伞，每天标准生产量为200把，但由于各种原因，实际每天生产的量与标准产量相比有所不同，下表是这周的实际生产情况（超过每日标准产量的记作正数，不足每日标准产量的记作负数）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 生产情况 8 12 14 7 (1)表中的表示什么？ (2)哪一天生产的雨伞数量最多？哪一天生产的雨伞数量最少？ (3)这周雨伞的总生产量是多少？ 【变式6-2】（24-25七年级上·河北邯郸·期中）【新情境生产生活】某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5为标准，超过的记为“”，不足的记为“－”．七年级六个班的废纸收集情况如下表所示．统计员小虎不小心将六班的数据弄丢了，但他记得三班收集的废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4． 班级 一 二 三 四 五 六 质量/kg 0 (1)计算七年级六班同学收集废纸的质量； (2)将本次活动七年级六个班收集的废纸集中卖出，其中有3的硬纸板是元，其余废纸均是元，求卖废纸的总钱数． 【变式6-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）某海鲜超市每天要到小龙虾养殖基地购进小龙虾，下表是该海鲜超市记录的本周小龙虾购进单价变化情况（正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下降）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 单价变化/元 已知小龙虾上周末的进价为每千克元，这周四的进价为每千克元． (1)请你求出表中星期四的单价变化值； (2)这周购进小龙虾的最高价是每千克多少元？最低价是每千克多少元？ (3)若该海鲜超市本周五将购进的小龙虾以每千克25元全部售出，那么该海鲜超市在本周五的收益情况如何？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$