精品解析：上海市浦东新区2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题

2024学年第二学期高二数学期末质量检测 2025.6 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设首项为1，公差是3的等差数列为， 则， 故. 故答案为： 2. 空间四边形，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量加法、减法运算的三角形法则求解即可 【详解】由平面向量加法、减法运算的三角形法则可知： . 故答案为： 3. 函数的导数______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数；再将代入即可求解. 【详解】由可得. 则. 故答案为：. 4. 函数的驻点为______． 【答案】 【解析】 【分析】对求导得，再利用驻点的定义，即可求解. 【详解】因为，则，令，即， 解得， 故答案为：. 5. 已知等差数列满足，且，则首项______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式计算基本量即可. 【详解】由已知数列为等差数列， 所以， 解得， 故答案为：. 6. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出和即可 【详解】因为，所以， 所以 所以曲线在处的切线方程为： 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是导数的几何意义，较简单. 7. 已知公比大于的等比数列满足，则的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式列出方程组，解出即可. 【详解】由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为， 依题意有， 解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. 故答案为：. 8. 函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解出，然后根据条件得到有两个不等实根，由此结合求解出的取值范围. 【详解】∵，由条件知需有两个不等实根， ∴，∴，即， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据既有单调递增区间，也有单调递减区间分析出有两个不等实根，本例除了通过可以通过正面思考解决问题，还可以通过反面去求解：仅有单调递增区间或单调递减区间，求解出的范围求其补集亦可. 9. 已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为______. 【答案】210 【解析】 【分析】由等比数列的前项和性质可得，成等比数列，根据等比中项的性质即可求解. 【详解】根据题意，记等比数列的前项和为，则成等比数列，所以 故答案为210 【点睛】本题主要考查等比数列前项和性质及等比中项，考查方程思想，属于基础题. 10. 设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示， 故答案： 11. 已知是等比数列，其中，，则（）的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的定义可以判断数列是等比数列，利用等比数列的通项公式求出数列的公比，再利用等比数列前n项和公式化简所求的代数式，结合指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由是等比数列，设公比为， 因为， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列. 又因为，， 当时， 当 时， （）的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和知识，属于中档题目. 12. 设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数与方程的思想，将函数有且只有一个零点问题，转化成直线与函数的图象有且仅有一个交点问题，通过求导判断函数的单调性和极值，作出函数的图象，数形结合即可求得参数的范围. 【详解】由可得， 依题意，直线与函数的图象有且仅有一个交点. 因，由可得或，由可得， 即函数在上单调递增；在上单调递减， 故函数在时取得极大值，即； 当时取得极小值，即， 且当时，，当时，，如图所示. 由图可得，要使直线与函数的图象有且仅有一个交点， 需使或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ） A. 曲线在点处切线斜率 B. 曲线在点处切线的斜率 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 割线的斜率 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 14. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题，可得平面，后由平面，可得答案. 【详解】由，，可知. 又平面，平面，，则平面. 因，平面，则平面. 故，即是直角三角形. 故选：C 15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B 【解析】 【详解】设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2的等比数列， ∴S7==381， 解得a1=3． 故选B． 16. 有两个命题： ①已知数列是等比数列，正整数满足，则； ②如果是平面上的互不平行的向量，点不在平面上，那么向量与向量不共面． 则下面判断正确的为（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算可判断①，根据空间向量共面可判断②. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，即， 因为为正整数， 所以，， 若，则成立，故①正确； 因为是平面上的互不平行的向量，所以可以作为平面内的一组基底， 点不在平面上，但直线可以平行平面，则向量与向量共面.故②错误. 故选：A 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 注：其它解法相应得分 17. 已知函数．求函数的单调区间和极值． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性的关系，求导，研究导数与零的大小关系，结合极值的定义，可得答案. 【详解】由函数，求导可得， 令得或，令得， 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为， 故函数的极大值为，极小值为. 18. 已知为等差数列． （1）若，求的值． （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列求和公式及等差数列的性质直接可得解； （2）根据等差数列的性质及等差数列通项公式直接计算即可. 【小问1详解】 由已知数列为等差数列， 则， 解得； 【小问2详解】 由已知， 则， 又， 解得，， 所以. 19. 给定点与点． （1）求在上的投影向量； （2）判断四点是否共面？ 【答案】（1） （2）四点不共面，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由关系式求解即可； （2）判断是否存在唯一实数，使成立即可； 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 20. 已知为实数， （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若在和上都是递增的，求的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再求出在上的单调性，即可求解； （2）根据条件有，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又，则，解得， 所以，， 令，得到或， 当时，，当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，， 所以在上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 因为，易知的图象过点，且开口向上， 又在和上都是递增的， 则需满足，即，解得. 21. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合等比、等差数列通项列出方程组求解作答； （2）利用错位相减法求和. 小问1详解】 依题有， 因为，解得：，，. 数列是等差数列，设其公差为，， 解得：，. 【小问2详解】 数列的前项和记为，则， 因为， 所以， ， 两式相减有 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高二数学期末质量检测 2025.6 注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚． 2．本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1. 等差数列首项为1，公差是3，则第5项等于_____________． 2. 空间四边形，则______． 3. 函数的导数______． 4. 函数的驻点为______． 5. 已知等差数列满足，且，则首项______． 6. 已知函数，则曲线在处的切线方程为______. 7. 已知公比大于的等比数列满足，则的通项公式为______. 8. 函数既有单调递增区间，又有单调递减区间，则的取值范围是________． 9. 已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则这个数列的前15项和为______. 10. 设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 11. 已知是等比数列，其中，，则（）的取值范围是______. 12. 设函数，若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分． 13. 根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ） A. 曲线在点处切线斜率 B. 曲线在点处切线的斜率 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 割线的斜率 14. 设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，，，点M为BC的中点，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 不能确定 15. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 16. 有两个命题： ①已知数列是等比数列，正整数满足，则； ②如果是平面上互不平行的向量，点不在平面上，那么向量与向量不共面． 则下面判断正确的为（ ） A. ①对②错 B. ①错②对 C. ①②都对 D. ①②都错 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 注：其它解法相应得分 17. 已知函数．求函数的单调区间和极值． 18. 已知等差数列． （1）若，求的值． （2）若，，求． 19. 给定点与点． （1）求在上的投影向量； （2）判断四点否共面？ 20. 已知为实数， （1）若，求在上的最大值和最小值； （2）若在和上都是递增，求的取值范围． 21. 已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，. （1）求数列，的通项公式； （2），求数列的前n项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$