暑假作业06 正方形的性质与判定（2个知识点+6个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 正方形的性质与判定 【知识点1 正方形的定义及性质】 1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可. （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示. （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半. （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质. 【知识点2 正方形的判定】 1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形. 【注意】 由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 正方形的性质】 1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在BD，AB上，连结CE，EF，当CE＝EF，∠AFE＝2∠ECD时，CE的长（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED，EC，则∠DEC的度数为（　　） A．120° B．150° C．108° D．135° 3．如图，E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE、DE．若BE⊥DE，AE＝1，，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 5．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 6．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A．7 B．3 C．8 D．3 7．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且CE＝DF．连接BE，CF，CF交对角线BD于G，连接AG．若∠EBC＝α，则∠AGF＝（　　） A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．45°﹣α 8．如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM＝PC，则AM的长为 　 　 ． 9．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝　 　 ． 【题型2 正方形的判定】 10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分 C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD D．AC＝BD且AB＝AD 11．学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（　　） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁 12．如图，已知▱ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形． ①AB＝BC； ②AC⊥BD； ③∠ABC＝90°； ④AC＝BD． 下列四种选法错误的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 13．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件： ①AB＝AD； ②∠DAB＝90°； ③AO＝CO，BO＝DO； ④四边形ABCD为矩形； ⑤四边形ABCD为菱形； ⑥四边形ABCD为正方形．则下列推理不成立的是（　　） A．由①④得⑥ B．由①③得⑤ C．由①②得⑥ D．由②③得④ 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　 　 形； ②当△ABC满足条件 　 　 时，四边形AFBD是正方形． 15．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）说明EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下△ABC满足 　 　 ，四边形AECF是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【题型3 正方形中多结论问题】 16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则；其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，有以下结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为；其中正确结论的序号为（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在AB，CD边上，四边形A′D′FE与ADFE关于直线EF对称，且点D′在BC边上，A′D′交AB于点G，连接DD′，DG，下列结论：①DD′＝EF；②∠A′EG＝∠CFD′；③∠AGD+∠CD′D＝135°；④AG+CD′＝GD′． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【题型4 正方形中的动点问题】 21．如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），连结CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连结BG，DE．当点F运动时，下列比值不变的是（　　） A． B． C． D． 22．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为 　 ． 23．如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与边AD端点A、D重合），点F为点A关于BE的对称点，BE与CF的延长线相交于点G．若正方形ABCD的边长为13，CF＝10，则FG＝ 　 　 ． 【题型5 正方形中求最值问题】 24．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为BC边上一点，CE＝4．F为对角线BD上一动点（不与点B、D重合），过点F分别作FM⊥BC于点M、FN⊥CD于点N，连接EF、MN，则EF+MN的最小值为（　　） A． B．4 C．6 D． 25．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（　　） A．4 B． C． D．2 26．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在CD上且CE＝1，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连结BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 27．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OMFG的最小值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【题型6 正方形的性质综合题】 28．如图1所示，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交CD于点F，过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G． （1）请问CF和CG有何数量关系，并说明理由； （2）如图2所示，在（1）的条件下，以CF和CG为边向右作矩形CFHG，连接AH交DG于点M，求∠AMD的度数． 29．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，过点B作BG⊥BE且使BG＝BE，连接CG交AE的延长线于点F． （1）填空：△ABE 　 　 △CBG（填“全等”或“不全等”）； （2）判断四边形BGFE的形状，并说明理由； （3）若DA＝DE，请猜想线段CF与FG的数量关系，并加以证明． 30．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．则BE与DE之间的数量关系是 　 　 ． 问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG． （1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由． （2）连结CF，若AB＝3，PC，则CF的长为 　 ． 31．如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、AD、BC上，DE与MN相交于点O，记∠MOD＝α． （1）如图1，若∠MOD＝90°，求证：DE＝MN； （2）如图2，若∠MOD＝45°，边长AB＝4，MN，求线段DE的长． 32．四边形ABCD为正方形，点P在直线BC上，连接AP，过点A作AP的垂线交直线CD于点Q． （1）如图1，点P在CB的延长线上，求证：CP＝AB+DQ； （2）如图2，点P在BC上，直接写出CP，AB，DQ之间的数量关系；连接AC，若，直接写出四边形PCQA的面积．（不需要写具体过程） 33．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，则图中的“等垂四边形”是 　 　 ； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝10，则边AB长的最小值为 　 　 ． 34．我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，这些四边形中是“宁美四边形”的有 　 　 （填序号）； （2）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG．求证：四边形ABEG是“宁美四边形”． 35．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　 　 ； ②当菱形的“接近度”＝　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 正方形的性质与判定 【知识点1 正方形的定义及性质】 1.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角.这三个条件缺一不可. （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形.即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形. 2.正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质. 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示. （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半. （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质. 【知识点2 正方形的判定】 1.先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形. 2.先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形. 【注意】 由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 正方形的性质】 1．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E，F分别在BD，AB上，连结CE，EF，当CE＝EF，∠AFE＝2∠ECD时，CE的长（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AE，过点E作EM⊥AD于点M，先证△ADE≌△CDE，得出AE＝CE，∠ECD＝∠EAD，结合CE＝EF得出AE＝EF，于是得出∠AFE＝∠FAE，即可求出∠EAD＝30°，设EM＝a，则AE＝2a，根据勾股定理求出AM的长，再求出DM的长，根据AD＝1即可求出a的值，从而求出CE的长． 【解答】解：如图，连接AE，过点E作EM⊥AD于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，∠BAD＝90°， 又∵DE＝DE， ∴△ADE≌△CDE（SAS）， ∴AE＝CE，∠ECD＝∠EAD， ∵CE＝EF， ∴AE＝EF， ∴∠AFE＝∠FAE， ∵∠AFE＝2∠ECD， ∴∠FAE＝2∠ECD＝2∠EAD， ∵∠FAE+∠EAD＝∠BAD＝90°， ∴2∠EAD+∠EAD＝90°， ∴∠EAD＝30°， 设EM＝a， 则AE＝2a， 在Rt△AME中，由勾股定理得，AM， 在Rt△AME中，∠ADB＝45°， ∴△DME是等腰直角三角形， ∴MD＝EM＝a， ∵AD＝1， ∴， 解得a， ∴AE＝2a， ∴CE＝AE， 故选：B． 2．如图，已知点E为正方形ABCD内一点，△ABE为等边三角形，连结ED，EC，则∠DEC的度数为（　　） A．120° B．150° C．108° D．135° 【分析】由正方形的性质得出AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，由等边三角形的性质得出AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠BEA＝∠BAE＝60°，从而得出BC＝BE，AD＝AE，∠CBE＝∠DAE＝30°，再分别求出∠BEC、∠AED的度数，即可求出∠DEC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵△ABE为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE，∠ABE＝∠BEA＝∠BAE＝60°， ∴BC＝BE，AD＝AE，∠CBE＝∠DAE＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BEC＝∠BCE75°， 同理∠AED＝75°， ∴∠DEC＝360°﹣∠BEC﹣∠BEA﹣∠AED＝360°﹣75°﹣60°﹣75°＝150°， 故选：B． 3．如图，E是正方形ABCD外一点，连接AE、BE、DE．若BE⊥DE，AE＝1，，则DE的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AP⊥AE交DE于点P，设AB，DE交于点F，证明△ABE≌△ADP，可得AP＝AE＝1，，即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AP⊥AE交DE于点P，设AB，DE交于点F， 在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴∠BAD＝∠EAP＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP， ∵BE⊥DE， ∴∠BAD＝∠BED＝90°， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠ABE＝∠ADP， 在△ABE和△ADP中， ∵∠ABE＝∠ADP，AD＝AB，∠BAE＝∠DAP， ∴△ABE≌△ADP（ASA）， ∴AP＝AE＝1，， ∴△APE是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：D． 4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） A．2.5 B． C． D．2 【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC，CF＝3，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长． 【解答】解：连接AC、CF，如图， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，ACBC，CFCE＝3， ∴∠ACF＝45°+45°＝90°， 在Rt△ACF中，AF2， ∵H是AF的中点， ∴CHAF． 故选：B． 5．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【分析】证明△AOE≌△BOF（ASA），得出△AOE的面积＝△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积正方形ABCD的面积22＝1即可． 【解答】解：∵四边形ABD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， 在△AOE和△BOF中，， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积正方形ABCD的面积22＝1； 故选：C． 6．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点EF分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为（　　） A．7 B．3 C．8 D．3 【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故选：D． 7．如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且CE＝DF．连接BE，CF，CF交对角线BD于G，连接AG．若∠EBC＝α，则∠AGF＝（　　） A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．45°﹣α 【分析】根据正方形的性质得出AD＝CD，进而利用SAS证明△ADG与△DCG全等，进而利用全等三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠BCE＝90°，∠ADB＝∠BDC＝∠ABD＝∠CBD＝45°， 在△BCE与△CDF中， ， ∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠EBC＝∠FCD＝α， 在△ADG与△CDG中， ， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠DAG＝∠DCG＝α， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC， ∴∠DFG＝∠BCF＝90°﹣α， ∴∠FGD＝180°﹣∠FDG﹣∠DFG＝180°﹣45°﹣（90°﹣α）＝45°+α， ∴∠AGF＝180°﹣∠FGD﹣∠DAG﹣∠ADG＝180°﹣（45°+α）﹣α﹣45°＝90°﹣2α， 故选：C． 8．如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM＝PC，则AM的长为 　 　 ． 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出△ABM≌△CBM，根据全等三角形的性质可得∠BAM＝∠BCM，继而得到∠DAM＝∠DCM，再根据等腰三角形的性质可得∠PMC＝∠DCM，从而可得∠DAP＝30°，然后利用勾股定理、含30°角的直角三角形的性质求解即可得． 【解答】解：∵边长为6的正方形ABCD， ∴BA＝BC，∠ABM＝∠CBM，∠DAB＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵， ∴△ABM≌△CBM（SAS）， ∴∠BAM＝∠BCM， ∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠BCM， ∴∠DAM＝∠DCM， ∵PM＝PC， ∴∠PMC＝∠DCM， ∴∠APD＝∠PMC+∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM， ∴∠APD+DAM＝3∠DAM＝90°， ∴∠DAP＝30°， ∴AP＝2DP， ∵AP2＝DP2+AD2 ∴（2DP）2＝DP2+62， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，连接AE，CE，若∠BCE＝70°，则∠EAD＝　 　 ． 【分析】先根据SAS证出△AED≌△CED，可得∠EAD＝∠ECD，根据正方形的对角线性质以及∠BCE＝70°可求∠BEC的度数，再根据三角形外角与内角的关系可求∠ECD的度数，最终可求出∠EAD的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD， ∵DE＝DE， ∴△AED≌△CED（SAS）， ∴∠EAD＝∠ECD， 又∵∠BCE＝70°， 方法1：∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BCE＝20°． 方法2：∴∠BEC＝65°， ∵∠BEC＝∠CDE+∠ECD， 即65°＝45°+∠ECD， ∴∠ECD＝20°， ∴∠EAD＝20°． 故答案为：20°． 【题型2 正方形的判定】 10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分 C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD D．AC＝BD且AB＝AD 【分析】根据正方形的判定判断即可． 【解答】解：A、AB＝AD且AC⊥BD，是菱形，不符合题意； B、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意； C、∠BAD＝∠ABC且AC＝BD不能判断四边形ABCD是正方形，不符合题意； D、AC＝BD且AB＝AD四边相等，是正方形，符合题意； 故选：D． 11．学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（　　） A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丙、丁 D．甲、乙、丁 【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故选项说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故选项说法正确； 丙同学说：判定四边形的对角线相等，并且互相垂直平分；故选项说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故选项说法正确； 故选：D． 12．如图，已知▱ABCD，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形． ①AB＝BC； ②AC⊥BD； ③∠ABC＝90°； ④AC＝BD． 下列四种选法错误的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【分析】利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②AC⊥BD时，菱形ABCD不是正方形，故此选项符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， 当②AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当④AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项不符合题意． 故选：A． 13．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件： ①AB＝AD； ②∠DAB＝90°； ③AO＝CO，BO＝DO； ④四边形ABCD为矩形； ⑤四边形ABCD为菱形； ⑥四边形ABCD为正方形．则下列推理不成立的是（　　） A．由①④得⑥ B．由①③得⑤ C．由①②得⑥ D．由②③得④ 【分析】根据正方形的判定，矩形和菱形的判定方法，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD为矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD为正方形，故不符合题意； B．∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，故不符合题意； C．∵AB＝AD，∠DAB＝90°，无法证明四边形ABCD是正方形，故符合题意； D．∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD为矩形，不符合题意； 故选：C． 14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF． （1）求证：四边形AFBD是平行四边形； （2）填空：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是 　 　 形； ②当△ABC满足条件 　 　 时，四边形AFBD是正方形． 【分析】（1）由AF∥BC，得到两对内错角相等，再由E为中点，得到AE＝DE，利用AAS得到△AFE与△CDE全等，利用全等三角形对应边相等得到AF＝CD，再由BD＝CD，等量代换得到AF＝BD，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由∠BAC＝90°，AD为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD＝BD由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证； ②添加条件为∠BAC＝90°，AB＝AC，由∠BAC＝90°，根据①得到四边形AFBD为菱形，再由AB＝AC，利用等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【解答】（1）证明：∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； （2）解：①当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由为： ∵E为AD的中点，D为BC中点， ∴AE＝DE，BD＝CD， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE， 在△AFE和△DCE中， ， ∴△AFE≌△DCE（AAS）， ∴AF＝CD， ∴AF＝BD， ∵AF∥BD ∴四边形AFBD为平行四边形； ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴ ∵四边形AFBD为平行四边形，AD＝BD； ∴四边形AFBD为菱形； 故答案为：菱形； ②当△ABC满足条件∠BAC＝90°，AB＝AC时，四边形AFBD是正方形，理由为： 由①知当△ABC满足条件∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形， ∵AB＝AC，D为BC中点， ∴AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°， ∵四边形AFBD是菱形，∠ADB＝90° ∴四边形AFBD为正方形． 故答案为：∠BAC＝90°，AB＝AC． 15．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）说明EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下△ABC满足 　 　 ，四边形AECF是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF，根据平行线MN∥BC得到∠BCE＝∠OEC，∠DCF＝∠OFC，从而利用等腰三角形说明EO＝OC＝FO，从而得到结论； （2）当O为中点时CO＝AO，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据∠ECF＝90°得出矩形； （3）当∠ACB＝90°时，可得EC＝FC，邻边相等的矩形是正方形． 【解答】解：（1）∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF， ∵MN∥BC， ∴∠BCE＝∠OEC，∠DCF＝∠OFC， ∴∠ACE＝∠OEC，∠ACF＝∠OFC， ∴△OCE，△OCF，都为等腰三角形， ∴EO＝OC＝FO． （2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形． 如图所示， ∵CO＝AO，EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF，∠BCE+∠ACE+∠DCF+∠ACF＝180°， ∴2∠ACE+2∠ACF＝180°， ∴∠ACE+∠ACF＝90°，即∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． （3）在（2）前提下，当△ABC的∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．如图所示， ∵∠ACB＝90°，MN∥BC，CE平分∠BCA，CF平分∠ACD， ∴MN⊥OC，∠ECO＝∠FCO＝45°， ∴△ECO≌△FCO， ∴EC＝FC， ∴四边形AECF是正方形． 故答案为：∠ACB＝90°． 【题型3 正方形中多结论问题】 16．如图，在正方形ABCD中，F在AB上，E在BC的延长线上，AF＝CE，连接DF、DE、EF，EF交对角线BD于点N，M为EF的中点，连接MC，下列结论：①△DEF为等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直线MC是BD的垂直平分线；④若BF＝2，则；其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，然后利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应角相等可得DE＝DF，∠ADF＝∠CDE，然后求出∠EDF＝∠ADC＝90°，判断出△DEF是等腰直角三角形，判断出①正确；由△DEF是等腰直角三角形和正方形的性质可得∠NBE＝∠DFE＝45°，利用三角形内角和为180°即可判断②正确；连接BM、DM．根据直角三角形的性质可得．运用“SSS”证明△BCM≌△DCM，得∠BCM＝∠DCM；最后由正方形的性质推知MC垂直平分BD，故③成立；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，根据三角形中位线定理得到，求得，故④正确． 【解答】解：正方形ABCD中，AD＝CD， 在△ADF和△CDE中， ， ∴△ADF≌△CDE（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADF＝∠CDE， ∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°， ∴△DEF是等腰直角三角形，故①正确； ∴∠DFE＝45°， ∵正方形ABCD，BD为对角线， ∴∠NBE＝45°， ∵∠FDN+∠DFN+∠DNF＝∠BNE+∠NBE+∠NEB＝180°，∠NBE＝∠DFE＝45°，∠DNF＝∠BNE， ∴∠FDB＝∠FEB，故②正确； 连接BM、DM， ∵M是EF的中点，△BEF、△DEF是直角三角形， ∴， 又∵BC＝CD， ∴直线CM是BD的垂直平分线，故③正确； 过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°， ∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC， ∴MH是△BEF的中位线， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②③④． 故选：D． 17．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD；④△COF的面积是．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】连接DF交OE于点P，根据正方形的性质可求出OP、PE、DP，再根据“手拉手”模型证明△AOD≌△COF，即可判断各个选项的正误． 【解答】解：由题意得：∠COE＝90°，∠DOE＝45°， ∴∠COD＝45°，故①正确； ∵EF， ∴OE＝2， ∴AE＝5，故②正确； 连接DF交OE于点P， 由题意得：OP＝DP＝1， ∴AD， ∵∠AOC＝∠DOF， ∴∠AOD＝∠COF， ∵AO＝CO，DO＝FO， ∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴CF＝AD，故③错误； ∵△AOD≌△COF， ∴，故④正确； 故选：C． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与点A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，有以下结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为；其中正确结论的序号为（　　） A．②③④ B．①②③ C．①②③④ D．①③④ 【分析】①连接BE，易知四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H，由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG； ③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE； ④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为． 【解答】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴． ∴． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为， ∴④正确． 综上，正确的结论为：①②③④． 故选：C． 19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别在AB，CD边上，四边形A′D′FE与ADFE关于直线EF对称，且点D′在BC边上，A′D′交AB于点G，连接DD′，DG，下列结论：①DD′＝EF；②∠A′EG＝∠CFD′；③∠AGD+∠CD′D＝135°；④AG+CD′＝GD′． 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点E作EH⊥CD交CD于H，EF交DD′于O，则AEHD为矩形，可证明△EHF≌△DCD′（ASA），∠EFD＝∠CD′D，EF＝DD′，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长A′E交AD于M，EF与GD交于点N，连接MN，ND′，证明M，N，D′在同一直线上，过点D′作D′T⊥AD交AD与T，可知，TD′＝AD，∠MTD′＝∠A＝90°，证明Rt△AGD≌Rt△TMD′（HL），进而可证GD⊥MD′，则△DND′为等腰直角三角形，得∠GDD′＝45°，可知∠END＝135°＝∠AGD+∠GEF，再利用平行线的性质结合∠EFD＝∠CD′D，可得∠AGD+∠CD′D＝135°，可判断③正确；延长BA使得AQ＝CD′，可证△DAQ≌△DCD′（SAS），结合∠GDD′＝45°，可证△GDQ≌△GDD′（SAS），得GQ＝GD′，而GQ＝AG+AQ＝AG+CD′，进而可得AG+CD′＝GD′，可判断④正确；即可求解． 【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°， 过点E作EH⊥CD交CD于H，EF交DD′于O，则AEHD为矩形， ∴∠EHF＝∠DCD′＝90°，EH＝AD＝CD， 由轴对称可知，EF⊥DD′，则∠2+∠3＝∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， ∴△EHF≌△DCD′（ASA）， ∴∠EFD＝∠CD′D，EF＝DD′，故①正确； 由轴对称可知，∠A＝∠A'＝90°，∠A′D′F＝∠ADF＝90°， 则∠A′EG+∠4＝90°＝∠6+∠7＝∠7+∠CFD′＝∠5+∠6， ∴∠6＝∠CFD′， 又∵∠4＝∠5， ∴∠A′EG＝∠6＝∠CFD′，故②正确； 延长A′E交AD于M，EF与GD交于点N，连接MN，ND′， 由轴对称可知，AE＝AE′，∠A＝∠A'＝90°，∠AEN＝∠A′EN， 又∵∠AEM＝∠A′EG， ∴△AEM≌△A′EG（SAS）， ∴EG＝EM，∠AEM＝∠A′EG，则∠NEM＝∠NEG， 又∵EN＝EN， ∴△NEM≌△NEG（SAS）， ∴NM＝NG，∠ENM＝∠ENG，则∠ENM＝∠ENG＝∠DNF 由轴对称可知，点D与点D′关于EF对称，则∠DNF＝∠D′NF，ND＝ND′， ∴∠ENM＝∠ENG＝∠DNF＝∠D′NF 又∵∠GND′+∠DNF+∠D′NF＝180°， ∴∠GND′+∠ENM+∠ENG＝180°，即M，N，D′在同一直线上， 则GD＝MD′， 过点D′作D′T⊥AD交AD与T，可知，TD′＝AD，∠MTD′＝∠A＝90°， ∴Rt△AGD≌Rt△TMD′（HL）， ∴∠8＝∠9， 又∵∠9+∠10＝90°， ∴∠8+∠10＝90°， ∴GD⊥MD′，则△DND′为等腰直角三角形， ∴∠GDD′＝45°，则∠DNF＝45°， ∴∠END＝135°＝∠AGD+∠GEF， 又∵AB∥CD， ∴∠GEF＝∠EFD， 由上可知，∠EFD＝∠CD′D， ∴∠AGD+∠CD′D＝135°，故③正确； 延长BA使得AQ＝CD′， 又∵∠DAQ＝∠DCD′＝90°，AD＝CD， ∴△DAQ≌△DCD′（SAS）， ∴DQ＝DD′，∠ADQ＝∠CDD′， ∵∠ADD′+∠CDD′＝90°， ∴∠ADD′+∠ADQ＝∠QDD′＝90°， 由上可知，∠GDD′＝45°， ∴∠GDQ＝∠GDD′＝45°， 又∵DG＝DG， ∴△GDQ≌△GDD′（SAS）， ∴GQ＝GD′， 而GQ＝AG+AQ＝AG+CD′， ∴AG+CD′＝GD′，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 20．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】如图所述，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥DC于点N，设CD，EF交于点H，可证四边形CMEN是正方形，可得Rt△DEN≌Rt△FEM（AAS）即可判断结论①；根据结论①可证矩形DEFG是正方形，根据全等三角形的判定方法可判断结论②；根据正方形的性质可得∠DAC＝∠DCA＝45，由结论②可得∠DCG＝45°，由此可判断结论③；根据点E在AC上，当AC⊥DE时，可判断结论④；由此即可求解． 【解答】解：结论①DE＝EF， 如图所述，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥DC于点N，设CD，EF交于点H， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，EM⊥BC，EN⊥DC， ∴∠BCD＝∠CNE＝∠CME＝90°，∠ECN＝∠ECM＝45°， ∴四边形CMEN是矩形，且∠CEM＝45°，∠CEN＝45°， ∴△CEM，△CEN都是等腰直角三角形，即ME＝MC， ∴矩形CMEN是正方形， ∴EN＝EM， ∵四边形DEFG是矩形， ∴∠DEF＝90°，则∠EDH+∠EHD＝90°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠DCF＝90°，则∠CHF+∠CFH＝90°， ∵∠EHD＝∠CHF， ∴∠EDH＝∠HFC， 在Rt△DEN和Rt△FEM中， ， ∴Rt△DEN≌Rt△FEM（AAS）， ∴DE＝EF，故结论①正确； 结论②△DAE≌△DCG， 由结论①正确可知，DE＝EF，且四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形， ∴∠EDG＝90°，即∠EFN+∠CDG＝90°，且DG＝DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°，即∠ADE+∠EDN＝90°，且DC＝AD， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△DAE和△DCG中， ， ∴△DAE≌△DCG（SAS），故结论②正确； 结论③AC⊥CG， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°， 由结论②正确可知，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝45°+45°＝90°， ∴AC⊥CG，故结论③正确； 结论④CE＝CF， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，点E是AC上的点， ∴当DE⊥AC时，点F于点C重合， ∴CE与CF不一定相等，故结论④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：B． 【题型4 正方形中的动点问题】 21．如图，四边形ABCD是正方形，点F在边AD上运动（不与端点重合），连结CF，以CF为对角线作正方形CEFG，连结BG，DE．当点F运动时，下列比值不变的是（　　） A． B． C． D． 【分析】延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，根据正方形的性质及平行线的性质证明∠BCG＝∠DCE＝∠DFE，FH＝AD＝CD，进而可依据“SAS”判定△FHE和△CDE全等则HE＝DE，∠FEH＝∠CED，由此得∠DEH＝∠CEF＝90°，则△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理得AF＝DHDE，则，再证明△BCG和△DCE全等得BG＝DE，继而得，由此即可得出答案． 【解答】解：延长AD到H，使DH＝AF，连接EH，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD＝CB，AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠BCF＝∠DFC， ∵四边形CEFG是正方形， ∴FE＝CE＝CG，∠CEF＝∠GCE＝90°，∠GCF＝∠EFC＝45°， ∴∠BCF﹣∠GCF＝∠DFC﹣∠EFC， ∴∠BCG＝∠DFE， ∵∠BCD＝∠GCE＝90°， ∴∠BCG+∠GCD＝∠GCD+∠DCE， ∴∠BCG＝∠DCE， ∴∠DFE＝∠DCE， ∵DH＝AF， ∴DH+DF＝AF+DF， ∴FH＝AD＝CD， 在△FHE和△CDE中， ， ∴△FHE≌△CDE（SAS）， ∴HE＝DE，∠FEH＝∠CED， ∴∠FED+∠DEH＝∠FED+∠CEF， ∴∠DEH＝∠CEF＝90°， ∴△DEH是等腰直角三角形， 由勾股定理得：DHDE， ∴AFDE， ∴， 在△BCG和△DCE中， ， ∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE， ∴， ∴当点F运动时，AF/BG的值不变，始终等于． 故选：B． 22．如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为 　 ． 【分析】分两种情形：①如图1中，当FA＝FB时，由△DCE≌△EMF，推出FM＝BM，推出四边形BMNF是正方形即可解决问题．②如图2中，当BA＝BF时，根据CE＝BM＝FN即可解决问题． 【解答】解：①如图1中，当FA＝FB时，作FN⊥AB于N，FM⊥CB于M， ∵四边形ABCD、DEFG是正方形， ∴∠C＝∠DEF＝∠M＝∠ABC＝90°，DE＝EF，DC＝BC， ∵∠DEC+∠FEM＝90°，∠CDE+∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝∠FEM， 在△DCE和△EMF中， ， ∴△DCE≌△EMF， ∴FM＝CE，CD＝EM＝BC， ∴BM＝EC＝FM， ∴△BMF是等腰直角三角形， ∴∠FBM＝∠FBN＝45°， ∵∠FNB＝90°，FA＝FB， ∴AN＝BN＝NF， ∵∠M＝∠MBN＝∠BNF＝90°， ∴四边形BMFN是矩形， ∵NF＝NB， ∴四边形BMFN是正方形， ∴BM＝FN＝CE＝EB． ②如图2中，当BA＝BF时，由（1）可知，△BNF是等腰直角三角形，BF＝AB＝1， ∴BM＝CE＝FN， ∴EB＝BC﹣CE＝1． ③当AB＝AF时，点E与点B重合，不合题意． 故答案为或1． 23．如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与边AD端点A、D重合），点F为点A关于BE的对称点，BE与CF的延长线相交于点G．若正方形ABCD的边长为13，CF＝10，则FG＝ 　 　 ． 【分析】连接AG，AF交BG于点K，过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，设CG与AD交于点M，根据正方形的性质和轴对称性质求出∠GFA＝∠GAF＝45°，则△GAF是等腰直角三角形，由勾股定理得FGAF，设CH＝x，则BH＝BC﹣CH＝13﹣x，由勾股定理求出x，则BH，证明四边形FGBH是矩形得FG＝BH，设AK＝FK＝a，BK＝b，显然b＞a，则AF＝2a由三角形的面积公式得S△ABFAF•BKAB•FG，则2ab119，在Rt△ABK中，由勾股定理得b2+a2＝132＝169，由此解出，则AF＝2a，据此即可得出FG的长． 【解答】解：连接AG，AF交BG于点K，过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，设CG与AD交于点M，如图所示： 设∠DAF＝α，∠DAG＝β，则∠GAF＝α+β， ∵点F为点A关于BE的对称点， ∴BG是AF的垂直平分线， ∴AK＝FK，AG＝FG，AB＝FB，BG⊥AF，∠ABG＝∠FBG， ∴△GAF是等腰三角形， ∴∠GFA＝∠GAF＝α+β， 在△GAF中，∠AGF＝180°﹣（∠GFA+∠GAF）＝180°﹣2（α+β）， ∵四边形ABCD是正方形，且边长为13， ∴AB＝FB＝BC＝13，∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC， ∴∠BAK+∠DAF＝90°， ∵BG⊥AF， ∴BAK+∠ABG＝90°， ∴∠ABG＝∠FBG＝∠DAF＝α， ∴∠ABF＝2α， ∴∠CBF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣2α， ∵BF＝BC＝13， ∴∠BCF（180°﹣∠CBF）（180°﹣90°+2α）＝45°+α， ∵AD∥BC， ∴∠GMA＝∠BCF＝45°+α， 在△GAM中，∠AGF＝180°﹣（∠DAG+∠GMA）＝180°﹣（β+45°+α）＝135°﹣（α+β）， ∴180°﹣2（α+β）＝135°﹣（α+β）， ∴α+β＝45°， ∴∠GFA＝∠GAF＝α+β＝45°， ∴△GAF是等腰直角三角形， 由勾股定理得：AFFG， ∴FGF， 设CH＝x，则BH＝BC﹣CH＝13﹣x， ∵FH⊥BC， ∴△FCH和△FBH都是等腰直角三角形， 又∵CF＝10， ∴由勾股定理得：FH2＝CF2﹣CH2＝BF2﹣BH2， ∴102﹣x2＝132﹣（13﹣x）2， 解得：x， ∴BH＝13﹣x， ∵FG⊥AB，FH⊥BC， ∴∠FGB＝∠ABC＝∠FHB＝90°， ∴四边形FGBH是矩形， ∴FG＝BH， 设AK＝FK＝a，BK＝b，显然b＞a，则AF＝2a， 由三角形的面积公式得：S△ABFAF•BKAB•FG， ∴AF•BK＝AB•FG， ∴2ab119， 在Rt△ABK中，由勾股定理得：BK2+AK2＝AB2， ∴b2+a2＝132＝169， ∴b2+a2+2ab＝169+119＝288，b2+a2﹣2ab＝169﹣119＝50， ∴b+a①，b﹣a②， ①﹣②得：， ∴AF＝2a， ∴FGAF7． 故答案为：7． 【题型5 正方形中求最值问题】 24．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为BC边上一点，CE＝4．F为对角线BD上一动点（不与点B、D重合），过点F分别作FM⊥BC于点M、FN⊥CD于点N，连接EF、MN，则EF+MN的最小值为（　　） A． B．4 C．6 D． 【分析】由矩形的判定与性质得到FC＝NM，进而有EF+MN＝EF+FC，再由正方形性质得到FC＝FA，则EF+MN＝EF+FC＝AF+FE，由动点最值问题，结合两点之间线段最短即可得到，当A、F、E三点共线时AF+FE由最小值为线段AE，在Rt△ABE中，由勾股定理求解即可得到答案． 【解答】解：在正方形ABCD中，∠BCD＝90°， ∵过点F分别作FM⊥BC于点M、FN⊥CD于点N，连接EF、MN， ∴四边形FMCN是矩形，则FC＝NM， ∴EF+MN＝EF+FC， ∵CE＝4，C为定点，F为对角线BD上一动点（不与点B、D重合）， ∴由正方形性质，作点C关于BD的对称点，为A，连接AE，如图所示： ∴FC＝FA，则EF+MN＝EF+FC＝AF+FE， 由动点最值问题，结合两点之间线段最短即可得到，当A、F、E三点共线时AF+FE有最小值为线段AE， 在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝6，BE＝2，则由勾股定理可得， ∴EF+MN的最小值为， 故选：A． 25．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，M是CD的中点，连接GM，若正方形ABCD的边长为8，则GM的最小值为（　　） A．4 B． C． D．2 【分析】由SAS可证△ADE和△CDG全等得AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短，即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长，由∠DAC＝45°，MT⊥CK得△CMT为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得GH的最小值． 【解答】解：连接CG并延长与AD的延长线交于点K，过点M作MT⊥CK于T，如图所示： ∵四边形ABCD和四边形DEFG均为正方形， ∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝60°，∠EDG＝90°，∠DAC＝45°， ∴∠ADE+∠EDC＝90°，∠CDG+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAC＝∠DCG＝45°， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当MG⊥CK时，MG为最短， 即当点G与点T重合时，MG为最小，最小值为线段MT的长． ∵∠DAC＝45°，MT⊥CK， ∴△CMT为等腰直角三角形，即MT＝CT， ∵AB＝8，点M为CD的中点， ∴MC＝4， 由勾股定理得：MT2+CT2＝MC2， ∴2MT2＝16， ∴MT＝2． ∴GM的最小值为2， 故选：C． 26．如图，正方形ABCD的边长为3，点E在CD上且CE＝1，点F、P分别为线段BC、AD上的动点，连结BE，BP，FP，EF．若在点F、P的运动过程中始终满足PF⊥BE，则BP+EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，过点P作 PG⊥BC 与G，可证△PGF≌△BCE（ASA），得到PF＝BE，过点E作EM⊥BE，并使EM＝PF，连接PM、BM，则∠BEM＝90°，EM＝BE，可得四边形PFEM是平行四边形，得到PM＝EF，即得BP+EF＝BP+PM≥BM，可知当点B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长，利用勾股定理求出EM、BE，进而可得BM，即可求解． 【解答】解：如图，过点P作PG⊥BC与G，则∠PGB＝∠PGF＝90°，PG＝AB， ∴∠GPF+∠PFG＝90°， ∵PF⊥BE， ∴∠BOF＝90°， ∴∠OBF+∠BFO＝90°， ∴∠GPF＝∠OBF，即∠GPF＝∠CBE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠C＝90°， ∴PG＝BC，∠PGF＝∠C＝90°， ∴△PGF≌△BCE（ASA）， ∴PF＝BE， 过点E作EM⊥BE，并使EM＝PF，连接 PM、BM，则∠BEM＝90°，EM＝BE， ∵PF⊥BE，EM⊥BE， ∴PF∥ME， ∵EM＝PF， ∴四边形PFEM是平行四边形， ∴PM＝EF， ∴BP+EF＝BP+PM≥BM， ∴当点B、P、M三点共线时，BP+EF的值最小，最小值为BM的长， ∵CE＝1，BC＝3， ∴， ∴， ∴BP+EF的最小值为， 故选：B． 27．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE＝BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG＝2GB，则OMFG的最小值是（　　） A．4 B．5 C．8 D．10 【分析】先证明△ADE≌△BAF（SAS）得到∠ADE＝∠BAE，进而得到∠DOF＝90°，则由直角三角形的性质可得 ，如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBH（SAS），则FH＝FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时，有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出AH＝8，在Rt△ADH中，由勾股定理得，则的最小值为5． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝90°， 又∵AE＝BF， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∴∠DOF＝∠ADO+∠DAO＝∠BAF+∠DAO＝∠DAB＝90°， ∵点M是DF的中点， ∴， 如图所示，在AB延长线上截取BH＝BG，连接FH， ∵∠FBG＝∠FBH＝90°，FB＝FB，BG＝BH， ∴△FBG≌△FBH（SAS）， ∴FH＝FG， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时有最小值，最小值即为DH的长的一半， ∵AG＝2GB，AB＝6， ∴BH＝BG＝2， ∴AH＝8， 在Rt△ADH中，由勾股定理得． ∴的最小值为5， 故选：B． 【题型6 正方形的性质综合题】 28．如图1所示，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE交CD于点F，过点D作DG∥AE交BC的延长线于点G． （1）请问CF和CG有何数量关系，并说明理由； （2）如图2所示，在（1）的条件下，以CF和CG为边向右作矩形CFHG，连接AH交DG于点M，求∠AMD的度数． 【分析】（1）证明△BCF≌△DCG，即可得到CF＝CG； （2）连接EH，证明四边形ADGE是平行四边形，得到AE＝DG，AD＝EG，进而推出BE＝CG，从而可证四边形BEHF是平行四边形，得出BF＝EH，由△BCF≌△DCG得到BF＝DG，从而AE＝EH，即△AEH是等腰三角形，根据 EH∥BF，BF⊥AE，得到EH⊥AE，从而△AEH是等腰直角三角形，求得∠EAH＝∠EHA＝45°，再根据AE∥DG，即可得到∠AMD＝∠EAH＝45°． 【解答】解：（1）CF＝CG，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝DC，∠BCD＝∠DCG＝90°， ∴∠CDG+∠G＝90°， ∵AE⊥BF， ∴∠FBC+∠AEB＝90°， ∵AE∥DG， ∴∠G＝∠AEB， ∴∠FBC＝∠CDG， ∴△BCF≌△DCG（ASA）， ∴CF＝CG． （2）连接EH， 在正方形ABCD中，AD∥BC，即AD∥EG， 又∵AE∥DG， ∴四边形ADGE是平行四边形， ∴AE＝DG，AD＝EG， ∵在正方形ABCD中，AD＝BC， ∴BE＝BC﹣EC＝AD﹣EC＝EG﹣EC＝CG， ∵在矩形FCGH中，FH＝CG， ∴FH＝BE， ∵在矩形FCGH中，FH∥CG，即FH∥BE， ∴四边形BEHF是平行四边形， ∴BF＝EH， 由（1）得△BCF≌△DCG， ∴BF＝DG， ∴AE＝EH， ∴∠EAH＝∠EHA， ∵在▱BEHF中，EH∥BF， 又BF⊥AE， ∴EH⊥AE， ∴∠AEH＝90°， ∴∠EAH+∠EHA＝90°， ∴∠EAH＝∠EHA＝45°， ∵AE∥DG， ∴∠AMD＝∠EAH＝45°． 29．如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，过点B作BG⊥BE且使BG＝BE，连接CG交AE的延长线于点F． （1）填空：△ABE 　 　 △CBG（填“全等”或“不全等”）； （2）判断四边形BGFE的形状，并说明理由； （3）若DA＝DE，请猜想线段CF与FG的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据题意和正方形的性质可得出答案； （2）由（1）知△ABE≌△CBG得∠G＝∠AEB＝90°，进而可证四边形BGFE为矩形，又BG＝BE即可得到答案； （3）过点D作DH⊥AE，根据DA＝DE垂足为H，可得AHAE，根据正方形ABCD可得AD＝AB，∠DAB＝90°进而可证△AEB≌△DHA，再通过（1）和（2）的结论可证出解答． 【解答】解：（1）由题意得∠EBG＝90°，BG＝BE， 由正方形性质得AB＝BC，∠ABC＝90°， 又∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBG+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠CBG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（边角边）． 故答案为：全等． （2） 四边形BGFE是正方形． 理由如下：由（1）知：△ABE≌△CBE， ∴∠G＝∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°， ∵BE⊥BG， ∴∠EBG＝90°， ∴四边形BGFE为矩形， ∵BG＝BE， ∴四边形BGFE是正方形． （3）CF＝FG． 理由：过点D作DH⊥AE，垂足为H． 则∠DHA＝90°， ∴∠DAH+∠ADH＝90°， ∵DA＝DE， ∴AH＝AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAH+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠ADH， ∵∠AEB＝∠DHA＝90°， ∴△AEB≌△DHA（AAS）， ∴AH＝BE． 由（2）知：四边形BGFE是正方形， ∴BE＝GF， ∴GF＝BE＝AHAE， 由（1）知：△ABE≌△CBG， ∴AE＝CG， ∴FGCG， ∴CF＝FG． 30．问题引入：如图①，AB∥CD，AB＞CD，∠ABD＝90°，E是线段AC的中点．连结DE并延长交AB于点F，连结BE．则BE与DE之间的数量关系是 　 　 ． 问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在BC上，P是线段DF的中点，连结PC、PG． （1）判断PC与PG之间的数量关系，并说明理由． （2）连结CF，若AB＝3，PC，则CF的长为 　 ． 【分析】问题引入：利用ASA证明△AEF≌△CED，可得EF＝DE，进而可以解决问题； 问题延伸（1）延长GP交CD于点M，根据正方形的性质证明△DPM≌△FPG（ASA），可得PM＝PG，GF＝DM，根据PC为Rt△MCG斜边上的中线，进而可以解决问题； （2）根据正方形的性质设BG＝GF＝DM＝x，可得CM＝CG＝3﹣x，然后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】解：问题引入：BE＝DE，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AEF和△CED中， ， ∴△AEF≌△CED（ASA）， ∴EF＝DE， ∵∠ABD＝90°， ∴BE为Rt△BDF斜边上的中线， ∴EF＝DE＝BE， ∴BE＝DE； 故答案为：BE＝DE； 问题延伸：（1）PC＝PG，理由如下： 如图，延长GP交CD于点M， ∵四边形ABCD，BEFG为正方形， ∴CD∥AE∥GF，∠BCD＝90°， ∴∠CDP＝∠PFG， ∵P为DF的中点， ∴DP＝FP， 在△DPM和△FPG中， ， ∴△DPM≌△FPG（ASA）， ∴PM＝PG，GF＝DM， ∵PC为Rt△MCG斜边上的中线， ∴PC＝PG＝PM， ∴PC＝PG； （2）∵四边形ABCD、BEFG为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝3，BG＝GF＝DM，∠CGF＝90°， 设BG＝GF＝DM＝x， ∴CM＝CG＝3﹣x， ∵PC＝PG＝PM， ∴MG＝2， ∵MC2+CG2＝MG2， ∴（3﹣x）2+（3﹣x）2＝（2）2， ∴x＝1， ∴GF＝1，CG＝3﹣1＝2， ∴CF． 31．如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、AD、BC上，DE与MN相交于点O，记∠MOD＝α． （1）如图1，若∠MOD＝90°，求证：DE＝MN； （2）如图2，若∠MOD＝45°，边长AB＝4，MN，求线段DE的长． 【分析】（1）作AG∥MN，交DE于点F，交BC于点G，则四边形AGNM是平行四边形，所以AG＝MN，再证明△ADE≌△BAG，得DE＝AG，所以DE＝MN； （2）作DF∥MN，交BC于点F，则∠EDF＝∠MOD＝45°，推导出AD＝CD＝BC＝AB＝4，DF＝MN，则CF1，求得BF＝3，延长BC于点H，使CH＝AE，连接DH、EF，可证明△CDH≌△ADE，得DH＝DE，∠CDH＝∠ADE，再证明△HDF≌△EDF，得HF＝EF＝AE+1，于是得（4﹣AE）2+32＝（AE+1）2，求得AE，则DE． 【解答】（1）证明：如图1，作AG∥MN，交DE于点F，交BC于点G，则∠AFD＝∠MOD＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AM∥GN，DA＝AB，∠DAE＝∠B＝90°， ∴四边形AGNM是平行四边形，∠ADE＝∠BAG＝90°﹣∠DAG， ∴AG＝MN， 在△ADE和△BAG中， ， ∴△ADE≌△BAG（ASA）， ∴DE＝AG， ∴DE＝MN． （2）解：如图2，作DF∥MN，交BC于点F，则∠EDF＝∠MOD＝45°， ∵DM∥FN， ∴四边形DMNF是平行四边形， ∵AB＝4，MN， ∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，DF＝MN， ∵∠DCF＝90°， ∴CF1， ∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3， 延长BC于点H，使CH＝AE，连接DH、EF，则∠DCH＝∠A＝∠ADC＝90°， 在△CDH和△ADE中， ， ∴△CDH≌△ADE（SAS）， ∴DH＝DE，∠CDH＝∠ADE， ∴∠HDF＝∠CDH+∠CDF＝∠ADE+∠CDF＝∠ADC﹣∠EDF＝90°﹣45°＝45°， ∴∠HDF＝∠EDF， 在△HDF和△EDF中， ， ∴△HDF≌△EDF（SAS）， ∴HF＝EF， ∴HF＝CH+CF＝AE+1， ∴EF＝AE+1， ∵BE2+BF2＝EF2，且BE＝4﹣AE， ∴（4﹣AE）2+32＝（AE+1）2， 解得AE， ∴DE， ∴线段DE的长是． 32．四边形ABCD为正方形，点P在直线BC上，连接AP，过点A作AP的垂线交直线CD于点Q． （1）如图1，点P在CB的延长线上，求证：CP＝AB+DQ； （2）如图2，点P在BC上，直接写出CP，AB，DQ之间的数量关系；连接AC，若，直接写出四边形PCQA的面积．（不需要写具体过程） 【分析】（1）利用正方形的性质得∠ABP＝∠D，AB＝AD，∠PAB＝∠DAQ，证明△PAB≌△QAD，得PB＝DQ，根据PC＝PB+BC，等量代换即可的结论； （2）证明△PAB≌△QAD得PB＝QD，根据PC＝BC﹣PB，等量代换即可得CP＝AB﹣DQ，四边形PCQA的面积＝正方形ABCD的面积，然后根据正方形面积等于对角线乘积的一半，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∵∠ABP+∠ABC＝180°， ∴∠ABP＝90°， ∴∠ABP＝∠D， ∵AP⊥AQ， ∴∠PAQ＝90°， ∴∠PAB+∠BAQ＝90°， ∵∠DAQ+∠BAQ＝90°， ∴∠PAB＝∠DAQ， ∴△PAB≌△QAD（AAS）， ∴PB＝DQ， ∵PC＝PB+BC， ∴CP＝AB+DQ； （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∵∠ABP+∠ABC＝180°， ∴∠ABP＝90°， ∴∠ABP＝∠ADQ， ∵AP⊥AQ， ∴∠PAQ＝90， ∴∠PAD+∠DAQ＝90°， ∵∠PAD+∠PAB＝90°， ∴∠PAB＝∠QAD， ∴△PAB≌△QAD（AAS）， ∴PB＝QD， ∵PC＝BC﹣PB， ∴CP＝AB﹣DQ， ∴四边形PCQA的面积＝正方形ABCD的面积， ∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线，， ∴， ∴四边形PCQA的面积＝正方形ABCD的面积． 33．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，则图中的“等垂四边形”是 　 　 ； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝10，则边AB长的最小值为 　 　 ． 【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADG，可得BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，由余角的性质可证BE⊥DG，即可求解； （2）先证△PEF是等腰直角三角形，可得EFPFAB，由三角形的三边关系可求EF≥NF﹣NE＝3，即可求解． 【解答】解：（1）如图①，延长DG，BE交于点H， ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG， ∵∠ABD+∠ADB＝90°， ∴∠HBD+∠ADB+∠ADG＝90°， ∴∠BHD＝90°， ∴BE⊥DG， ∴四边形BEGD是“等垂四边形”， 故答案为：四边形BEGD； （2）延长BA，CD交于点N，连接AC，取AC的中点P，取AD的中点E，取BC的中点F，连接EF，PF，EP，NE，NF， ∵四边形ABCD是“等垂四边形”， ∴AB＝CD，BA⊥CD， ∴∠ABC+∠ACD＝90°， ∵点E是AD的中点，点P是AC的中点，点F是BC的中点， ∴EP∥CD，EPCD，FP∥AB，PFAB， ∴EP＝PF，∠PFC＝∠ABC，∠APE＝∠ACD， ∵∠EPF＝∠APE+∠APF＝∠ACF+∠PFC＝∠ABC+∠ACB+∠ACD＝90°， ∴△PEF是等腰直角三角形， ∴EFPFAB， ∴ABEF， ∵∠BNC＝90°，点E是AD的中点，点F是BC的中点， ∴NEAD＝2，NFBC＝5， ∴EF≥NF﹣NE＝3， ∴ABEF， ∴AB的最小值为3， 故答案为：3． 34．我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形；①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，这些四边形中是“宁美四边形”的有 　 　 （填序号）； （2）如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G，连接AG、EG．求证：四边形ABEG是“宁美四边形”． 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证△ABE≌△BCG，得AE＝BG，再由BG⊥AE，结合“宁美四边形”的定义即可得出结论； 【解答】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分， ∴①②③选项中的图形不是“宁美四边形”； ∵正方形的对角线互相垂直平分且相等， ∴④选项中的正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④； （2）证明：在正方形ABCD中，BG⊥AE于点H， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∠BAE+∠ABG＝90°， ∴∠ABG+∠CBG＝90°， ∴∠BAE＝∠CBG， 在△ABE和△BCG中， ， ∴△ABE≌△BCG（ASA）， ∴AE＝BG， 又∵BG⊥AE， ∴四边形ABEG是“宁美四边形”． 35．菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度”． （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°，n°，若我们将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为70°时，“接近度”＝　 　 ； ②当菱形的“接近度”＝　 时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①菱形的一个内角为60°时，“接近度”＝　　 ； ②在这种情况下，菱形的“接近度”＝　 　 时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ②乙：设矩形相邻两条边长分别为a，b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形． 　 　 ． 【分析】（1）①②根据菱形的“接近度”定义|m﹣n|，|m﹣n|越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为（m＜n），解答即可； （3）①不合理，举例进行说明； ②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形，进行说明． 【解答】解：（1）①∵内角为70°， ∴与它相邻内角的度数为110°． ∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40， 故答案为：40； ②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形， 故答案为：0； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为（m＜n），则： ①当菱形的一个内角为60°时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”＝1时，菱形就是正方形， 故答案为：1； （3）①×． 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等． ②×，理由如下： ∵越接近1，矩形越接近于正方形； ∴当1时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$