精品解析：暑假作业06 正方形的性质与判定（2个知识点+6个题型+创新题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 正方形的性质与判定 【知识点1 正方形的定义及性质】 1．正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角．这三个条件缺一不可． （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形．即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形． 2．正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质． 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示． （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半． （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质． 【知识点2 正方形的判定】 1．先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 2．先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形． 【注意】 由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 正方形的性质】 1. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．连接，过点作于点，先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理求出的长，再求出的长，根据即可求出的值，从而求出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得， ， ， 故选：B 2. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数． 【详解】四边形是正方形 ， 为等边三角形 ， ，， 同理 故选：B． 3. 如图，E是正方形外一点，连接．若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作交于点P，设交于点F，证明，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作交于点P，设交于点F， 在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：D 4. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5. 如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，再利用ASA证明△AOE≌△BOF，从而可得△AOE的面积＝△BOF的面积，进而可得四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积，问题即得解决． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∴∠AOE＝∠BOF， ∴△AOE≌△BOF（ASA）， ∴△AOE的面积＝△BOF的面积， ∴四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1； 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长． 【详解】∵阴影部分面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9＝6， ∴空白部分的面积为9−6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°， 可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠BCG＝90°， ∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab＝， 又∵a2＋b2＝32， ∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15， 即（a＋b）2＝15， ∴a＋b＝，即BG＋CG＝， ∴△BCG的周长＝​＋3， 故选D. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、完全平方公式的变形求值、以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 7. 如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键. 先证，得出，再证明，得出，再根据三角形外角的性质即可求解. 【详解】解：四边形是正方形， ，， 在和中 ， ， ， ， ， 是正方形的对角线， ， 在和中 ， ， ， ， ， 故选C. 8. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，继而得到，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后利用勾股定理、含角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】∵边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得∶， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先根据证出，可得，由及可求的度数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2 正方形的判定】 10. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴和互相平分， ∵， ∴四边形是菱形， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， 不能证明四边形是正方形，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查正方形的判定．熟练掌握正方形的判定方法：对角线相等的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，是解题的关键． 11. 学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定定理，熟记这些判定定理才能够正确做出判断． 根据正方形的判定方法进行解答即可．正方形的判定定理有：对角线相等的菱形；对角线互相垂直的矩形；对角线互相垂直平分且相等的四边形． 【详解】解：甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角，故说法正确； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等，故说法正确； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直，还需要对角线互相平分，故说法错误； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等，故说法正确； 故选：D． 12. 如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法错误的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、正方形的判定，根据菱形的判定、正方形的判定逐项分析即可得出答案，熟练掌握菱形的判定、正方形的判定是解此题的关键． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当①时，平行四边形是菱形， 当②时，菱形不一定是正方形，故此选项错误，符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当①时，平行四边形是菱形， 当③，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当②时，平行四边形是菱形， 当③，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当①时，平行四边形是菱形， ④时，菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意； 故选：A． 13. 四边形的对角线和相交于点O，设有下列条件：①；②；③；④矩形；⑤菱形，⑥正方形，则下列推理不成立的是（ ） A. ①④⇒⑥ B. ①③⇒⑤ C. ①②⇒⑥ D. ②③⇒④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形，菱形，矩形的判定定理对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、符合邻边相等的矩形是正方形，不符合题意； B、可先由对角线互相平分判断四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，不符合题意； C、不能判断该四边形为正方形，符合题意； D、可先由对角线互相平分判断为平行四边形，再由一个角为直角得出是矩形，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形，菱形，矩形的判定定理．解题的关键在于对正方形，菱形，矩形的判定定理的熟练掌握与灵活运用． 14. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】（1）证明见解析 （2）①菱；② 【解析】 【分析】（1）由，得到两对内错角相等，再由为中点，得到，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，再由，等量代换得到，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得证； （2）①由为中线，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到由邻边相等的平行四边为菱形，即可得证；②添加条件为，由，根据①得到四边形为菱形，再由，利用等腰三角形的三线合一得到，根据有一个角是直角的菱形为正方形即可得证． 【小问1详解】 证明：∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：①当满足条件时，四边形菱形， 理由如下： ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； ∵是的中点， ∴ ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形； 故答案为：菱； ②当满足条件时，四边形是正方形， 理由如下： 由①知当满足条件时，四边形是菱形， ∵，为中点， ∴为边上的中线， ∴，即， ∵四边形是菱形，， ∴四边形为正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了中点定义、平行线性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 15. 如图，在中，点O是边上一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）说明； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下满足 ，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【答案】（1）见解析 （2）当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形 （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握相关判定方法是解题的关键： （1）根据角平分线的性质得到，根据平行线得到，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论； （2）当O为中点时，结合（1）可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形； （3）当时，可得，邻边相等的矩形是正方形． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，都为等腰三角形， ∴． 【小问2详解】 解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形． 如图所示， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【小问3详解】 在（2）前提下，当的时，四边形是正方形．如图所示， ∵，，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：． 【题型3 正方形中多结论问题】 16. 如图，在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、、、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】证明得到，，进而得到可判断①；根据三角形的内角和定理和等腰直角三角形的性质可判断②；连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质得到，利用线段垂直平分线的判定可判断③；证明得到，取的中点，连接，利用三角形的中位线性质得到，，进而证明为等腰直角三角形，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求解可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，， ∵，，， ∴ ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形，故①正确； ∴， ∵，， ∴，即，故②正确； 连接，， ∵，点M是的中点， ∴， 又， ∴直线是的垂直平分线，故③正确； ∵，，， ∴， ∴， 取的中点，连接，则是的中位线， ∴，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、线段垂直平分线的判定、三角形的内角和定理、勾股定理、三角形的中位线性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键． 17. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的性质和平角的定义判断结论①；根据正方形的性质解得的值，再求得的值，即可判断结论②；过点作，交于点，交于点，过点作，交延长线于点，易知和均为等腰直角三角形，然后借助勾股定理计算、的值，即可判断结论③；根据三角形面积公式计算的面积，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形和四边形均为正方形，点在同一直线上， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵四边形和四边形均为正方形，，， ∴，，， ∴， ∴，故结论②正确； ∵过点作，交于点，交于点，过点作，交延长线于点，如下图， ∵，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴， ∴，，， ∴， ， 故结论③错误； ， 故结论④正确， 综上所述，结论①②④正确，共计3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，在正方形中，为对角线上与点不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，有以下结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确结论的序号为（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，垂直的定义．根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． ①连接，易知四边形为矩形，可得；由可得，所以； ②延长，交于，交于点，由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； ③由②中的结论可得； ④由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由①知，所以的最小值为 【详解】解：①连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． ①正确； ②延长，交于，交于点， ， ． 由①知：， ． ． ， ． ． 即：， ． ②正确； ③由②知：． 即：． ③正确； ④点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由①知：， 的最小值为， ④正确． 综上，正确的结论为：①②③④． 故选：C 19. 如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】结合正方形的性质和轴对称的性质，过点作交于，交于，则为矩形，可证明，，，可判断①正确；利用直角三角形两锐角互余可判断②正确；延长交于，与交于点，连接，，证明，，在同一直线上，过点作交与，可知，，，证明，进而可证，则为等腰直角三角形，得，可知，再利用平行线的性质结合，可得，可判断③正确；延长使得，可证，结合，可证，得，而，进而可得，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：在正方形中，，， 过点作交于，交于，则为矩形， ∴，， 由轴对称可知，，则， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 由轴对称可知，，， 则， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 延长交于，与交于点，连接，， 由轴对称可知，，，， 又∵， ∴， ∴，，则， 又∵， ∴， ∴，，则 由轴对称可知，点与点关于对称，则，， ∴ 又∵， ∴，即，，在同一直线上， 则， 过点作交与，可知，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，则为等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 又∵， ∴， 由上可知，， ∴，故③正确； 延长使得， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质等，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 20. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确的结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，作于，于，则四边形是矩形，证明四边形是正方形，则，，证明，则，可判断①的正误；证明，可判断②的正误；由，可得，可判断③的正误；由题意知，当时，，此时，可判断④的正误． 【详解】解：如图，作于，于，则四边形是矩形， ∵正方形， ∴， ∴，即， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，①正确，故符合要求； ∴四边形是正方形，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴，②正确，故符合要求； ∴， ∴，即，③正确，故符合要求； 由题意知，当时，，此时，④不一定成立，故不符合要求； 故选：B． 【题型4 正方形中的动点问题】 21. 如图，四边形是正方形，点F在边上运动（不与端点重合），连结，以为对角线作正方形，连接，．当点F运动时，下列比值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 延长到H，使，连接，根据正方形的性质及平行线的性质证明，，进而可依据“”判定和全等则，，由此得，则是等腰直角三角形，由勾股定理得，则，再证明和全等得，继而得，由此即可得出答案． 【详解】解：延长到H，使，连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当点F运动时，的值不变，始终等于． 故选：B． 22. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为_____． 【答案】或1- 【解析】 【分析】分两种情形: ①如图1中, 当FA=FB时, 由ΔDCE≌ΔEMF, 推出FM=BM, 推出四边形BMNF是正方形即可解决问题.(2)如图2中,当BA=BF时,根据CE=BM=FN即可解决问题. 【详解】解： 如图1中,当FA=FB时,作FN⊥AB于N,FM⊥CB于M, 四边形ABCD、DEFG是正方形, ∠C=∠DEF=∠M=∠ABC=,DE=EF,DC=BC, ∠DEC+∠FEM=, ∠CDE+∠DEC=， ∠CDE=∠FEM , 在ΔDCE和ΔEMF中, ∠C=∠M，∠CDE=∠FEM ,DE=EF ΔDCE≌ΔEMF, FM=CE,CD=EM=BC BM=EC=FM , ΔBMF是等腰直角三角形, ∠FBM=∠FBN=, ∠FNB=,FA=FB, AN=BN=NF= ∠M=∠MBN=∠BNF=,四边形BMFN是矩形, NF=NB, 四边形BMFN 是正方形, BM=FN= CE=EB= ②如图2中, 当BA=BF时,由(1)可知,ΔBNF是等腰直角三角形, BF=AB=1, BM=CE=FN=, EB=BC-CE=1- 故答案为或1-. 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形全等. 23. 如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．由正方形的性质、轴对称的性质以及折叠的性质可得、，进而得到；如图：过点B作于点M，由等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；然后证明是等腰直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为13， ∴， ∵点为点A关于的对称点， ∴， ∴， 如图：过点B作于点M，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型5 正方形中求最值问题】 24. 如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作于点、于点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的判定与性质得到，进而有，再由正方形性质得到，则，由动点最值问题，结合两点之间线段最短即可得到，当三点共线时由最小值为线段，在中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，， 过点分别作于点、于点，连接， 四边形是矩形，则， ， ，为定点，为对角线上一动点（不与点重合）， 由正方形性质，作点关于的对称点，为，连接，如图所示： ，则， 由动点最值问题，结合两点之间线段最短即可得到，当三点共线时有最小值为线段， 在中，，，，则由勾股定理可得， 的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及正方形性质、矩形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，熟记动点最值问题的解题方法是解决问题的关键． 25. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由可证得，，由此得当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，即当点E在线段上运动时，点G在线段上运动，根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长，由，得为等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质可得的最小值． 【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示： ∵四边形和四边形均为正方形， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合， 即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动， 根据“垂线段最短”可知：当时，为最短， 即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长． ∵，， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，点M为的中点， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的最小值为 ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识点，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形三角形的判定和性质是解决问题的关键． 26. 如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，如图，过点作与，可证，得到，过点作，并使，连接，则，，可得四边形是平行四边形，得到，即得，可知当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，利用勾股定理求出，进而可得，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作与，则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 过点作，并使，连接，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 27. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 【题型6 正方形的性质综合题】 28. 如图1所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点． （1）请问和有何数量关系，并说明理由； （2）如图所示，在（1）的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数． 【答案】（1），理由见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可证，再根据平行线的性质可证，可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得； （2）首先连接根据可证，根据全等三角形对应边相等可证，从而可证，再根据可证，可证是等腰直角三角形，可得，再根据平行线的性质可得的度数． 【小问1详解】 解：． 理由：如下图所示， 四边形是正方形， ，， ，， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由（1）可知，， 矩形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据正方形的性质找到相等的角和边，从而证明三角形全等再利用全等三角形的性质求解． 29. 如图，点E为正方形ABCD内一点，，过点B作且使，连接CG交AE的延长线于点F． （1）填空：_______（填“全等”或“不全等”）； （2）判断四边形BGFE的形状，并说明理由； （3）若，请猜想线段CF与FG的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）全等 （2）正方形，理由见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意和正方形的性质可得出答案； （2）由（1）知得，进而可证四边形BGFE为矩形， 又即可得到答案； （3）过点D作，根据垂足为H，可得，根据正方形ABCD可得进而可证，再通过（1）和（2）的结论可证出解答． 【小问1详解】 由题意得，， 由正方形性质得AB=BC，°， 又， ∴ ∴在和中 ∴（边角边）． 故答案为：全等． 【小问2详解】 四边形BGFE是正方形． 理由如下：由（1）知：， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形BGFE为矩形， ∵， ∴四边形BGFE是正方形． 【小问3详解】 ． 证明：过点D作，垂足为H． 则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（2）知：四边形BGFE是正方形， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是掌握以上的基本性质． 30. 问题引入：如图①，，，，E是线段的中点．连结并延长交于点F，连结．则与之间的数量关系是 ． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连结，若，，则的长为 ． 【答案】问题引入：；（1），见解析；（2） 【解析】 【分析】问题引入：利用证明，可得，进而可以解决问题； 问题延伸（1）延长交于点M，根据正方形的性质证明，可得，，根据为斜边上的中线，进而可以解决问题； （2）根据正方形的性质设，可得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：问题引入：，理由如下： ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； 故答案为：； 问题延伸：（1），理由如下： 如图，延长交于点M， ∵四边形，为正方形， ∴，， ∴， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴； （2）连接 ∵四边形、为正方形， ∴，，， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍去）， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是解答本题的关键． 31. 如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，边长，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）的值为． 【解析】 【分析】（1）作平行四边形，通过证得，即可证得结论； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【小问1详解】 证明：作平行四边形，则，，，如图， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作交于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作，交延长线于， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 设，则， 在中，， 解得， ∴． 即的值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算．作出辅助线构建全等三角形是解题的关键． 32. 四边形为正方形，点P在直线上，连接，过点A作的垂线交直线于点Q． （1）如图1，点P在的延长线上，求证：； （2）如图2，点P在上，直接写出，，之间的数量关系；连接，若，直接写出四边形的面积．(不需要写具体过程) 【答案】（1）详见解析 （2），12 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； （1）利用正方形的性质得，，，证明，得，根据，等量代换即可的结论； （2）证明得，根据，等量代换即可得，四边形的面积正方形的面积，然后根据正方形面积等于对角线乘积的一半，即可求出答案． 【小问1详解】 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积正方形的面积， 四边形为正方形，为对角线， ， 四边形的面积正方形的面积． 33. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由, 由勾股定理可得即可解答． 【详解】解：如图①，延长交于点H， ∵四边形与四边形都为正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，即， ∴． ∴． 又∵， ∴四边形是“等垂四边形”； 如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接 ∴ ∴． ∴ ∴ ∴． 延长交于点H，分别取的中点E，F．连接， 则， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 34. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 【答案】（1）④ （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由“宁美四边形”的定义，正方形的性质即可得出结论； （2）证，得，再由，结合 “宁美四边形”的定义即可得出结论； 【小问1详解】 解：平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等， 正方形是“宁美四边形”， 故答案为：④． 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是“宁美四边形”； 【点睛】本题考查了新定义“宁美四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 35. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 【答案】（1）① ② （2）① ② （3）①× ②× 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定和性质，菱形的性质，正确理解“接近度”的意思是解决问题的关键． （1）①②根据菱形的“接近度”定义，越小，菱形就越接近正方形，解答即可； （2）①②根据菱形的“接近度”定义为，解答即可； （3）①不合理，举例进行说明； ②根据矩形的“接近度”定义为，只有矩形的越接近，矩形才越接近正方形，进行说明． 【小问1详解】 解：①∵内角为， ∴与它相邻内角的度数为， ∴菱形的“接近度”：， 故答案为：； ②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形， 故答案为：； 【小问2详解】 解：若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①当菱形的一个内角为时，“接近度”； 故答案为：； ②当菱形的“接近度”时，菱形就是正方形， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①×， 例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等. 故答案为：×； ②×， 理由如下： 越接近，矩形越接近于正方形； ∴当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形， 故答案为：×. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 正方形的性质与判定 【知识点1 正方形的定义及性质】 1．正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 【注意】 （1）正方形必须具备三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角．这三个条件缺一不可． （2）正方形的四条边都相等，说明正方形时特殊的菱形；正方形的各个角都是直角，说明正方形时特殊的矩形．即正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形． 2．正方形的性质 正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质． 元素 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是直角 对角线 两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 对称性 是轴对称图形，有四条对称轴 【注意】 （1）矩形、菱形，正方形都是特殊的平行四边形，它们之间的关系如图所示． （2）正方形的面积=边长的平方=两条对角线长乘积的一半． （3）正方形被两条对角线分成四个全等的等腰直角三角形，因此，在正方形中解决问题时常用到等腰三角形和直角三角形的性质． 【知识点2 正方形的判定】 1．先证明是矩形，再从矩形出发：（1）有一组邻边相等矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形． 2．先证明是菱形，再从菱形出发：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形． 【注意】 由上面的判定方法可以得到判定一个四边形为正方形的一般顺序为：先判定四边形是平行四边形，再判定该平行四边形是矩形或菱形，最后判定该矩形或菱形是正方形． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型1 正方形的性质】 1. 如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，E是正方形外一点，连接．若，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，正方形和正方形中，点在上，是的中点，那么的长是（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，正方形ABCD边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 6. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形中，E为边上一点，F为边上一点，且．连接，，交对角线于G，连接．若，则（ ） A B. C. D. 8. 如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为____________． 9. 如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，，，则______ ． 【题型2 正方形的判定】 10. 如图，已知四边形是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形是正方形的是（ ） A. 且 B. 且和互相平分 C. 且 D. 且 11. 学习了正方形之后，老师提出问题：要判断一个四边形是正方形，有哪些思路？ 甲同学说：先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角； 乙同学说：先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等； 丙同学说：先判定四边形的对角线相等，再确定对角线互相垂直； 丁同学说：先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角并且有一组邻边相等． 上述四名同学的说法中，正确的是（ ） A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙、丁 D. 甲、乙、丁 12. 如图，已知平行四边形，从下列四个条件中选两个作为补充条件，使平行四边形成为正方形．①；②；③；④．则下列四种选法错误的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 13. 四边形的对角线和相交于点O，设有下列条件：①；②；③；④矩形；⑤菱形，⑥正方形，则下列推理不成立的是（ ） A. ①④⇒⑥ B. ①③⇒⑤ C. ①②⇒⑥ D. ②③⇒④ 14. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作与的延长线相交于点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）填空：①当满足条件时，四边形是 形； ②当满足条件 时，四边形是正方形． 15. 如图，在中，点O是边上的一动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． （1）说明； （2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并说明你的结论． （3）在（2）的前提下满足 ，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明） 【题型3 正方形中多结论问题】 16. 如图，在正方形中，F在上，E在的延长线上，，连接、、、交对角线于点N，M为的中点，连接，下列结论：①为等腰直角三角形；②；③直线是的垂直平分线；④若，则；其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，，下列结论：①；②；③；④的面积是．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 18. 如图，在正方形中，为对角线上与点不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，有以下结论：①；②；③；④的最小值为；其中正确结论的序号为（ ） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②③④ D. ①③④ 19. 如图，在正方形中，E，F分别在，边上，四边形与关于直线对称，且点在边上，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 20. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，过点E作，交延长线于点F，以为邻边作矩形，连接．在下列结论中：①；②；③；④．其中正确结论序号是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【题型4 正方形中的动点问题】 21. 如图，四边形是正方形，点F在边上运动（不与端点重合），连结，以为对角线作正方形，连接，．当点F运动时，下列比值不变的是（ ） A. B. C. D. 22. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E是BC边上一动点（点E不与点B、C重合），以线段DE为边长，作正方形DEFG，使得点F、G落在直线DE的下方，连接AF、BF．当△ABF为等腰三角形时，BE的长为_____． 23. 如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则______． 【题型5 正方形中求最值问题】 24. 如图，在正方形中，，为边上一点，．为对角线上一动点（不与点重合），过点分别作于点、于点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 25. 如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 26. 如图，正方形的边长为，点在上且，点分别为线段上的动点，连接，，，．若在点的运动过程中始终满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 27. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【题型6 正方形的性质综合题】 28. 如图1所示，在正方形中，点为边上一点，连接，过点作交于点，过点作交的延长线于点． （1）请问和有何数量关系，并说明理由； （2）如图所示，在（1）的条件下，以和为边向右作矩形，连接交于点，求的度数． 29. 如图，点E为正方形ABCD内一点，，过点B作且使，连接CG交AE的延长线于点F． （1）填空：_______（填“全等”或“不全等”）； （2）判断四边形BGFE的形状，并说明理由； （3）若，请猜想线段CF与FG的数量关系，并加以证明． 30. 问题引入：如图①，，，，E是线段的中点．连结并延长交于点F，连结．则与之间的数量关系是 ． 问题延伸：如图②，在正方形和正方形中，点A、B、E在同一条直线上，点G在上，P是线段的中点，连结、． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由． （2）连结，若，，则的长为 ． 31. 如图，正方形，点分别在上，与相交于点O．记． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，边长，，求线段的长． 32. 四边形为正方形，点P在直线上，连接，过点A作的垂线交直线于点Q． （1）如图1，点P在的延长线上，求证：； （2）如图2，点P在上，直接写出，，之间的数量关系；连接，若，直接写出四边形的面积．(不需要写具体过程) 33. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． 如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是______； 如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为______． 34. 我们定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫做“宁美四边形”． （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中，是“宁美四边形”的是___________（填序号）； （2）如图，在正方形中，为上一点，连接，过点作于点，交于点，连、．求证：四边形是“宁美四边形”； 35. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或甲形的“接近度” （1）设菱形相邻两个内角的度数分别为，，若我们将菱形的“接近度”定义为，于是越小，菱形就越接近正方形． ①当菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②当菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （2）若我们将菱形的“接近度”定义为，则： ①菱形的一个内角为时，“接近度”=________； ②在这种情况下，菱形的“接近度”=________时，菱形就是正方形； （3）甲、乙两位同学仿照菱形的“接近度”定义，给出了两种矩形的“接近度”定义，在你认为合理的定义后面打“√”，不合理的定义后面打“×”． ①甲：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ ②乙：设矩形相邻两条边长分别为，，将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $