第三章 函数高频考点复习-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

第三章 函数高频考点复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：10大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 函数的辨析】 1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知下列集合，与对应关系，则：为从到N的函数的是（   ） A．，，：2倍 B．，，：2倍 C．，，：开平方 D．，，：平方 【题型2 函数的定义域问题】 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 7．函数的定义域为，则的定义域为 ． 8．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3 求函数的值域】 10．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 13．函数的值域是 . 14．下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【题型4 分段函数问题及其图象的作法】 16．已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 17．已知函数若，则 ． 18．设，已知，若，则t的取值范围为 . 19．定义为中的最小值，则的最大值为 . 20．已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【题型5 函数的单调性及单调区间】 21．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 22．函数的单调减区间是 ． 23．如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 24．函数的单调递减区间为 . 25．已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 26．已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【题型6 单调性求参数及解不等式】 27．已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 28．，其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 29．若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 31．已知函数，若，则实数的取值范围 . 32．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 33．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【题型7 奇偶函数求解析式、求参数】 34．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 35．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 36．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 37．若函数是奇函数，则 ． 38．已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【题型8 奇偶函数的对称性应用】 39．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 40．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 41．函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 42．已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 43．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 【题型9 抽象函数及其应用】 44．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 45．（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 46．已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 47．（多选）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 48．（多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 【题型10 函数的零点】 49．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 50．（多选）已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 51．（多选）设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 52．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ． 53．已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 一、单选题 1．若函数，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设直线与函数的图象的公共点从左至右依次为，若，则实数（   ） A． B． C． D． 5．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，若，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（   ） A．图象过定点 B．值域为 C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间 9．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．是单调函数 10．设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 12．已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 13．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 四、解答题 14．（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 15．已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 16．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． (1)当时，求函数的表达式； (2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整） 17．已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 18．已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数高频考点复习 内容导航——预习三步曲 第一步：学 练题型 强知识：10大核心题型精准练 第二步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【题型1 函数的辨析】 1．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 2．已知函数是从集合到集合上的函数，若，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，此时不在集合内，因此集合不可能是. 故选：A 3．（多选）下列图形中是以x为自变量，y为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由函数的定义可知，只有选项C中，当时，有二个函数值与对应，不符合函数定义， 故选：ABD 4．（多选）已知下列集合，与对应关系，则：为从到N的函数的是（   ） A．，，：2倍 B．，，：2倍 C．，，：开平方 D．，，：平方 【答案】ABD 【详解】对于AB：因为，符合题意，故AB正确； 对于C：因为，不符合函数定义，故C错误； 对于D：因为，符合题意，故D正确； 故选：ABD. 【题型2 函数的定义域问题】 5．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的意义，则，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B 6．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 7．函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】由题意得，解得且．故定义域为， 故答案为： 8．已知函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由有意义，可得，解得. 要使函数有意义， 则，解得. 对函数，定义域为自变量的取值范围， 其中集合为非空数集， 所以函数的定义域为. 故A错误，D正确. 故选：D. 9．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题：的定义域为，即， 所以的定义域为， 又中， 综上：的定义域为， 故选：D． 【题型3 求函数的值域】 10．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，则， 所以函数，函数在上单调递增， 时，有最小值， 所以函数的值域为. 故选：C 11．已知函数，函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 因为，所以的值域为，即， 故选：A. 12．已知函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】，， 所以， 设，由，可得：， 则，所以，，则 ，当且仅当，即，即时等号成立． 故选：D． 13．函数的值域是 . 【答案】且 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 故答案为：且 14．下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【详解】因为，所以，，，，，，，，，，，，，，，…，发现从第6项开始就是以3为周期的周期函数，，为3的倍数，则． 故选：A 【题型4 分段函数问题及其图象的作法】 16．已知函数的图象如图所示，则下列解析式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】当时，；当时，，所以即，A错误，C正确；则，B正确，D错误． 17．已知函数若，则 ． 【答案】或 【详解】若，则，当且仅当时，等号成立； 若，则，当且仅当时，等号成立； 令，则，可得或． 当时，即，显然，因此； 当时，即，显然，因此， 综上所述：或． 故答案为：或. 18．设，已知，若，则t的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，解得：， 所以， 当时，，解得，所以， 综上t的取值范围为， 故答案为： 19．定义为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，在同一坐标系内作出函数，如图，    函数的图象如图中实线部分，由解得， 由解得，于是， 函数的图象的最高点为，而点， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 20．已知，则方程所有的根之和为（   ） A．1 B．2 C．5 D．7 【答案】A 【详解】若，由，所以； 若，由. 因为，所以方程的所有根的和为1. 故选：A 【题型5 函数的单调性及单调区间】 21．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（   ） A．单调递减 B．单调递增 C．有最小值 D．有最大值 【答案】B 【详解】函数图象的对称轴为直线，且图象开口向上，由题意，得．又，则当时，在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既无最大值，也无最小值；当时，函数在上单调递增，函数既无最大值，也无最小值．综上，在上单调递增． 22．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 23．如图为函数的图象，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据图象知的单调递增区间为， 故选：D. 24．函数的单调递减区间为 . 【答案】、 【详解】因为， 由此画出函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递减区间为、.    故答案为：、. 25．已知函数，且，. (1)求a和b的值； (2)判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】(1) (2)在上的单调递减，证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，解得. （2）由（1）知：，在上的单调递减， 证明如下： 在上任取，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴，在上的单调递减. 26．已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； （2）由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 【题型6 单调性求参数及解不等式】 27．已知是函数图象上两点，且该函数是上的减函数，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又是函数图象上两点，故， 该函数是上的减函数，故， 解得，即不等式解集为， 故选：B. 28．，其中，若，则得取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    画出函数的图像， 当时，， , 即， 同理：当时，也可得， 所以的图像的图像关于对称； 所以等价于， 即， 解得：或， 又， 所以得取值范围是， 故选：B 29．若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 30．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增， 当时，，由可得，解得； 当时，，由可得，可得，此时不存在； 当时，，由可得，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 31．已知函数，若，则实数的取值范围 . 【答案】或 【详解】函数的定义域为，函数在上都递增， 因此函数在上单调递增，由， 则，解得或， 所以实数的取值范围是或. 故答案为：或 32．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为是上的减函数，所以， 解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 33．已知函数是定义在上的奇函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由题意可得函数在上单调递减，，， 则当时，，当时，， 由，则，解得， 由，则，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 【题型7 奇偶函数求解析式、求参数】 34．已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】因为函数为奇函数，当时，, 则. 故选：B. 35．已知函数是定义域为的偶函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，则， ∵函数是定义域为的偶函数，∴， ∴. 故选：A. 36．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，且，解得且．所以． 37．若函数是奇函数，则 ． 【答案】3 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 38．已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为 . 【答案】 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 故答案为：. 【题型8 奇偶函数的对称性应用】 39．已知图甲中的图象对应的函数，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图乙知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数， 对于A，当时，，甲在y轴右侧图象与图乙的不相同，不合，故A错； 对于B：时，，图乙在x轴下方有图象，故B错． 对于D：当时，，其图象在y轴左侧与图乙的不相同，不合，故D错； 故选:C 40．已知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以将函数图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位， 可以得到函数，其图象关于原点对称， 即图象关于原点对称，函数为奇函数. 故选：B 41．函数与的图象关于轴对称，且，下列判断正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D．的图象关于点对称 【答案】D 【详解】对于A，因为与的图象关于轴对称，对于函数， 那么，所以A选项错误， 对于B，，定义域为R， ，所以是奇函数，B选项错误， 对于C，因为，即， 令，则，所以， 展开整理，则， ，且， 所以既不是奇函数也不是偶函数，C选项错误， 对于D，因为， 可以看作向左平移2个单位，再向上平移16个单位得到， 逆向推得，向右平移2个单位，再向下平移16个单位得到， 且前面分析知道是奇函数，图象关于原点对称， 则的图象关于点对称，D选项正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键在于，利用图象的平移，结合奇函数的性质即可得解. 42．已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】4 【详解】是定义在上的奇函数，则有， ， 设，函数定义域为， ，为奇函数， 则有，即，所以. 故答案为：4. 43．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，且，则 ． 【答案】 【详解】已知为奇函数，则，换元得， 已知为偶函数，则，换元得， 则当时，即，因为，所以， 则，当时，，解得， 可知，即，解得， 所以当时，， 当时，，， 所以. 故答案为：. 【题型9 抽象函数及其应用】 44．已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 设，因为，，则在上是增函数， 因，故， 因为为定义在上的奇函数，所以为奇函数， 所以， 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为． 故选：B. 45．（多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【详解】对于A选项，对任意的实数、满足， 令可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得， 即，解得， 再令可得，B错； 对于D选项，令， 由可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 对于C选项，由题意可知，当时，， 当时，，即时，， 故当时，， 任取、且， 则， 即函数在上为增函数，C对. 故选：ACD. 46．已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：根据所给函数性质，灵活赋值，恰当变形是解决问题的关键. 47．（多选）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【详解】由题意得任意，，且， 令，则，则． 令，则，故A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确． 令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数． 又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误． 令，则，，故D错误． 故选：AC． 48．（多选）已知定义域为的函数满足对于，则下列说法正确的是（   ） A． B．若对于，则函数是奇函数 C． D．若当时，，则在区间上单调递增 【答案】BD 【详解】对于A项，令，则，则或0，故A错误； 对于B项，因为，所以， 由，且，所以， 令，则，所以， 所以，故是奇函数，故B正确； 对于C项，若，令可得，故C错误； 对于D项，若当时，，则不满足，所以， 设0，则，所以， 所以，即对任意的，都有， 所以在上单调递增．又，所以在，上单调递增，故D正确． 故选：BD． 【题型10 函数的零点】 49．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为均在上单调递增，则在上单调递增， 由已知，，， ，， ， 由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 50．（多选）已知函数，若方程恰有6个不相等的实数根，则实数的值可能是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】BC 【详解】作出函数的图象如图， 令，由图可知，当时，有3个不相等的实数根， 又方程恰有6个不相等的实数根， 所以在内有两个不相等的实数根， 记，则， 解得. 故选：BC 【点睛】本题难点在于利用图象分析零点个数，将问题转化为二次函数根的分布问题，然后利用二次函数图象与性质即可求解. 51．（多选）设，则（   ） A．当时， B．当时，有3个零点 C．有实数解 D．当时，有个零点 【答案】ACD 【详解】对于A：当时，,，故A选项正确； 对于B：当作出的图像，由图像知只有2个零点，故B选项错误； 对于C：易知满足的解一定是的解， 而当时，，而方程一定有负根，故C选项正确； 对于D：令，当时，有2个零点； 当时， 在且)的图像向右平移一个单位，再向下平移一个单位， 即可得到在的图像，的零点问题等价于区间有几个整数问题， 零点有个； 一共有零点个，故D选项正确. 故选：ACD 52．已知函数，若函数至少有2个零点，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】作出的大致图象如图所示，    由的零点，即为 观察可知． 当时，令，可得，当时，令，可得，所以，故． 故答案为：． 53．已知，函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数有三个零点，即方程有三个解， 当时，方程为，即，即， 因为，所以，所以方程有两个根，又， 所以有一个正根与一个负根， 又，所以有一正的零点， 当时，方程为，即 因为函数有三个零点，所以方程有两个非正根， 所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．若函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：D 2．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，，其定义域为，排除A．当时，，B错误．当时，，若，则，C错误．只有选项D满足题意． 3．已知函数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，由得，解得. 当时，由得，得. 所以由得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．设直线与函数的图象的公共点从左至右依次为，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，，函数的图象关于轴对称， 由，解得，由，得， 整理得，而，解得. 故选：D 5．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为在上均单调递增， 所以函数在上的图象是一条连续不断的曲线且单调递增， 又0，所以， 则函数只有一个零点，且零点所在的区间为． 故选：C． 6．设函数，若，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】作出函数的图象如图所示，当时，即，解得或，则由图象可知． 7．若定义在上的偶函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，则， 则；； 当即时，，，成立； 当时，，，； 当时，，，； 当即时，， 所以的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 8．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列选项正确的是（   ） A．图象过定点 B．值域为 C．在定义域上单调 D．函数一定存在单调增区间 【答案】ABD 【详解】选项A：是定义域为的奇函数，所以，图象过，A正确； 选项B：时，时，值域为；时，值域为，又，值域为． 时，时，值域为；时，值域为，又，值域也为，B正确． 选项C：当时，在上单调递减，在上单调递增，在定义域上不单调，C错误； 选项D：当时，是单调递增区间；当时，是单调递增区间，D正确． 故选：ABD． 9．设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是偶函数 D．是单调函数 【答案】ABC 【详解】根据函数的解析式可知，定义域是全体实数，值域为，故AB正确； 当是有理数时，是有理数，， 当是无理数时，是无理数，，所以是偶函数，故C正确； 因为，所以不是单调函数，故D错误； 故选：ABC． 10．设函数.若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，， 由知，，即， 即，得，故A错误，B正确； 由，得，所以故C正确， 所以故D正确，. 故选：BCD. 三、填空题 11．函数满足条件：①图象为轴对称图形，②至少有一个最值，③至少有两个零点，请写出的一个表达式 ． 【答案】（答案不唯一，写出一个即可） 【详解】函数的对称轴为y轴，有一个最小值－1，两个零点，，符合题意． 故答案为：（答案不唯一，写出一个即可） 12．已知函数是奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【详解】设，则， 所以， 又函数为奇函数， 所以， 即时，， 故答案为：； 13．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 四、解答题 14．（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【答案】（1） （2） 【详解】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 15．已知函数是奇函数. (1)求的值. (2)判断函数在上的单调性并说明理由，并求的最值； (3)若函数满足不等式，求出的范围. 【答案】(1) (2)增函数，理由见解析，最大值为，最小值为 (3) 【详解】（1）因为在是奇函数，则， 即，可得，解得，故. （2）是区间上的增函数，理由如下： 任取、且， 则 ， 因为所以，，， 所以，即， 所以是区间上的增函数， 所以函数的最小值为，最大值为. （3）因为是区间上的增函数，且是奇函数， 由可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 16．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数． (1)当时，求函数的表达式； (2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整） 【答案】(1) (2)25艘/海里，最大值为625． 【详解】（1）由题意知时，海里/小时； 当时，设， 则，解得， 故； （2）由（1）可得， 当时，，此时； 当时，， 当时，取到最大值为625； 由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值， 最大值为625． 17．已知函数（） (1)设函数在区间上的最小值为，求的表达式； (2)对（1）中的，当，时，恒有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：函数的图象是开口向上抛物线，且对称轴为， 当时，函数在区间上单调递增，所以； 当时，函数在区间上单调递减，所以； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以， 所以的表达式为. （2）解：当时，可得，可得， 因为当，恒有成立， 所以当，恒有， 令，则， 当时，即时，，解得，所以； 当时，即时，，解得，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 18．已知是奇函数. (1)求实数的值； (2)作的图象； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围．（不必写出演算过程） 【答案】(1)2 (2)图象见解析 (3) 【详解】（1）设，则，所以， 因为函数是奇函数，所以， 所以； （2）当时，，当时，， 当时，， 故函数图象如图所示： （3）要使在区间上单调递增， 结合图象可知，，解得， 所以实数a的取值范围是． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$