2.3一元二次函数、方程与不等式（8个常考题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【2.3一元二次函数，方程与不等式】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1.解一元二次不等式 【知识点的认识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 特征 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 2．由一元二次不等式的解求参数 【知识点的认识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 特征 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 3．一元二次不等式恒成立问题 【知识点的认识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 特征 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 【解题方法点拨】 ﹣将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式． ﹣分析抛物线的开口方向和顶点位置． ﹣结合不等式恒成立的条件，确定参数范围． 4．一元二次方程的根的分布与系数的关系 【知识点的认识】 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2，x1•x2． 5.三个二次的关系 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 的解集 或 的解集 方法总结  1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 核心笔记1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；（第2，5题） （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．（第1，7题） 2．分式不等式的解法（第6题） （1）； （2）且． 3．解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论．（第3，5，9题） （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根；（第3题） （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，．（第5，13（6）题） 4．三个“二次”之间的关系（第7，8，10，13题） （1）一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定的系数．（第4，6，8，11题） 5．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上恒成立的问题． 设，则恒成立，；恒成立，；恒成立，；恒成立，． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1；解不含参数一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将二次项系数为负的一元二次不等式转化为二次项系数为正的一元二次不等式，利用十字相乘法因式分解，再根据同号为正，异号为负列出不等式组，解不等式组即可得到解集. 【详解】可化为， 即， 可得或， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：A. 【例题2】解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【详解】解：（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （2）原不等式可化为，方程的两根分别为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （3）原不等式为，整理得．解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （4）不等式可化为．因为方程的两根为，．又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集是． （5）原不等式等价于不等式组不等式①可化为，解得或．不等式②可化为，解得．故原不等式的解集为或． 【例题3】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： (1) (2). 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先求方程的根，作出函数的图象，利用图像即可求解； （2）原不等式可化为，计算即可求解. 【详解】（1）∵方程有两个相等的实根. 作出函数的图象如图. 由图可得原不等式的解集为. （2）原不等式可化为， ∵，∴方程无实根， ∴原不等式的解集为. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 (1)； (2)； (3). 【分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）将不等式化简为， 解得或， （2）将不等式化简为， 因为， 该不等式无实数解，即解集为； （3），即，通分可得， 则，解得， 【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) (3) 【答案】(1)或； (2)； (3). 【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法求解. （3）化分式不等式为不等式组，再利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）不等式化为：，解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）不等式化为：，则， 所以原不等式的解集为. （3）不等式化为：，解得， 所以原不等式的解集为. 【相似题3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据分式不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）（3）根据一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）由，得，即，即， 等价于，解得， 所以原不等式的解集为. （2）原不等式可化为. 对于方程，因为， 所以二次函数的图象开口向上，与轴无交点， 如图所示.结合图象可得，原不等式的解集为. （3）原不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 例题精选 【题型2：解含参数不等式】 【例题1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】应用分类讨论求一元二次不等式的解集，根据整数解个数列不等式求参数范围. 【详解】令，解得或. 当，即时，不等式的解集为，则，解得； 当，即时，不等式无解，所以不符合题意； 当，即时，不等式的解集为，则，解得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 【例题2】（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 【例题3】（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】通过，和三种情况讨论即可. 【详解】由方程，可得，两根为：， 又方程所对应抛物线开口向上， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式无解； 当时，，不等式的解集为； 综上： 时，不等式的解集为； 时，不等式无解； 时，不等式的解集为； 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，按分类求出解集，进而求出的值. 【详解】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 故答案为：5 【相似题3】（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （2）由题设有，应用分类讨论求对应解集. 【详解】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有，解得； 故实数的取值范围是. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为. 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或. 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【题型3：一元二次不等式与二次函数一元二次方程的关系】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题设及图象有且，得，并结合一元二次不等式解法，判断各项正误. 【详解】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 【例题2】多选题（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故A正确； 所以，所以，则，故B正确； 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 【例题3】多选题（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 【答案】AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 相似练习 【相似题1】多选题（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 【相似题2】多选题（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．不等式解集的充要条件为 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集是，或 D．若，且，则的最小值为8 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的求解方法以及一元二次函数的图象，对选项逐一分析，求得结果. 【详解】解：选项A：不等式解集， 等价于一元二次函数的图象没有在轴上方的部分，故 等价于，所以选项A正确； 选项B：取值，，此时能满足， 而的解集为，或，的解集为，故B选项错误； 选项C：因为一元二次不等式的解集为， 所以得到与是的根且， 故有，解得， 所以不等式即为， 等价于不等式的解集，所以选项C错误； 选项D：因为，所以，即， 令， 所以 ，当且仅当即取“=”，选项D正确. 故选：AD. 【相似题3】多选题（22-23高一上·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【分析】根据不等式解集为或，可判断a的正负，确定是的两根，从而求出，由此一一判断每个选项，可得答案. 【详解】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 例题精选 【题型4：一元二次不等式在R上恒成立问题】 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式恒成立得出判别式范围即可求解. 【详解】不等式对一切实数恒成立， 则 则实数. 故选：B. 【例题2】（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一元二次不等式恒成立得出，再应用基本不等式计算求解. 【详解】因为，不等式恒成立， 当时，不恒成立，不合题意； 当时，满足且， 即，所以，所以， 所以，， 当且仅当即，取的最小值为. 故选：B. 【例题3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 【分析】根据一元二次不等式恒成立，数形结合得到参数不等式，求解即得. 【详解】由题意可得，解得：， 【相似题2】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论、，结合二次函数性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然对于都成立，满足； 当，要使对恒成立，则，所以； 综上，. 故答案为： 【相似题3】（24-25高一下·浙江·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】/ 【分析】讨论和两种情况讨论不等式恒成立问题，即可列式求解. 【详解】当时，，不对任意的恒成立，不符合； 当时，由题可知，且，解得，故实数的最大值是. 故答案为： 【题型5：一元二次不等式在某范围上恒成立问题】 例题精选 【例题1】当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 【例题2】时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，则得，即可得到取值范围. 【详解】时，不等式恒成立， 即，即，解得， 所以取值范围是. 故选：B. 【例题3】对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 相似练习 【相似题1】若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由题设，在上恒成立，而， 所以. 故答案为： 【相似题2】命题“”是真命题的一个充分不必要条件是 . 【详解】由“”为真命题，等价于在上恒成立， 所以，设，， 所以的最大值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 【相似题3】已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ．若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是 ． 【详解】当，不等式即， 解得或， 若对任意的，不等式恒成立， 当时，，此时， 当时，，不等式可化为， 则时，恒成立， 有，解得， . 【题型6：一元二次不等式在某范围上有解问题】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 【例题2】（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【分析】由题意可得“，使得”为真命题，分离参数可得在内有解，利用基本不等式求出即可. 【详解】因为“，使得”为假命题， 所以“，使得”为真命题， 即在内有解，即， 因为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以，解得， 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 【详解】由题意可知，不等式有解， 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【详解】不等式有解，满足即可， 两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，得， 则有，即，解得或， 【相似题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）当时，有解，则实数的取值范围是 . 【详解】当时，有解， 即在上有解， 因为，所以一次函数单调递增， 所以只需即可，解得， 【题型7：一元二次不等式的实际应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【答案】 【分析】根据已知有，应用基本不等式可得，由换元法求用纸量最少对应. 【详解】由题设，则， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即， 所以或（舍）， 此时，即用纸量最少时m. 故答案为： 【例题2】（24-25高一上·广东·阶段练习）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【答案】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围. 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 【例题3】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)元 (2)答案见解析 【分析】（1）设每件定价为元，根据题意可得出关于的不等式，解之即可； （2）根据题意可知，当时，不等式有解，结合参变量分离法以及基本不等式可求得的取值范围，利用等号成立的条件求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元. （2）依题意，当时，有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元. 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 【相似题3】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 【题型8：一元二次不等式综合题型】 例题精选 【例题1】（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 . 【分析】根据的正负以及的正负分类讨论，结合图象确定的取值范围. 【详解】（1）当时，方程化为：，此时无解，舍去； （2）当时，考虑方程正实数根情况，只需研究当时方程解的情况， 即此时方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （3）当时，因为， 所以方程化为， 若此时方程有两个不相等的正实数根，则需 （4）当时，函数与轴有两个零点 函数与轴有两个零点 因为，所以即 作出函数与函数图象，    由图可知两图象有两个不同交点，且交点横坐标大于零，从而方程有两个不相等的正实数根， 综上，满足条件的取值范围为或，即 【例题2】（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）关于的方程有两个不等的实根，且，则实数的取值范围是 ． 【详解】因为关于的方程有两个不等的实根， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得或， 综上，或. 【例题3】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 【详解】由得，，解得， 所以或，故， 【相似题2】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 【相似题3】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 ． 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得 ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足:， 此时不等式组的解集为, 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即; ③当,即时，不等式的解为:， 因为比大，且与最接近的整数是， 所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即， 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【2.3一元二次函数，方程与不等式】 总览 题型梳理 【知识点总览】 1.解一元二次不等式 【知识点的认识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 特征 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 2．由一元二次不等式的解求参数 【知识点的认识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 特征 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 3．一元二次不等式恒成立问题 【知识点的认识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式． 特征 当△＝b2﹣4ac＞0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0时， 一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0时． 一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点． 【解题方法点拨】 ﹣将不等式转化为 ax2+bx+c≥0 或 ax2+bx+c≤0 形式． ﹣分析抛物线的开口方向和顶点位置． ﹣结合不等式恒成立的条件，确定参数范围． 4．一元二次方程的根的分布与系数的关系 【知识点的认识】 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如下关系：x1+x2，x1•x2． 5.三个二次的关系 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 的解集 或 的解集 方法总结  1．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，同时使二次项系数为正． （2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式． （3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． （4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． （5）写解集．根据图象写出不等式的解集． 2．对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论． 核心笔记1．解不含参的一元二次不等式有以下3种方法（先化为标准式）． （1）因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能因式分解，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集；（第2，5题） （2）配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得； （3）图象法：利用二次方程求根公式求不等式对应的一元二次方程的根（先用判别式判断根的情况），然后结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．（第1，7题） 2．分式不等式的解法（第6题） （1）； （2）且． 3．解含有参数的一元二次不等式时要注意分类讨论．（第3，5，9题） （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数，，； （2）关于不等式对应方程的实数根的讨论：两个不相等的实数根，两个相等的实数根，无实数根；（第3题） （3）关于不等式对应的方程的实数根的大小的讨论，，．（第5，13（6）题） 4．三个“二次”之间的关系（第7，8，10，13题） （1）一元二次方程的根就是相应的二次函数的零点，也是相应的一元二次不等式解集的端点值； （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应的二次函数的开口方向及与轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定的系数．（第4，6，8，11题） 5．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在上恒成立的问题． 设，则恒成立，；恒成立，；恒成立，；恒成立，． 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1；解不含参数一元二次不等式】 例题精选 【例题1】（2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【例题2】解下列不等式（组）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【例题3】（24-25高一下·山西大同·阶段练习）解下列不等式： (1) (2). 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）解下列不等式 (1)； (2)； (3). 【相似题2】（24-25高一上·山西晋中·期中）解下列不等式： (1)； (2) (3) 【相似题3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）解下列关于的不等式. (1)； (2)； (3). 例题精选 【题型2：解含参数不等式】 【例题1】（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是 . 【例题2】（24-25高一上·江西·开学考试）解关与x的不等式： 【例题3】（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式：． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【相似题2】（24-25高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数. (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【题型3：一元二次不等式与二次函数一元二次方程的关系】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高一上·福建南平·期中）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【例题2】多选题（24-25高三上·河南信阳·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】多选题（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（2023高一上·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【相似题2】多选题（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．不等式解集的充要条件为 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集是，或 D．若，且，则的最小值为8 【相似题3】多选题（22-23高一上·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 例题精选 【题型4：一元二次不等式在R上恒成立问题】 【例题1】（2025高一·全国·专题练习）若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·山西长治·期中），不等式恒成立，则的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【例题3】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围为 ． 【相似题2】（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 . 【相似题3】（24-25高一下·浙江·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是 . 【题型5：一元二次不等式在某范围上恒成立问题】 例题精选 【例题1】当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例题2】时，不等式恒成立，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【相似题2】命题“”是真命题的一个充分不必要条件是 . 【相似题3】已知关于x的不等式，若，则该不等式的解集是 ．若该不等式对任意的均成立，则实数a的取值范围是 ． 【题型6：一元二次不等式在某范围上有解问题】 例题精选 【例题1】（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【例题2】（24-25高一下·广东珠海·开学考试）若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围 ． 【例题3】（2025高三·全国·专题练习）若命题“”为真命题，则实数m的取值范围为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【相似题2】（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）当时，有解，则实数的取值范围是 . 【题型7：一元二次不等式的实际应用】 例题精选 【例题1】（24-25高一上·上海徐汇·期末）如图所示，为宣传2025年世界人工智能大会在上海召开，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为，为节约成本（即使用纸量最少），则长 m. 【例题2】（24-25高一上·广东·阶段练习）如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周斜线部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为 . 【例题3】（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 相似练习 【相似题1】（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）某公司为了竞标某活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估. 该商品原来每件售价为元，年销售万件. (1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元. 公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用. 试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【相似题2】（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【相似题3】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【题型8：一元二次不等式综合题型】 例题精选 【例题1】（2025·河北石家庄·一模）已知方程有且仅有两个不相等的正实数根，则实数的取值范围是 . 【例题2】（24-25高一上·浙江金华·阶段练习）关于的方程有两个不等的实根，且，则实数的取值范围是 ． 【例题3】（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 相似练习 【相似题1】（24-25高一上·山西晋城·阶段练习）对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么不等式的解集为 . 【相似题2】（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【相似题3】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则a的取值范围为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$