精品解析：上海市闵行区2024-2025学年高一下学期六校联考数学试卷

2024学年第二学期高一期末试卷 高一年级 数学学科 试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 函数的最小正周期是________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的周期性及其求法直接求值． 【详解】解：因为， 所以由三角函数的周期性及其求法可得最小正周期． 故答案为：． 2. 已知，且是第二象限角，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先用平方关系解出余弦，再根据商数关系得到答案. 【详解】因为，且是第二象限角，所以，所以. 故答案为：. 3. 已知向量，则的单位向量的坐标为_______. 【答案】. 【解析】 【分析】由结论“与方向相同的单位向量为”可求出的坐标. 【详解】，所以，，故答案为. 【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题. 4. 已知等比数列满足，则数列的通项公式_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 5. 已知，，且在上的数量投影为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量投影的概念可得的值，再根据数量积与模长的关系求解即可. 【详解】因为，， 又在上的数量投影为，则， 所以. 故答案为：. 6. 已知复数是实系数二次方程的一根，则b=______. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理、复数四则运算即可直接运算求解. 【详解】由二次方程求根公式可知虚根是成对出现的，故都是方程的解， 所以,. 故答案为：. 7. 若复数满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的几何意义，理解等式表示的动点轨迹图形为圆形，由图易得动点到原点的距离最小值即得. 【详解】 如图，设复数对应的点为,则由可知点到点的距离为1， 即点的轨迹为以点为圆心，以1为半径的圆， 而则表示动点到原点的距离，由图可知，圆上与原点距离最小的点为,故的最小值是1. 故答案为：1. 8. 已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线， ，且，即且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9. 如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 10. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为三点共线，且是上的三等分点， 由三点共线的性质可得， 同理因为三点共线，且是上的三等分点， 可得， 所以 . 故答案为：. 11. 已知，，且函数在区间上是单调函数，则值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心， 又，所以，即，； 又函数在区间上是单调函数， 所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以， 因为在上单调递减，所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以， 因为在上不单调，所以在上不单调，故舍去； 综上可得. 故答案为： 12. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知角终边上一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数定义计算即可得. 【详解】由三角函数定义可得，解得. 故选：C. 14. 设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 或为的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，求出公差和首项之间的等量关系，分别判断各选项正误. 【详解】由可得，即，故B正确； 因，所以，即A正确； 因为，，故，即C错误； 因为，，知是递减数列，又，所以为最大值，即D正确. 故选：C. 15. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 【答案】B 【解析】 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 16. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（    ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设定义的运算法则结合复数运算法则一一计算各选项即可判断. 详解】对于A，；故A正确； 对于B，若，则，，，故B正确： 对于C，，而， 设，， 则， ， 所以与互为共轭复数，不一定相等，故C错误； 对于D，设，则将，代入可得： ，故D正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知.设. （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得. 【小问1详解】 因为， ， 又因为三点共线，所以， 则， 解得. 【小问2详解】 由，可得，即 解得. 18. 已知复数，，其中i是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若，求的虚部． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）根据复数乘法和纯虚数的定义进行求解即可； （2）根据复数乘法运算法则，结合虚数单位的性质、复数虚部定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为为纯虚数，所以且，综上，． 小问2详解】 因为，所以，即， 所以，所以， 所以的虚部为1． 19. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求的大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 【答案】（1） （2）18 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，可化为，再由余弦定理得，即可得到； （2）由外接圆面积，得，再由正弦定理可得 ，由面积公式，可得，再由余弦定理，可得，即可求得周长. 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 设外接圆的半径为， 由， 得， 因为，解得， ， 所以， 又， 所以49= ， 故， 所以. 20. 已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的解析式，并写出其单调递增区间； （2）求函数在区间上的零点； （3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值. 【答案】（1），单调递增区间为； （2）、、；（3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的最小正周期求出的值，由图象的对称轴方程得出的值，从而可求出函数的解析式； （2）先利用图象变换的规律得出函数的解析式，然后在区间上解方程可得出函数的零点； （3）对分三种情况、、分类讨论，分析函数在区间上的单调性，得出和，可得出关于的表达式，再利用函数的单调性得出函数的最大值. 【详解】（1）由题意可知，，. 令，即， 即函数的图象的对称轴方程为. 由于函数图象一条对称轴方程为，， ，，，则，因此，. 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数. 再将所得函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数. 令，即，化简得， 得或. 由于，当时，；当时，或. 因此，函数在上的零点为、、； （3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，由于，， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，，由于，， 此时，； 当时，函数在区间上单调递减， 所以，，， 此时，. 所以，. 当时，函数单调递减，； 当时，函数单调递增，此时； 当时，，当时，. 综上所述：. 【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题. 21. 已知数列的前项和为，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）求出，分离参数并构造新数列，探讨数列单调性求出最小值即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，. 【小问2详解】 由（1）得， ， 则， 则， 所以； 【小问3详解】 ，不等式， 即对任意正整数都成立， 令，则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第3问，分离参数，构造新数列，再探讨单调性是求解的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期高一期末试卷 高一年级 数学学科 试卷 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果． 1. 函数的最小正周期是________． 2. 已知，且是第二象限角，则的值是________． 3. 已知向量，则的单位向量的坐标为_______. 4. 已知等比数列满足，则数列的通项公式_______． 5. 已知，，且在上的数量投影为，则_____． 6. 已知复数是实系数二次方程的一根，则b=______. 7. 若复数满足，则的最小值是__________. 8. 已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是_____． 9. 如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是_____． 10. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为_____． 11. 已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为________. 12. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知角终边上一点，若，则实数值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 14. 设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 或为的最大值 15. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 16. 在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量.类似的，可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，，规定如下运算法则：①；②；③；④.则下列结论错误的是（    ） A. 若，，则 B. 若，则 C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知.设. （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知复数，，其中i是虚数单位，． （1）若为纯虚数，求a值； （2）若，求的虚部． 19. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求大小； （2）若面积为，外接圆面积为，求周长. 20. 已知函数的最小正周期为，且其图象的一个对称轴为，将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求解析式，并写出其单调递增区间； （2）求函数在区间上的零点； （3）对于任意的实数，记函数在区间上的最大值为，最小值为，求函数在区间上的最大值. 21. 已知数列的前项和为，且，数列满足. （1）证明：等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$