第9讲 椭圆 （6个知识点8大题型）-2025 年新高二数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第9讲 椭圆 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 题型一：椭圆的定义及标准方程 【典例1-1】（2025·高二·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例1-2】（2025·高二·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【变式1-1】（2025·高二·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·广东广州·期中）方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2025·高二·河北石家庄·期末）若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 题型二：焦点三角形周长问题 【典例2-1】已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【典例2-2】（2025·高二·吉林松原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式2-1】（2025·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的两焦点分别为，，直线过交椭圆于M，N两点，则的周长为（   ） A． B．8 C．12 D．16 【变式2-2】（2025·高二·湖北·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2-3】（2025·高二·陕西铜川·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点.过点的直线与相交于，两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D． 题型三：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例3-1】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【典例3-2】（2025·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ． 【变式3-1】（2025·高三·云南德宏·期末）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为 ． 【变式3-2】已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为 . 【变式3-3】已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为 ． 题型四：轨迹问题—椭圆 【典例4-1】（2025·高二·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·高二·河北张家口·期中）已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·高二·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2025·高二·山东·期中）已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【变式5-1】（多选题）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为4 D．的周长为18 【变式5-2】（多选题）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【变式5-3】（多选题）（2025·高二·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 题型六：椭圆的离心率取值及范围问题 【典例6-1】已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【典例6-2】已知椭圆，点,在椭圆上，直线过原点，过点 且垂直于的直线交椭圆于点，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点,直线 交于点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·高二·福建泉州·期中）研究可得：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.若二次方程的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，则该斜椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·高二·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2025·河北·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 题型七：焦点三角形面积及其它问题 【典例7-1】（2025·高二·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【典例7-2】（2025·高二·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【变式7-1】已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【变式7-2】已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【变式7-3】（2025·高二·山东济南·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【变式7-4】（2025·高二·北京怀柔·期末）已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 题型八：椭圆的综合问题 【典例8-1】（多选题）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【典例8-2】（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．若点的坐标为，则的最小值为2 【变式8-1】（多选题）（2025·高二·云南保山·期中）已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【变式8-2】（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【变式8-3】（多选题）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 1．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 2．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（2025·高二·重庆·期中）若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·高二·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 9．（多选题）（2025·青海西宁·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点P在椭圆C上，点Q是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说明正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．圆E过点的切线斜率为 C．若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为 D．的最小值为 10．（多选题）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点、的距离之积等于，化简得曲线.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．的取值范围为 11．（多选题）（2025·高二·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 12．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 13．（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 14．（多选题）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（     ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 15．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 16．椭圆的离心率为 . 17．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 18．已知曲线上，则直线与的所有交点的横坐标之积为 ． 19．已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 20．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 21．（2025·高二·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 22．已知椭圆的离心率，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点作直线与椭圆相切，求直线的方程； (3)若过椭圆外一点可以作椭圆的两条互相垂直的切线，求点的轨迹方程. 23．（2025·高二·上海杨浦·期末）如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”. (1)求椭圆的离心率； (2)若“好三角形”满足：，求点的坐标； (3)证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 24．已知椭圆右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 椭圆 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 知识点诠释： 若，则动点的轨迹为线段； 若，则动点的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中； 知识点诠释： （1）这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （4） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. 知识点三：求椭圆的标准方程 求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法： （1）待定系数法：①若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.②由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：. （2）定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题. 知识点四：椭圆的简单几何性质 我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b. 椭圆的对称性 对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 椭圆的顶点 ①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）。 ③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作. ②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。 知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。 可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。 和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 ， ， 轴 长轴长=，短轴长= 离心率 题型一：椭圆的定义及标准方程 【典例1-1】（2025·高二·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 【典例1-2】（2025·高二·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【解析】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 【变式1-1】（2025·高二·北京顺义·期中）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点M到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆定义可知，，得， 又椭圆的两个焦点是和， 所以椭圆焦点在x轴上，且，所以， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：C 【变式1-2】（2025·高二·广东广州·期中）方程的化简结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可知，表达式可表示点到定点的距离之和为10， 且， 由椭圆定义可知点满足以为焦点，长轴长为10的椭圆方程， 所以可得. 故选：B 【变式1-3】过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由化简可得， 焦点为在轴上， 同时又过点，设， 有，解得， 故选：C 【变式1-4】（2025·高二·云南昭通·期中）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，则它的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 故选：B. 【变式1-5】（2025·高二·河北石家庄·期末）若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，， 所以椭圆的方程为. 故选：B. 题型二：焦点三角形周长问题 【典例2-1】已知椭圆，其左右焦点分别为.点是椭圆上任意一点，则的周长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．以上答案均不正确 【答案】C 【解析】由题意知：椭圆中， 所以的周长为 故选：C. 【典例2-2】（2025·高二·吉林松原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点作直线交于两点，则三角形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【解析】由椭圆的定义得， 则的周长为. 故选：D. 【变式2-1】（2025·高二·陕西汉中·期中）已知椭圆的两焦点分别为，，直线过交椭圆于M，N两点，则的周长为（   ） A． B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】由题知，， 由椭圆定义可知，的周长. 故选：B 【变式2-2】（2025·高二·湖北·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，则的周长为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解析】由题意知：椭圆中，则， 的周长 故选：C 【变式2-3】（2025·高二·陕西铜川·期中）已知，分别为椭圆的左、右焦点.过点的直线与相交于，两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D． 【答案】B 【解析】的周长为. 故答案为：12 题型三：椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值 【典例3-1】（2025·高二·江苏扬州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 由椭圆可知椭圆的实轴长，，， 圆的圆心，半径， 由已知圆上任意一点到得距离， 所以， 又根据椭圆定义， 则， 当且仅当，都在线段上时，等号成立， 故答案为：. 【典例3-2】（2025·河南开封·模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】根据椭圆的定义：， 取得最小值时， 即最小， 如图所示：，当，，共线时取得最小值． 的最小值为：﹒ 故答案为：. 【变式3-1】（2025·高三·云南德宏·期末）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为 ． 【答案】 【解析】由椭圆标准方程可知， 又点P在椭圆上，根据椭圆定义可得，所以 所以 易知，当且仅当三点共线时等号成立； 又，所以； 即的范围为. 故答案为： 【变式3-2】已知椭圆：，为椭圆上任意一点，点，，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】椭圆：中，，所以，所以为椭圆的左焦点， 又点，则，所以点在椭圆外， 所以当点为线段与椭圆的交点时最小， 其最小值为. 故答案为： 【变式3-3】已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】根据题意椭圆方程为， 所以，， 所以，， 故， 如图，根据椭圆定义可得： ， 当点运动到的延长线和椭圆交点时， 取得最大， 此时， 所以的最大值为. 故答案为： 题型四：轨迹问题—椭圆 【典例4-1】（2025·高二·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 【典例4-2】（2025·高二·海南海口·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点、，则， 由中点的坐标公式可得，所以，， 因为点在圆上，则，则，整理可得. 因此，轨迹的方程为. 故选：A. 【变式4-1】（2025·高二·河北张家口·期中）已知动圆过点，并且在圆内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设动圆圆心为，半径为 因为圆的圆心为，半径为， 由题有，又动圆过点，得， 即，则到两定点的距离之和为， 由椭圆的定义可知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上， 因为，得到，所以动圆圆心的轨迹方程为， 故选：C. 【变式4-2】平的内动点满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，点到两个定点的距离之和等于， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为焦点为的椭圆， 且，，即，则， 所以动点的轨迹方程为. 故选：A. 【变式4-3】（2025·高二·四川内江·期末）设O为坐标原点，长为4的线段的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，若点P满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点分别在x轴、y轴上滑动， 设，，，因为， 所以，整理得， 因为，， 所以，因为， 所以，解得， 又，所以， 整理得，则点的轨迹方程为 故选：A. 【变式4-4】（2025·高二·甘肃兰州·期末）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足（若在轴上，即为），则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设，，则， 因是线段的中点， 又因为点在曲线上，即， 故，即. 故选：A 【变式4-5】（2025·高二·山东·期中）已知在中，点，点，若，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则 所以， 又因为，所以， 化简得到，整理得到， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 题型五：椭圆的简单几何性质 【典例5-1】（多选题）已知椭圆的焦距是，则的值可能是（   ） A． B．13 C． D．19 【答案】BD 【解析】由题知或， 解得或. 故选：BD 【典例5-2】（多选题）（2025·高二·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【答案】BC 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 【变式5-1】（多选题）已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（    ） A．椭圆的长轴长为10 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的焦距为4 D．的周长为18 【答案】ABD 【解析】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 的周长为，D对. 故选：ABD 【变式5-2】（多选题）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【答案】BCD 【解析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故， 对于A：焦距，故选项A错误； 对于B：因为离心率，故选项B正确； 对于C：短轴长，故选项C正确； 对于D：离心率， 当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确； 故选：BCD 【变式5-3】（多选题）（2025·高二·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 题型六：椭圆的离心率取值及范围问题 【典例6-1】已知椭圆的左、右焦点分别是，P是椭圆外一点，直线的倾斜角为，，线段的中点在C上，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令椭圆半焦距为c,M为线段的中点，连接， 由,，得为等边三角形，则， 所以C的离心率为. 故选：B 【典例6-2】已知椭圆，点,在椭圆上，直线过原点，过点 且垂直于的直线交椭圆于点，过点且垂直于轴的直线交椭圆于点,直线 交于点，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意设,，则，， 因为，所以， 解得，所以， 设，则， 两式作差可得 ， 所以， 又，即，所以， 又，所以， 所以，所以椭圆的离心率. 故选：. 【变式6-1】（2025·高二·福建泉州·期中）研究可得：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点.若二次方程的图象是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，则该斜椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设椭圆上任意一点，该点绕原点逆时针旋转所得的点 在斜椭圆：上，因此， 整理得，所以该斜椭圆的离心率. 故选：A 【变式6-2】（2025·高二·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，，，则， 直线方程为，即， 与椭圆E：联立消y得，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以， 即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）. 故选：B 【变式6-3】（2025·河北保定·模拟预测）已知是椭圆上两点，分别为的左、右焦点，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知， ，由得，点共线. 又，设， 连接，则， 由椭圆的定义可知的周长为， 则，解得， 所以，再根据椭圆的定义可知，， 则在中，，即， 解得. 故选：D. 【变式6-4】（2025·河北·三模）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点（在轴上方），若的面积为，则椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解析：如图， 设圆与轴切于点，与切于点， 设椭圆与轴正半轴交于点，下面证明，重合， 设，， ，而， 与重合，即点是短轴的端点， ，，则，所以， 故选：C. 题型七：焦点三角形面积及其它问题 【典例7-1】（2025·高二·江苏·开学考试）已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为，，的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则面积为 ． 【答案】 【解析】如图所示，延长，交的延长线于点， 因为为的平分线，⊥，由三线合一得为等腰三角形， 即，为的中点， 因为为的中点，所以为的中位线， 故，设， 由椭圆定义知，， 由得，解得， 故，， 在中，由余弦定理得 ， 故， 故. 故答案为： 【典例7-2】（2025·高二·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【解析】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【变式7-1】已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则 . 【答案】 【解析】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 【变式7-2】已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意，，，， 中，， 所以， ∴， 所以. 故答案为：． 【变式7-3】（2025·高二·山东济南·期末）设、是椭圆的两个焦点，若椭圆上点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是、，则的值为 . 【答案】 【解析】 将椭圆化为标准方程可得，. 所以，，，. 所以，，，所以，. 根据正弦定理可得，，所以. 设，则. 由余弦定理可得，， 所以，， 整理可得，，显然、是方程的两个解， 所以， 所以的面积. 又， 所以，所以，. 故答案为：. 【变式7-4】（2025·高二·北京怀柔·期末）已知椭圆：的左右焦点分别是，，点在椭圆上，则 ；若，则点的横坐标的取值范围是 . 【答案】 【解析】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，，， 所以，， 由椭圆的定义可得， 设，则，， 因为，所以，即，， 解得，所以点的横坐标的取值范围是. 故答案为：；. 题型八：椭圆的综合问题 【典例8-1】（多选题）（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【解析】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 【典例8-2】（多选题）（2025·湖南邵阳·三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，上顶点为，，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的方程为 B．的取值范围为 C．若，则 D．若点的坐标为，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】A.设，，，， ，得，由可知，， 所以椭圆的方程为， A正确； B.的最大值为，最小值为， 所以的取值范围为，故B错误； C.因为， 由余弦定理可知，， ，所以，故C正确； D. 设点到点右准线的距离为，，则， 则，当垂直于准线时，此时最小， 最小值是点到的距离2，故D正确. 故选：ACD 【变式8-1】（多选题）（2025·高二·云南保山·期中）已知椭圆的焦点分别为、，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆上不存在点使得 C．直线的方程为 D．的周长为 【答案】BCD 【解析】椭圆的焦点分别为，，则，，，可得，故， 对于A，椭圆的离心率为，A错误； 对于B，假设在椭圆上存在点，使得，且，，，， ，在实数范围内无解， 椭圆上不存在点使得，B对； 对于C，设点，，由题意可得 若直线的斜率不存在，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以直线的斜率存在，则由 可得， 即，所以直线的斜率为，因此直线的方程为，即，C对； 对于D，因为，所以，直线过椭圆的上焦点， 所以的周长为： ， D对， 故选：BCD. 【变式8-2】（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．的周长为6 B．面积的最大值为 C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABC 【解析】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 则，，， 对于A：因为椭圆的方程为为椭圆上任意一点， 所以，，则的周长为6，故A正确； 对于B：当为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，此时面积为，故B正确； 对于C：因为，所以的取值范围为，故C正确； 对于D：因为，所以， 又，所以，故D错误， 故选：ABC. 【变式8-3】（多选题）设椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上一点，为原点，的最大值为，椭圆的离心率为，则（    ） A． B．若，，则的内切圆面积为 C．若轴，则 D．若的面积为，则为直角三角形 【答案】AD 【解析】易知当点在短轴顶点处时最大，为，此时，，则，所以，A正确； 由A知，当时，，设内切圆半径为，则，则，则的内切圆面积为，B错误；，若轴，则，代入椭圆方程得，则，所以，C错误； 由，得，代入椭圆方程得，则，所以轴或轴，D正确． 故选：AD． 1．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，设为坐标原点，为上一点，若的面积为，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， 设，则 ， 故选：A 2．设点F为椭圆E：（）的右焦点，M是圆O：与x轴正半轴的交点，过点M作圆O的切线，交椭圆E于A，B两点，若△ABF的周长是4b，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，易知，， 将代入椭圆E：得：，解得 不妨设，则， 因为，所以，所以， ， 因为的周长是4b，所以， 即，所以. 故选：B 3．已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为椭圆的方程为， 所以，则 所以的离心率为． 故选：B 4．已知椭圆与圆，圆都相切，则椭圆的焦距为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【解析】依题意，圆内切于椭圆，且椭圆内切于圆， 由对称性得，则，， 则椭圆的焦距. 故选：C 5．（2025·高二·重庆·期中）若在同一个平面直角坐标系内，一个椭圆绕其中心旋转，所得椭圆短轴两个顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则这个椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意. 故选：B. 6．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期中）已知，是椭圆上两点，，分别在的左、右焦点，，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 由椭圆的定义可得：， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 化简可得：，解得：， 所以， 又因为，所以， 所以. 故选：D. 7．（2025·高二·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 8．（2025·江西新余·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆上，且，若，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】依题意，，故，故， 在中，，且，故为等边三角形， 故，得，则. 故选：D. 9．（多选题）（2025·青海西宁·模拟预测）已知椭圆的两个焦点分别为，（其中），点P在椭圆C上，点Q是圆上任意一点，的最小值为2，则下列说明正确的是（   ） A．椭圆的焦距为1 B．圆E过点的切线斜率为 C．若A，B为椭圆C上关于原点对称且异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB的斜率之积为 D．的最小值为 【答案】BD 【解析】对于A，圆圆心，半径，圆与椭圆相离，而点在椭圆上， 点在圆上，则， 当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，因此， 解得，则椭圆的焦距为2，且椭圆的方程为，A错误； 对于B，过的圆切线的斜率存在，设此切线方程为，于是，解得，B正确； 对于C，设，有，且，即， 直线的斜率分别为，因此，C错误； 对于D， ，当且仅当分别是线段与椭圆、圆的交点时取等号，D正确. 故选：BD 10．（多选题）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）.在平面直角坐标系中，动点到两个定点、的距离之积等于，化简得曲线.则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【解析】由题意得：， 即，则，解得：， 令，则，所以. 对于A选项：方程中的换成方程不变，所以曲线关于轴对称，A选项正确； 对于B选项：， 当且仅当，即时等号成立，所以B选项正确； 对于C选项：面积为， 则面积的最大值为，所以C选项错误； 对于D选项：因为， 则的取值范围为，所以D选项正确， 故选：ABD. 11．（多选题）（2025·高二·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【解析】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图： 由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 12．（多选题）（2025·甘肃白银·三模）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】AD 【解析】， ，解得. 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， 椭圆的焦距为， 椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误. 故选：AD. 13．（多选题）（2025·高二·福建福州·期中）已知椭圆的左，右焦点为，，，分别为它的左右顶点，点为椭圆上的动点（不在轴上），下列选项正确的是（） A．的周长为 B．存在点使得 C．直线与直线的斜率乘积为 D．的最小值为1 【答案】ABD 【解析】椭圆，则，则， 对于A：因为，所以的周长为，故A正确； 对于B：当在椭圆的短轴顶点时取得最大值， 不妨取，此时， 所以为钝角，所以存在点使得，B正确； 对于C：因为，设， 则，故C错误； 对于D：因为， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故D正确； 故选：ABD 14．（多选题）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（     ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【答案】BD 【解析】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，以线段为直径的圆与椭圆有交点，因此存在点，使得，D正确； 故选：BD. 15．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 【答案】 2 【解析】∵，，∴， ∴，又，， ∴，在中，由余弦定理，得， ∴. 故答案为：2； 16．椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【解析】由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 17．（2025·陕西汉中·模拟预测）在平面直角坐标中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为上一点，记在点处的切线，过点作于点，则的长为 ． 【答案】 【解析】由条件可知，，解得：，， 所以椭圆，所以在点处的切线方程为，即， 因为，所以直线， 联立，解得：，，即，且 所以. 故答案为： 18．已知曲线上，则直线与的所有交点的横坐标之积为 ． 【答案】 【解析】由，得， 即4或， 所以曲线由圆与椭圆组成， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，， 则，则， 故答案为： 19．已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 20．（2025·高二·四川绵阳·期中）已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C有交点，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意，则，又，则，则， 所以C的标准方程为. （2）联立与，有，整理得， 由题意，，则，则. 21．（2025·高二·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 【解析】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 设，可得， 又，解得，，则的纵坐标为. 22．已知椭圆的离心率，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点作直线与椭圆相切，求直线的方程； (3)若过椭圆外一点可以作椭圆的两条互相垂直的切线，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由题意知，离心率，且短轴长为，可得，                                     又，所以，故椭圆的标准方程为. （2）由椭圆，可得点在椭圆上， 则直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程组，可得， 因为直线与椭圆相切，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. （3）当切线斜率不存在或为0时，此时点； 当切线斜率存在且不为0时，且， 设切线方程为，联立方程组 ， 整理得， 由，可得，即，             因为两条切线互相垂直，所以，可得，                               此时，点的轨迹方程为， 综上所述，点的轨迹方程为. 23．（2025·高二·上海杨浦·期末）如图，已知椭圆的焦距为2.若是椭圆的内接三角形，点在轴上方，PQ,PR分别经过椭圆的左右焦点，则称为“好三角形”. (1)求椭圆的离心率； (2)若“好三角形”满足：，求点的坐标； (3)证明：当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 【解析】（1）依题意，椭圆的半焦距，则，椭圆：的离心率. （2）设，而，由，得， 因此，消去得，解得，， 所以点. （3）设， 由点在轴上方，得均不与轴重直，设， ， 由得， 则，即， 而，于是，即， 同理，因此，又， 则，而， 从而，记， 下面证明不等式对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 即证对任意恒成立， 而，因此对任意恒成立， 所以当时，取得最大值，即当点是椭圆的上顶点时，“好三角形”的面积最大. 24．已知椭圆右顶点到左焦点的距离为，上顶点的坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点. 【解析】（1）由题意可得 ：且， 解得：， 所以椭圆的方程为； （2）由题意，可设直线的方程为 ，，则 联立方程组消去得方程：， ， 所以， 所以直线的方程为：， 令，则， 故直线过定点. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$