精品解析：上海市吴淞中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

上海市吴淞中学2024-2025学年高二下学期期末考试卷 一、填空题 （本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分） 1. 椭圆的短轴的长是__________. 2. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为___________． 3. 若直线，夹角为，则m的值为___________. 4. 过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是__________． 5. 已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是__________． 6. 设点的坐标为，点关于平面的对称点是__________． 7. 已知向量平行于向量，求_______，_______. 8. 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. 9. 已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 11. 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 12. 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只移动个金属片； （2）较大金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动_________________次. 二、选择题 （本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 下列双曲线中，以直线为渐近线的是 A. B. C. D. 14. 下述三个命题中，真命题有（ ） 命题：若数列的前项和，则数列是等比数列； 命题：若数列的前项和，则数列是等差数列； 命题：若数列的前项和，则数列既是等差数列，又是等比数列． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 已知曲线，过点作该曲线5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题 （本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分） 17. 如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点. （1）求证：； （2）求的长. （3）求与所成角的余弦值； 18. 已知数列的递推公式为 （1）求证：为等比数列； （2）求的通项公式． 19. 已知抛物线. （1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； （2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. （1）求证：； （2）当为钝角时，求实数的取值范围； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 21. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市吴淞中学2024-2025学年高二下学期期末考试卷 一、填空题 （本大题共12题，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，共54分） 1. 椭圆的短轴的长是__________. 【答案】6 【解析】 【分析】方程化为椭圆的标准方程，即可得出，求解即可. 【详解】由可得， 所以，即，， 所以椭圆的短轴的长为， 故答案：6 2. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为，则该双曲线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，需要分别设双曲线的方程，将条件代入求解即可. 【详解】考虑到双曲线的实轴可能在x轴，也可能在y轴，分别设双曲线方程如下： 实轴在x轴时，设双曲线方程为： ，则有 …① 其渐近线方程为 ，即 …② 联立①②，解得 ，双曲线方程为 ； 实轴在y轴时，设双曲线方程为 ，则有…③ 其渐近线方程为 ，即 …④ 联立③④，无解； 故答案为： . 3. 若直线，的夹角为，则m的值为___________. 【答案】0 【解析】 【分析】先求出的倾斜角，根据直线与的夹角为，求出的倾斜角，继而求出m. 【详解】直线的斜率为-1，倾斜角为，由题知，直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或0（舍），所以. 故答案为：0. 4. 过圆外一点任意引一条割线交圆于、两点，求弦的中点的轨迹是__________． 【答案】以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算化简，即可得到结果. 【详解】        如图所示，设弦的中点的坐标为，连接，由， ，可得，即，得．又，， 于是，即． 因此，点的轨迹是以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 故答案为：以为圆心、为半径，且位于圆内的一段圆弧. 5. 已知点的坐标为，点为抛物线的焦点，若点在此抛物线上移动，求取得最小值时点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，把转化为，利用当三点共线时，取得最小值，把代入抛物线解得值，即得的坐标. 【详解】根据题意，作图如下， 设点在其准线上的射影为， 由抛物线的定义得， 所以欲使取得最小值，就是使最小， ，当且仅当三点共线时，等号成立. 即点的纵坐标， 设点的横坐标为， 为抛物线上的点，， 所以点的坐标为. 故答案为：. 6. 设点的坐标为，点关于平面的对称点是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的对称性质求解即可. 【详解】点关于平面的对称点是. 故答案为：. 7. 已知向量平行于向量，求_______，_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算的性质求解即可. 【详解】由题意，设， 则，解得，. 故答案为：；. 8. 现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升. 【答案】## 【解析】 【分析】设出数列的公差，进而用基本量表达条件并求出首项和公差，进而求得答案. 【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，由题意，所以. 故答案为：. 9. 已知数列的通项公式是，数列最大项是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设数列第项最大，将通项公式代入不等式组，求出，即可得到数列的最大项. 【详解】， ，， 取最大值，有， ，解得：， 当时，；当时，； 所以最大项为，且. 故答案为：. 10. 抛物线的焦点为，准线为，点是准线上的动点，若点在抛物线上，且，则（为坐标原点）的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义求出，设点关于直线对称点为，则，从而可求出的最小值. 【详解】由，得，所以，准线为， 不妨设点在第一象限，过作于，则，得， 则，得，所以， 设点关于直线对称点为，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为， 故答案为： 11. 请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 12. 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动_________________次. 【答案】 【解析】 【分析】依次判断时的移动次数，根据规律可推理得到移动次数. 【详解】设是把个盘子从号针移到号针的最少移动次数， 当时，； 当时，小盘号，大盘号，小盘从号号，； 当时，用次把中小两盘移动到号，再将大盘移动到号，接着再用次把中小两盘从号转移到号， ； 以此类推，当且时，， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， 经检验：满足，则. 故答案为：. 二、选择题 （本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13. 下列双曲线中，以直线为渐近线的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得， 因此以为渐近线的双曲线方程为， 当时，方程为， 故选：B． 14. 下述三个命题中，真命题有（ ） 命题：若数列的前项和，则数列是等比数列； 命题：若数列的前项和，则数列是等差数列； 命题：若数列的前项和，则数列既是等差数列，又是等比数列． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】利用与的关系、等差和等比数列定义，结合反例可依次说明各命题的正误. 【详解】对于命题，当时，； 当且时，， 那么当时，数列为，不是等比数列，命题错误； 对于命题，当时，； 当且时，， 此时； 那么当时，， 数列不等差数列，命题错误； 对于命题，当时，； 当且时，； 那么当时，数列为，是等差数列，但不是等比数列，命题错误. 故选：A. 15. 已知曲线，过点作该曲线的5条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系求出最短弦长和最长弦长，然后利用等差数列基本量运算求解即可. 【详解】曲线，即 由已知圆的圆心为，半径为，因为， 所以点在圆内，且， 所以过点的最短弦长为，最长弦长为直径长， 从而公差. 故选：B 16. 在平面直角坐标系中，已知点，点是平面内的一个动点，若以为直径的圆与圆：相切，记点P的轨迹为曲线C，过曲线C上一点Q作直线分别与直线，相交，交点为M、N，且交点分别在第一象限和第四象限，若，，则面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再设出点的坐标，并表示出点，将三角形面积表示为的函数，借助对勾函数的性质求出范围. 【详解】依题意，以为直径的圆的圆心为，而点在圆外，且圆圆心，半径1， 由两圆相切，得，整理得， 设，由，得， 而点在上，则，整理得， 直线，的倾斜角为，则， 的面积， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此， 所以面积的取值范围为. 故选：D 三、解答题 （本大题共5题，第17—19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分） 17. 如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点. （1）求证：； （2）求长. （3）求与所成角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，证明即可； （2）求出的坐标，由模长公式求模长即可求解； （3）求出和的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为，， 所以， 所以即. （2）， 所以， 所以的长为. （3）由（1）知，， ， ，， 设与所成角，则 ， 故与所成角的余弦值为. 18. 已知数列的递推公式为 （1）求证：为等比数列； （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将，变形为，利用等比数列的定义求解； （2）由（1）知是等比数列，利用等比数列的通项公式求解. 【小问1详解】 解：因为递推公式为． 变形为． 易证，于是，故． 所以是以为首项、以2为公比的等比数列． 【小问2详解】 由（1）知是以为首项、以2为公比的等比数列， 所以， 从而，这就是的一个通项公式． 19. 已知抛物线. （1）倾斜角为的直线过的焦点，且与交于、两点，求； （2）设是上一点，、是的准线上两个不同的点，且圆是的内切圆.，求点的横坐标； 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据已知得直线为，联立抛物线，应用韦达定理及抛物线的定义求； （2）设，，切线为，根据内切圆及点线距离公式得，进而得到且，即可求的横坐标； 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，则设直线为， 设点， 联立直线与抛物线方程可得， 因此，所以； 【小问2详解】 设，于是有，的准线方程为， 设，过的直线的方程可设为， 根据题意，两直线均与圆相切，因此， 化简得， 设的斜率为， 因此， 将代入上式，化简得，解得或（舍）， 因此点的横坐标为3. 20. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，且. （1）求证：； （2）当为钝角时，求实数的取值范围； （3）若二面角的大小为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，即可证明； （2）首先求出点坐标，即可表示出，，依题意可得，即可求出取值范围； （3）利用空间向量法求出二面角二余弦值，即可求出，从而得到平面的法向量，再由向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为底面为正方形，底面， 如图以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，， 当为钝角时，， 化简得，解得， 显然不平行，所以； 【小问3详解】 因为，，显然， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则，则， 又平面的一个法向量为， 则有，解得， 又由已知，所以. 所以，， 由， 所以点到平面的距离为. 21. 在平面直角坐标系中，已知曲线，点P、Q分别为上不同的两点，． （1）求所在椭圆的离心率； （2）若在y轴上，若T到直线的距离为，求P的坐标； （3）是否存在t，使得是以T为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求t的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接求离心率； （2）问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切，且切线与有交点，设切线方程，利用与圆相切关系求参数，进而确定P的坐标； （3）设，，联立椭圆方程，结合韦达定理、判别式得，注意讨论、，确定中点为，再结合、求参数范围. 【小问1详解】 由，则，即离心率为； 【小问2详解】 由题设，问题化为以为圆心，为半径的圆与过的直线相切， 且切线与有交点，显然切线斜率存在，令切线为， 所以，可得，则或， 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，满足； 当，则切线为，联立，可得， 则或，故此时，不满足； 综上，. 【小问3详解】 由题设，直线的斜率存在，可设，， 联立，整理得， 其中，即， 所以，，则， ， 所以且，故， 当时，则且，则，此时，满足； 当，而的中点为，又， 则，即， 且， ， 所以，则， 所以，则，故 所以，则 综上，. 【点睛】关键点点睛：第三问，设，，根据已知得到，且、的应用为关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$