第1、2章 数学与我们同行 有理数（中等类型）【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

第1、2章 数学与我们同行 有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上有理数比较大小 【解惑】在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴的性质以及有理数的大小比较，解题的关键是根据数轴上点的位置判断出a，b的正负性和绝对值大小关系． 先根据数轴判断a，b的正负性与绝对值大小．再根据相反数的性质得到的正负性，最后比较的大小． 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数， 所以， 故选：C． 【融会贯通】 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如下图所示，这三个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，根据有理数大小比较方法，越靠近原点其绝对值越小，进而分析得出答案． 【详解】解：实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示， 这三个数中，实数a离原点最近，所以绝对值最小的是：a， 故选：A． 2．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了数轴的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据数轴上各数的位置得出，容易得出结论； 【详解】解：根据题意由数轴得：， ∴， 故答案为：； 3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于a，，，1的大小关系按从小到大是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小，熟练根据数轴上的位置确定有理数的大小是解题的关键． 在数轴上表示出表示的点，根据有理数在数轴上的位置得出结论即可． 【详解】解：由数轴知，， 故答案为：． 类型二、绝对值的非负性 【解惑】若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质列式求出m、n，然后代入计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了非负数的性质，熟练掌握其性质并加以应用是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选A． 2．若 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，以及平方的非负性，根据得出解出，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 解得， ∴， 故答案为：． 3．已知，则的相反数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查非负性，相反数的定义，根据非负数的性质，可求出的值，相加后取相反数即可，理解非负性，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， ∴的相反数为， 故答案为：． 类型三、点在数轴上平移问题 【解惑】如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的平移，掌握“左减右加”的原则是解答本题的关键．根据“左减右加”的原则即可求解． 【详解】解：将点向右平移个单位，对应的数是， 故选：B． 【融会贯通】 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 2．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 3．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 类型四、绝对值在数轴上化简 【解惑】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴和绝对值，解答此题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质进行化简． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：由数轴得：，即 则原式， 故选：D． 【融会贯通】 1．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简的结果为（   ） A． B． C． D．b 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，绝对值，相反数，掌握负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 根据数轴得到，再根据负数的绝对值是它的相反数得到，进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：A ． 2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 【答案】 【分析】从数轴上得到：，再根据绝对值运算结果的正负去掉绝对值符号，计算出结果．本题考查了绝对值和数轴的应用，关键根据数轴上的点来判断绝对值运算的结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)______，______，______；（填“”，“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数轴，实数比较大小，绝对值的化简，根据数轴得到是解题的关键． （1）根据数轴得到，进而得出，，，即可得到答案； （2）去掉绝对值符号，再化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴可知，， ，，， 故答案为：； （2）解： ，，， ． 类型五、绝对值的分类讨论 【解惑】已知，，且，则的值为（   ） A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1 【答案】A 【分析】本题主要考查的是有理数的减法、有理数的乘法、绝对值，利用分类讨论思想解题是关键． 由可知a、b异号，从而得到或，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵，则a、b异号， ∴或． 当时，； 当时，． 故选：A． 【融会贯通】 1．若，且，则的值是（   ） A．5或 B． C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值，有理数的加法，先根据绝对值的性质求出a、b的值，再根据进一步确定a、b的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值是5或， 故选：A． 2．若，，且，则的值为 【答案】 【分析】此题考查绝对值，有理数的加法，有理数的乘法，解题关键在于掌握运算法则． 根据，，且，可以求得a、b的值，从而可以求得a+b的值． 【详解】解：∵，，且， ∴或， ∴当时，， 当时，， 即的值为． 故答案为： 3．已知，，且，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义及化简是解题的关键，根据绝对值的意义以及有理数乘法的法则可得到，或，， 然后分别代入化简求值即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，或，， 当，时， ， 当，时， ， 综上： 类型六、日历问题 【解惑】如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的9倍， 故选：C． 【融会贯通】 1．下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的计算，通过观察发现日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数之间的内在联系，是完成本题的关键．通过观察可知，日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数，据此特点对题目中的四个选项中的数据进行分析即可． 【详解】解：日历中任意圈出同一竖列上相邻的三个数中每相邻的两个数都相差7，且中间的数为三个数的平均数． A、，不能整除，不符合要求； B、，不能整除，不符合要求； C、，，，符合日历中数竖列上相邻的三个数的特点； D、，不能整除，不符合要求； 故选：C． 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是 ． 【答案】7或﹣7/﹣7或7/ 【分析】根据题意得∶可选取：1，2，8，9，再根据方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，即可求解． 【详解】解：根据题意得∶可选取：1，2，8，9， 则2×8﹣1×9＝7， 1×9﹣2×8＝﹣7． 故答案为：7或﹣7． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，明确题意，理解方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数是解题的关键． 3．如图①是年月份的日历，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图①中的结果为________；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值为________； (2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整． 设，则________，________，________． 求的值． (3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究． 在日历中用“型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，，， (3)的值均为，理由见解析 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的加减混合运算，列代数式，整式的加减运算等知识点，通过观察日历发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法，进行计算可求出，根据日历排序规律即可求出； （2）根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差，设，依次得到，，的代数式，进行计算，即可； （3）据日历的排序规律可发现规律，在日历中用“型框”框住位置如图所示的四个数，设，依次得到，，的代数式，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ； 根据日历的排序规律：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差， ∴，，， ∴ ． 故答案为：，． （2）解：每一行相邻数字之间相差，每一列相邻数字之间相差， 设， ∴，，， ∴ ． 故答案为：，，，． （3）解：的值均为，理由如下： 设，则，，， ∴ ． 类型七、幻方、幻圆问题 【解惑】数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法是解题的关键． 设小圈上的数为和，大圈上的数为，根据，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出两个圈的和是2，横，竖的和也是2，由此进行分析即可． 【详解】解：设小圈上的数为和，大圈上的数为， ∵，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横，竖的和也是2， ， 得， ， ∴和为和和为和6；或和为和和为和4， 或6或或4， 或或或， ∴不可能为3， 故选：D． 【融会贯通】 1．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，如图①就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据幻方的性质，根据图②的中心数，找到每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和，再求出右下角的数，即可得到a值． 【详解】解：由图①可知： 每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都是中心数的3倍，即15， ∴图②中每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都是， ∴图②中右下角的数为， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了幻方，幻方是数学中的趣味性问题，关键是求出每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和． 2．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是有理数的加法及解一元一次方程、求代数式的值，关键在于理解题意，正确计算出a、b的值． 因为这8个数字的和是，所以横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于，因此；内圈右边的圆圈应填3，则或，或． 【详解】解∶这8个数字的和是， 横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都等于， 根据题意有∶，解得； 根据内圈正方形的4个数字之和等于，得内圈右边的圆圈应填3，则或． 因此，或． 故答案为：或． 3．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或11 【分析】本题考查了有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）由题意求出每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （2）由题意求出新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和，然后依次求出三阶幻方内的其他数字即可； （3）根据题意求出每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和，再求出m、n的值，进而即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意可知：每行、列和对角线上的数字之和都相等， 和对角线上的数字之和， 第三行第三列上的数字为， 第一行第二列上的数字为， 第一行第一列上的数字为， 第二行第一列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 补充完整的三阶幻方如图所示： （2）解：根据题意，新的三阶幻方的每行、列和对角线上的数字之和为：， 第一行第一列上的数字为， 第二行第二列上的数字为， 第二行第三列上的数字为， 第三行第一列上的数字为， 第三行第三列上的数字为 补充完整的新的三阶幻方如图所示： （3）解：根据题意得：每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为： ， ，，， 解得：，，或， 或11． 类型八、格子乘法 【解惑】我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．例如，如图1所示，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果计入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】设左上角的数字为x，根据“铺地锦”的定义可求出，再根据，，且都为正整数，即可求出a的值． 【详解】设左上角的数字为x，如图， 根据“铺地锦”的定义可得：， ∴． ∵，，且都为正整数， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查新定义．读懂题意，理解“铺地锦”的运算法则是解题关键． 【融会贯通】 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，理解题中所给运算方式是解题的关键． 根据图1，理解“铺地锦”这一运算方法，再据此对图2进行计算，并对所给说法进行判断即可． 【详解】解：由题知， ，， 则或3或6． 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又因为，， 所以，，， 所以． 由得， ，． 故①②错误，③正确． 所以运算结果为15232． 故④错误． 故选：A． 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；根据题中所给运算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 因为这两个两位数相乘的结果为2176，所以， ∵m、n为正整数， ∴或， 当时，，因为b、c是10以内的正整数，所以不存在两个正整数的乘积是22，故不符合题意； ∴， ∴； 故答案为． 3．请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 用“铺地锦”计算乘法 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图1，是一个的方格，每个小方格中都画有一条对角线，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘47的每位数字，将结果计入对应格子的三角形中（如的12写在3下面的方格里，十位数字1写在斜线的上面，个位数字2写在斜线的下面；的4写在斜线下面，十位数字补0写在斜线的上面……），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线左下端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1457，即．当斜线数字相加满10时要向前进位，如图2，计算时，，17的个位数字7依然写在斜线左下端位置，十位数字向前进位，并写在前一斜线的左下端位置．，即：．    任务： (1)用“铺地锦”的方法计算，将算法填在图3中； (2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题． A.如图4，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含的代数式表示），可得的值为________，乘法运算的结果是________． B．如图5，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含的代数式表示），可得的值为________，乘法运算的结果是________． 【答案】(1)1775 (2)A.2，896；B.3，1248 【分析】（1）利用“铺地锦”的方法计算即可； （2）根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）如图，    所以，， 故答案为：1775； （2）选A，如图，    ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，    所以，乘法运算的结果是896， 故答案为：2，896； 选：B 由题意得， 又 ∴ 解得，， 如图，    计算结果为：1248， 故答案为：3，1248 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解答的关键是根据题意列出相应的方程． 类型九、个位数字规律问题 【解惑】嘉嘉和淇淇一起观察下列乘方计算结果的个位数字：，，，，，，，，…，关于他俩的结论，判断正确的是（   ） 嘉嘉：（是大于的整数）； 淇淇：若（是正整数）的个位数字是，则能被整除 A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉、淇淇的都正确 D．嘉嘉、淇淇的都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类，有理数的乘方，根据乘方的意义可判断嘉嘉的判断，由数字规律可得个位数字，，，四个数一循环，则当指数为倍数时，个位数字为，即可判断淇淇的判断，正确找出规律是解题的关键． 【详解】解：（是大于的整数）， 故嘉嘉判断不正确， ∵，，，， ，，，， …， ∴个位数字，，，四个数一循环， ∴当指数为倍数时，个位数字为， 故（是正整数）的个位数字是，则能被整除，淇淇的判断正确， 故选：． 【融会贯通】 1．观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知的式子可以得到，末尾数字以3，9，7，1这四个数字为周期循环； 然后再分析2025中有多少个4，然后由得到的余数来确定所求数的末尾数字，据此解答即可. 本题是有关探究规律的问题，观察得到末尾数字的循环规律是解答本题的关键. 【详解】解：根据已知的式子可以得到，末尾数字以3，9，7，1这四个数字为周期循环， 由， 故个位数字是3， 故选：A. 2．计算：，，，，…归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的计算结果中的个位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数的乘方，数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，计算结果中的个位数字依次为1，3，7，5，每4次计算为一个循环，由，作答即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴计算结果中的个位数字依次为1，3，7，5，每4次计算为一个循环， ∵， ∴的计算结果中的个位数字是5， 故答案为：5． 3．计算：，，，，，…归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的计算结果中的个位数字． 【答案】5 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，数字的变化类、尾数特征，根据题目中的式子可以计算出前几个数字，从而可以发现个位数字的变化规律，进而可以得到的个位数字． 【详解】解：，，，，，，，… 由此可以猜测计算结果中的个位数字按照1，3，7，5的顺序进行循环． 因为，且第4个计算结果中的个位数字为5， 所以猜测的计算结果中的个位数字是5． 类型十、拆项法和倒数法 【解惑】阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查有理数四则混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）在利用分配律计算时，除法需要先变成乘法，才能够使用，并且需要连同其前面的正负号带上，通过观察三种解法即可得到答案； （2）通过观察可得到解法三最简便，所以利用解法三的方法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在利用分配律的时候，除法需要先变成乘法，才能够使用，且解法一的计算结果与其它两种不同， ∴解法一不正确； 故答案为：一； （2）解：原式的倒数 ， 故原式． 【融会贯通】 1．数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 2．孙老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式； ； ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2025 (2) 【分析】本题考查有理数的加减法、除法运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算方法． （1）根据题意给出的运算方法以及有理数的加减运算法则即可求出答案； （2）根据题意给出的运算方法以及有理数的除法运算法则即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； （2）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1、2章 数学与我们同行 有理数思维导图 【类型覆盖】 类型一、数轴上有理数比较大小 【解惑】在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如下图所示，这三个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．无法确定 2．若有理数、在数轴上的位置如图所示，则、的大小关系为 ．（填“”或“”） 3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则关于a，，，1的大小关系按从小到大是 ． 类型二、绝对值的非负性 【解惑】若，则（ ） A．2 B．7 C．8 D．5 【融会贯通】 1．若、满足，则的值（ ） A． B．1 C．5 D． 2．若 则 ． 3．已知，则的相反数为 ． 类型三、点在数轴上平移问题 【解惑】如图，将点向右平移个单位，对应的数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 2．在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 3．，分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 类型四、绝对值在数轴上化简 【解惑】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．设有理数a，b在数轴上的位置如图，化简的结果为（   ） A． B． C． D．b 2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． 3．已知为实数，且它们在数轴上对应的点的位置如下图所示． (1)______，______，______；（填“”，“”或“”） (2)化简：． 类型五、绝对值的分类讨论 【解惑】已知，，且，则的值为（   ） A．5或 B．1或 C．3或 D．5或1 【融会贯通】 1．若，且，则的值是（   ） A．5或 B． C．1 D．1或 2．若，，且，则的值为 3．已知，，且，求的值． 类型六、日历问题 【解惑】如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【融会贯通】 1．下表的日历中，任意圈出一竖列上相邻的三个数，则这三个数的和可能是（   ） A．38 B．40 C．51 D．62 2．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2021年1月的日历，我们任意选择其中如图所示的方框部分，将方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，结果都是一个常数，这个常数是 ． 3．如图①是年月份的日历，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图①中的结果为________；将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值为________； (2)数学思考：小明探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将其补充完整． 设，则________，________，________． 求的值． (3)拓广探究：同学们利用小明的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究． 在日历中用“型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 类型七、幻方、幻圆问题 【解惑】数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【融会贯通】 1．幻方是一种中国传统数学游戏，将9个数填在（三行三列）的方格中，每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，如图①就是一个幻方．图②是一个未完成的幻方，请你类比图①推算出图②a处所对应的数字是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．爱动脑筋的小明同学设计了如图所示的“幻方”游戏图，将1，，3，，5，，7，分别填入图中的圆圈内，使得横、竖以及内外两个正方形的4个数字之和都相等，他已经将、5、7、这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ． 3．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列的正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字之和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，将图2中的三阶幻方补充完整； (2)如图3是一个新的三阶幻方，请根据图中给出的数据，将，，0，1，4这五个数字填入表格（数字不重复使用），补全这个新的三阶幻方； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“〇”中的数的和都相等．则　　　　（注：） 类型八、格子乘法 【解惑】我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种计算乘法的方法，称为“铺地锦”．例如，如图1所示，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘以47的每位数字，将结果计入对应的格子中（如的12写在3下面的方格里，十位1写在斜线的上面，个位2写在斜线的下面），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线末端，最后把得数依次写下来是1457，即．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【融会贯通】 1．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为33102．图2表示一个三位数与一个两位数相乘．下列说法：①；②；③；④运算结果大于16000．根据图1的运算规律判断其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，得2176，则 ． 3．请阅读下列科普材料，并完成相应的任务． 用“铺地锦”计算乘法 我国明朝数学家程大位所著的《算法统宗》中介绍了一种乘法的计算方法，称为“铺地锦”．如图1，是一个的方格，每个小方格中都画有一条对角线，计算，首先把乘数31和47分别写在方格的上面和右面，然后以31的每位数字分别乘47的每位数字，将结果计入对应格子的三角形中（如的12写在3下面的方格里，十位数字1写在斜线的上面，个位数字2写在斜线的下面；的4写在斜线下面，十位数字补0写在斜线的上面……），再把同一斜线上的数相加，结果写在斜线左下端对应的方格旁，最后把得数依次写下来是1457，即．当斜线数字相加满10时要向前进位，如图2，计算时，，17的个位数字7依然写在斜线左下端位置，十位数字向前进位，并写在前一斜线的左下端位置．，即：．    任务： (1)用“铺地锦”的方法计算，将算法填在图3中； (2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择________题． A.如图4，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含的代数式表示），可得的值为________，乘法运算的结果是________． B．如图5，用“铺地锦”的方法计算两个两位数相乘，则△表示的数是________（用含的代数式表示），可得的值为________，乘法运算的结果是________． 类型九、个位数字规律问题 【解惑】嘉嘉和淇淇一起观察下列乘方计算结果的个位数字：，，，，，，，，…，关于他俩的结论，判断正确的是（   ） 嘉嘉：（是大于的整数）； 淇淇：若（是正整数）的个位数字是，则能被整除 A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．嘉嘉、淇淇的都正确 D．嘉嘉、淇淇的都不正确 【融会贯通】 1．观察下列算式：，，，，，，，……，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（ ） A．3 B．9 C．7 D．1 2．计算：，，，，…归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的计算结果中的个位数字是 ． 3．计算：，，，，，…归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的计算结果中的个位数字． 类型十、拆项法和倒数法 【解惑】阅读下面材料： 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数，故原式． (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法______是错误的； (2)请你进行简便计算：． 【融会贯通】 1．数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 2．孙老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式； ； ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 3．数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$