2.6—2.7 有理数的乘方与混合运算-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

2.6—2.7 有理数的乘方与混合运算 一、有理数的乘方 1.有理数乘方的意义 理解有理数乘方的意义，掌握乘方、幂、指数、底数等概念，发展抽象能力。乘方是求相同因数的积的运算。例如，a的n次方表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数，乘方运算的结果叫作幂。 2.有理数的乘方运算 会进行有理数的乘方运算，强化运算能力。特别地，一个数的二次方也称为这个数的平方，任意一个数的平方是非负数；一个数的三次方也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数。进行有理数的乘方运算时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 3.科学记数法 会用科学记数法表示实际生活中大于10和小于1的数。科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，其形式为a×10的n次方，其中1≤a<10，n为整数。 二、 有理数的混合运算 1.有理数混合运算的顺序 掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算。有理数的混合运算顺序为：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。同级运算按照从左到右的顺序进行。 2.运算律的应用 在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算。有理数的运算律包括加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。灵活使用运算律，可将计算过程变得简洁。 巩固课内例1:整数的乘方运算 1．的平方是（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平方的计算，熟练掌握方法是解答本题的关键．根据平方计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．计算： ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，根据计算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)1； (2)2； (3)0； (4)； (5)； (6)． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： 【点睛】本题考查有理数的运算，正确计算是解题的关键． 巩固课内例2:分数的乘方运算 1．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算，根据乘方运算的含义计算即可． 【详解】解：， 故选：C 2．计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解： （6）解：． 巩固课内例3:科学记数法 1．根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：． 故选：C． 2．去年2024年江苏省无锡市以万元的人均高居全国第二，仅次于北京，则216900用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)水星和太阳的平均距离约为； (2)地球上海洋的面积约为 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】（1）解：用科学记数法表示为； （2）解：用科学记数法表示为． 巩固课内例4:有理数的混合运算一(偶次幂) 1．计算：（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含乘方的混合运算，熟练掌握乘方的运算是解题的关键，根据负数的偶数幂的运算法则得到，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先算乘方，再算乘除法即可求得． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．先计算括号和绝对值，再按先乘方、再乘除、后加减的运算顺序计算即可． 【详解】解： ． 巩固课内例5:有理数的混合运算二(奇次幂) 1．计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故选：A 2． ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】解：原式 故答案为：． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）先算乘方，再算除法，最后算加减，如果有绝对值，要先做绝对值内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例6:有理数的混合运算三(倒数) 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的含有乘方的混合运算．解题关键是熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可； （3）将除法转化为乘法，根据乘法计算即可； （4）先算乘方和绝对值，再算乘除法，再算加法 【详解】（1）解： ； （2）解： + ； （3）解： ； （4）解： ； 巩固课内例7:有理数的混合运算四(乘法分配律) 1．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决． 【详解】解：A．，计算正确，选项不符合题意； B．，计算正确，选项不符合题意； C．，计算正确，选项不符合题意； D．，计算错误，选项符合题意； 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 【详解】 ． 故答案为：． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. （1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案； （2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 类型一、科学记数法的应用 1．由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215万．下列说法正确的是（    ） A．2215万＝ B．2215万＝ C．2215万是一个七位数 D．2215万写成的个数为4 【答案】D 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，2215万， 故A、B选项不符合题意； 2215万，是一个八位数，2215万写成的个数为4， 故C选项不符合题意；故D选项符合题意； 故选：D 2．中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度约为，设计寿命为10年，可以驻留3人．数据可用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？ (3)经过以上计算，同学你有何感想和建议？ 【答案】(1)一年大约节约（千克）大米 (2)可卖得到的人民币为元 (3)见解析 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，科学记数法的应用，解题的关键是根据题意列出算式． （1）先求出一粒大米的质量，然后根据题意列出算式进行计算即可，并利用科学记数法表示出结果即可； （2）根据题意列出算式进行计算即可； （3） 【详解】（1）解：（克） 一粒大米重约克， 根据题意知： （千克） 答：一年大约节约千克大米． （2）解：元． 答：可卖得到的人民币为元． （3）解：感想和建议：节约粮食人人有责，节约能源，爱护劳动．（答案不唯一） 类型二、有理数幂的概念 1．表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 【答案】B 【分析】本题考查了乘方运算概念的运用能力，运用乘方的定义进行辨别． 【详解】解：， 故选：B． 2．的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 【答案】(1)底数是，指数是3 (2)底数是，指数是4 (3)底数是m，指数是 【分析】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． （1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：，底数是，指数是3． （2）解：，底数是，指数是4． （3）解：，底数是m，指数是． 类型三、乘方的符号规律 1．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当时， 是负数，故①正确； ，故②正确，④错误； ，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 2．填一填： （1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ． 【答案】 100 1000 10000 100000 100 -1000 10000 -100000 【分析】（1）根据正数的任何次幂都是正数计算即可； （2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数计算可得结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为：100；1000；10000；100000； （2）， ， ， ， 故答案为：100；-1000；10000；-100000． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，正确计算各乘方的结果是解题的关键． 3．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）正；（2）负；（3）负；（4）负 【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可． 【详解】解：（1）的指数是12，为偶数，根据负数的偶次幂是正数，可知的结果为正； （2）的指数是9，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负； （3）表示的是的相反数，根据正数的任何次幂都是正数，可知的结果为正，所以的结果为负； （4）的指数是11，为奇数，根据负数的奇次幂是负数，可知的结果为负． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键． 类型一、含乘方有理数的混合运算 1．计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案． 【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式 故选：A． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新运算，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先利用乘法分配律化简，再进行计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、用计算器计算有理数 1．若用科学计算器进行计算，按键顺序如下： 则输出的结果应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了计算器的使用，解题的关键是理解计算器的按键顺序，写出计算的式子．根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：， 故选：B． 2．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了科学计算器的使用和有理数的混合运算，根据按键的顺序得出算式，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：10． 3．计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了利用计算器进行数有理数的乘方运算，根据计算器的按键顺序计算即可得解，熟练掌握计算器求幂的时候指数的使用方法是解决此题的关键． 【详解】 ． 类型三、算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 【详解】根据题意得，． 故答案为：． 3．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据两个最大的数相加，得出；②运用最小的数减去最大数，所得的差最小；③根据同号得正，且结合正数最大，进行作答；④根据异号得负，且结合负数最小，进行作答； （2）结合从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 类型四、乘方的应用 1．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的乘方，理解题意列出式子是解本题的关键．根据题意列出算式计算即可得到结果． 【详解】解：根据第1次截取后，剩， 第2次截取后，剩， 第3次截取后，剩 第4次后剩下，即（米） 故选B． 2．《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方运用，根据题意，分别得出第1次截取后，剩余的木棒有尺；第2次截取后，剩余的木棒有，以此类推即可解答，熟知期中规律是解题的关键． 【详解】解：第1次截取后，剩余的木棒有尺； 第2次截取后，剩余的木棒有尺； 第3次截取后，剩余的木棒有尺， ， 第2025次截取后，剩余的木棒有尺， 故答案为：． 3．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了乘方的应用，根据所给图形发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题意，阴影部分的面积占正方形总面积的，于是得解； （2）的和，可以看成是部分的面积总和，它等于总面积减去阴影部分面积，于是得解； （3）阴影部分面积占总面积的，总面积减去阴影部分面积，就等于，于是得解． 【详解】（1）解：根据题意可得，阴影部分面积占总面积的比例为： ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ； （3）解：根据题意可得： ， 故答案为：． 类型五、程序流程图 1．按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算；把代入代数式求值，与 244 比较，若大于 244 ，就停止计算，若结果没有大于 244 ，重新计算直至大于 244 为止． 【详解】解：若， 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：，则停止； 故选：B． 2．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 先根据流程图的程序列出算式，再计算出结果，根据输出的条件得出结论即可． 【详解】解：把代入，得， 再把代入，得， ∴输出y的值为7． 故答案为：7． 3．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 【答案】(1)①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． (2)49 (3)169 (4)1，169 【分析】本题主要考查了程序流程图、有理数的混合运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）根据题意直接补全流程图即可； （2）按照流程图进行列式计算即可； （3）根据流程图进行列式计算即可； （4）分别输入111，222并根据流程图进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：①是3的倍数吗？②把它除以3的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． 故答案为：①是 3 的倍数吗？②把它除以 3 的商作为下一个数？③把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数． （2）解：第1次：123是3的倍数，； 第2次：41不是3的倍数，； 第 3 次：25不是3的倍数，， 所以操作第3次后得到的数是49． （3）解：第4次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，， ∴169出现重复，即操作6次结束循环，最后输出结果是169， 故答案为：，． （4）解：当输入111时， 第1次：111是3的倍数，； 第2次：37不是3的倍数，； 第3次：100不是3的倍数，； 第4次：1不是3的倍数，，出现循环；则最后输出的为：1． 当输入222时， 第1次：222是3的倍数，； 第2次：74不是3的倍数，； 第3次：121不是3的倍数，； 第4次：25不是3的倍数，； 第5次：49不是3的倍数，； 第5次：169不是3的倍数，； 第6次：256不是3的倍数，；出现循环，则最后输出的为：169． 故答案为：1，169． 类型一、数字规律 1．观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】D 【分析】本题考查尾数特征，抓住的尾数特征是求解本题的关键． 根据的尾数特征判断． 【详解】解：根据，，，，可得， 个位数字分别为，，，，， 故的个位数按，，，循环出现． ， 的个位数是1． 故选：D． 2．观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】此题考查有理数的乘方，找到个位数字的规律解决问题． 根据已知的式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解答即可． 【详解】解：，，，，，…， 由此发现，式子末尾数字以3、9、7、1这4个数作循环， ∵， ∴所以的个位数字是1． 故答案为：1． 3．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 【答案】(1)3，2 (2)7 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． （1）此题不难发现：的个位数字是7，9，3，1四个一循环，所以，则的个位数字是3；的个位数字是8，4，2，6四个一循环，所以，则的个位数字是2； （2）分别找出，，的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是的个位数字． 【详解】（1）解：∵， ∴7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为3； ∵， ∴8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现．因为， ∴的个位数字与的个位数字相同，应为2； （2）解：∵， ∴2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ∴的个位数字与相同，是2， 根据（1）可知，的个位数字是7，的个位数字是8，， ∴的个位数字是7． 类型二、新定义运算 1．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A． B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 2．定义新运算：，计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据列式计算即可得解，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题主要考查了新定义，含乘方的有理数混合计算： （1）根据新定义得到，据此代值计算即可； （2）根据新定义得到，再根据，进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解： ． 类型三、二进制 1．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据三进制与十进制的数的转化方法计算即可． 【详解】解：， 故三进制中的表示的是十进制中的61， 故选：C． 2．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握二进制数转化为十进制数的方法是解答本题的关键． 根据二进制数转化为十进制数的方法，可以将表中“坎”用十进制数表示． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为： 2． 3．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么： (1)二进制中的10110表示的是十进制中的（　　） A．22    B．21    C．13    D．12 (2)十进制中的86用二进制中的数表示为 【答案】(1)A (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算． （1）根据二进制表示出“10110”即可． （2）把86化为按2的整数次幂降幂排列的形式，即可用二进制表示． 【详解】（1）解：由题意得：； ∴二进制中的“10110”表示十进制中的22； 故选∶A． （2）解： 类型四、有理数的圈次方 1．定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 【答案】B 【分析】本题是新定义运算，出现在乘方一节，能够类比乘方的运算，理解并运用除方的运算规则，准确的计算和推理是本题的关键． 根据新运算‘除方’的定义，即为个相除，进行计算．运算时注意指数运算、相反数的性质、倒数的概念的应用即可． 【详解】A.，即任意非零数的圈3次方都等于它的倒数，故选项不符合题意． B.当为偶数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1（n为任意正偶数）； 当为奇数时，，，即圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正奇数）． 故选项符合题意． C.设这两个互为相反数的数为与． 当为偶数时，，，此时结果相等； 当为奇数时，，，此时结果互为相反数，即互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数，故选项不符合题意． D.设互为倒数的两个数为与． 则，，即互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数，故选项不符合题意． 故选：B． 2．我们做如下规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”一般地，把记作，读作“的圈次方”按照这个规定，有 ，将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 ． 【答案】 4 【分析】根据新定义列出算式计算即可得． 【详解】， aⓝ=， 故答案为：4，． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是理解新定义和有理数乘方的定义及其运算法则． 3．规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)比较大小：_______；（填“”，“”或“”） (3)算一算：； (4)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【答案】(1) (2) (3) (4)C 【分析】本题主要考查有理数的新定义运算方法，在有理数除法的基础上定义多个相同的非零数的除法的表达方法，并根据有理数除法法则计算； 理解除方的定义、掌握有理数的乘除法、乘方运算法则是解题的关键． （1）根据除方的定义、有理数除法法则计算即可； （2）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则计算，再比较大小即可； （3）先将乘方、除方按照运算规则展开，再算乘除，最后算加减，计算的过程中注意符号(正负)的变化． （4）根据除方的定义，结合有理数除法的运算法则逐一判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：，，， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的数相除，即都等于1，说法正确，不符合题意； B、多少个1相除都是1，即对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1，说法正确，不符合题意； C、，，，即，说法错误，符合题意； D、负数的圈奇数次方相当于奇数个负数相除，结果是负数；负数的圈偶数次方相当于偶数个负数相除，结果是正数，说法正确，不符合题意， 故答案为：C ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6—2.7 有理数的乘方与混合运算 一、有理数的乘方 1.有理数乘方的意义 理解有理数乘方的意义，掌握乘方、幂、指数、底数等概念，发展抽象能力。乘方是求相同因数的积的运算。例如，a的n次方表示n个a相乘，其中a是底数，n是指数，乘方运算的结果叫作幂。 2.有理数的乘方运算 会进行有理数的乘方运算，强化运算能力。特别地，一个数的二次方也称为这个数的平方，任意一个数的平方是非负数；一个数的三次方也称为这个数的立方，正数的立方是正数，负数的立方是负数。进行有理数的乘方运算时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。 3.科学记数法 会用科学记数法表示实际生活中大于10和小于1的数。科学记数法是一种表示很大或很小的数的方法，其形式为a×10的n次方，其中1≤a<10，n为整数。 二、 有理数的混合运算 1.有理数混合运算的顺序 掌握有理数混合运算的顺序，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算。有理数的混合运算顺序为：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。同级运算按照从左到右的顺序进行。 2.运算律的应用 在有理数的混合运算中，能合理地利用运算律简化运算。有理数的运算律包括加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律。灵活使用运算律，可将计算过程变得简洁。 巩固课内例1:整数的乘方运算 1．的平方是（   ） A． B．0 C．2 D．4 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固课内例2:分数的乘方运算 1．计算：（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 巩固课内例3:科学记数法 1．根据国家统计局的数据，2024年中国生产芯片约451420000000颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据451420000000用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 2．去年2024年江苏省无锡市以万元的人均高居全国第二，仅次于北京，则216900用科学记数法表示为 ． 3．用科学记数法表示下列各数： (1)水星和太阳的平均距离约为； (2)地球上海洋的面积约为 巩固课内例4:有理数的混合运算一(偶次幂) 1．计算：（　　） A．5 B． C． D． 2．计算：= ． 3．计算：． 巩固课内例5:有理数的混合运算二(奇次幂) 1．计算，得（   ） A．11 B．13 C． D． 2． ． 3．计算： (1) (2) 巩固课内例6:有理数的混合运算三(倒数) 1．下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例7:有理数的混合运算四(乘法分配律) 1．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 类型一、科学记数法的应用 1．由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达2215万．下列说法正确的是（    ） A．2215万＝ B．2215万＝ C．2215万是一个七位数 D．2215万写成的个数为4 2．中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度约为，设计寿命为10年，可以驻留3人．数据可用科学记数法表示为 ． 3．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米大约重10克，现在请同学来计算． (1)按我国14亿人口计，每年365天，每人每天三餐米饭计算，如果每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克（用科学记数法表示）？ (2)如果我们把一年节约的大米卖成钱，按4元/千克计算，可卖得人民币多少元？ (3)经过以上计算，同学你有何感想和建议？ 类型二、有理数幂的概念 1．表示（   ） A．2个3相乘 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．3个2相加 2．的底数是 ，指数是 ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数、指数各是什么． (1) (2) (3) 类型三、乘方的符号规律 1．当时，下列式子：①；②；③；④中，成立的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．填一填： （1） ， ， ， ； （2） ， ， ， ． 3．判断下列各式计算结果的正负： （1）； （2）； （3）； （4）． 类型一、含乘方有理数的混合运算 1．计算的结果是 （    ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算*，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，则 ． 3．计算： (1)； (2) 类型二、用计算器计算有理数 1．若用科学计算器进行计算，按键顺序如下： 则输出的结果应为（    ） A． B． C． D． 2．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果为 ． 3．计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 类型三、算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 3．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 类型四、乘方的应用 1．一根1米长的木棒，第1次截去一半，第2次截去剩下部分的一半，如此截下去，第4次截完后剩下的木棒长为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完．那么第2025次截取后剩下的木棒有 尺 3．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法．我们经常用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分制成6个部分，部分①的面积是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是________． (2)受（1）的启发，试求出的值． (3)进而计算：________． 类型五、程序流程图 1．按下列程序进行运算（如图所示），规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为一次运算．若，则运算最多进行多少次才停止（   ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 2．根据流程图中的程序，若输入x的值为，则输出y的值为 ． 3．一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数：否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程……直到出现了与之前重复的数，那就输出此数作为最终结果，结束操作． (1)上面的文字语言可以转化为流程图表达．如图是流程图的一部分，请把这个流程图补充完整．① ，② ，③ （在每空中填入题干中的关键词句，把这个运算程序补充完整） (2)现在输入一个三位数，如123作为起始数，操作第3次后得到的数是多少？请你写出过程． (3)继续第（2）问的运算，操作 次能够结束循环？最后输出的结果是 ． (4)若起始数输入的三位数各位上的数字都是相同的数，如输入111，最后输出的结果是 ；输入222，最后输出的结果是 ． 类型一、数字规律 1．观察下列等式：，，，，，…根据其中规律可得的结果的个位数字是（   ） A．3 B．9 C．7 D．1 2．观察下列算式：，，，，，，，通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是 ． 3．阅读材料，解决问题：由…不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到：因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为1；因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． (1)请你仿照材料，分析求出的个位数字及的个位数字； (2)请探索出的个位数字． 类型二、新定义运算 1．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A． B． C．2024 D．2025 2．定义新运算：，计算 ． 3．我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值； (2)求的值． 类型三、二进制 1．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，三进制中的表示的是十进制中的（   ） A．54 B．60 C．61 D．73 2．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．二进制又可以转化成十进制，例如：： ．八卦与二进制的关系图如表所示． 卦名 乾 巽 离 艮 兑 坎 震 坤 符号 对应二进制数 表中“坎”用十进制表示的数是 ． 3．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数，如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么： (1)二进制中的10110表示的是十进制中的（　　） A．22    B．21    C．13    D．12 (2)十进制中的86用二进制中的数表示为 类型四、有理数的圈次方 1．定义新运算：用“”连接个相同非零有理数a所构成的运算叫做除方，记作．比如读作“2的圈3次方”，，读作“的圈4次方”．下面说法不正确的是（    ） A．任意非零数的圈3次方都等于它的倒数． B．圈n次方等于它本身的数是1或（n为任意正整数）． C．互为相反数的两个数的圈n次方不一定互为相反数． D．互为倒数的两个数的圈n次方互为倒数． 2．我们做如下规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”一般地，把记作，读作“的圈次方”按照这个规定，有 ，将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于 ． 3．规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：_______； (2)比较大小：_______；（填“”，“”或“”） (3)算一算：； (4)关于除方，下列说法错误的是________ A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 1 学科网（北京）股份有限公司 $$