2.5 有理数的乘法与除法【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑（苏科版2024）

2.5 有理数的乘法与除法 1、 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，都得0。 2、 有理数的乘法运算律 1. 交换律：a×b=b×a 2. 结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 3. 分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 3、 倒数的概念 1. 特征：原数与其倒数符号相同，两者乘积为1。 2. 倒数等于本身的数是1和-1。 4、 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 巩固课内例1:有理数的乘法运算 1．计算：（   ） A． B． C．5 D．6 2． ． 3．计算： (1)； (2)． 巩固课内例2:有理数的乘法运算律 1．某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 2．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 3．利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 巩固课内例3:倒数 1．的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 2．的倒数是 ． 3．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 巩固课内例4:有理数的除法运算 1．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 2．计算： ． 3．化简下列分数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ． 巩固课内例5:有理数的乘除混合运算 1．计算的结果为（   ） A． B．32 C． D．64 2．计算： ． 3．计算：． 类型一、倒数的认识 1．已知的倒数是，则的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 2．的倒数是 ，比较大小： ． 3．（1）填空：______；______；的倒数______；小于2的非负整数为______； （2）请将（1）中你所填的数在数轴上表示出来，再把这些数用“<”连接起来． 类型二、有理数乘法综合运算 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 2．用、、填空． 3．计算： (1)； (2)． 类型三、有理数除法综合运算 1．用运算符号“、、、”填入“□”中，运算结果最大是（    ） A． B． C．5 D．6 2．计算： ． 3．计算： 类型一、简便运算 1．计算的最简便算法是（   ） A． B． C． D． 2．用简便方法计算： （1） ； （2） ． 3．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 类型二、有理数的乘法应用 1．宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 2．某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 3．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 类型三、有理数的除法应用 1．现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 2．电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有 人是同一个月出生的． 3．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 类型四、有理数加减乘除混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 类型一、绝对值分类讨论 1．若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．已知，，且，则的值为 ． 3．已知：，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 类型二、格子乘法 1．在中国明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入格子上面，乘数记入格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论正确的个数有（   ） ①b的值为5                              ②a为偶数 ③乘积结果可以表示为    ④a的值为1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ． 3．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397． (1)如图2，用“格子乘法”表示，求m的值； (2)利用图2的结果可以计算的值． 类型三、整体裂项 1．已知：则（　　） A． B． C． D． 2．观察思考找规律， ． 3．观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 类型四、倒数法求解 1．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 2．小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 3．阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 类型五、绝对值中的“1”与“-1”化简 1．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．已知有理数、满足，则 ． 3． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5 有理数的乘法与除法 1、 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与0相乘，都得0。 2、 有理数的乘法运算律 1. 交换律：a×b=b×a 2. 结合律：(a×b)×c=a×(b×c) 3. 分配律：(a+b)×c=a×c+b×c 3、 倒数的概念 1. 特征：原数与其倒数符号相同，两者乘积为1。 2. 倒数等于本身的数是1和-1。 4、 有理数除法法则 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 巩固课内例1:有理数的乘法运算 1．计算：（   ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，直接根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 2． ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题关键． 直接利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：6． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （1）根据有理数的乘法法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 巩固课内例2:有理数的乘法运算律 1．某同学在计算时，将原式变形为进行简便运算，这样做的依据是（   ） A．乘法交换律 B．乘法对加法的分配律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【分析】本题考查了乘法运算律，根据原式变形为，利用了乘法的交换律和结合律，据此即可作答． 【详解】解：∵， ∴运算依据是乘法交换律和结合律， 故选：D． 2．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 巩固课内例3:倒数 1．的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数， 根据定义解答，即两个数乘积为1，则称这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2．的倒数是 ． 【答案】 【分析】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：的倒数是 故答案为：． 3．求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 巩固课内例4:有理数的除法运算 1．计算的结果等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法，根据除法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故选D． 2．计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查了有理数的除法，根据有理数的除法运算法则计算求解，即可解题． 【详解】解：， 故答案为：． 3．化简下列分数： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ． 【答案】(1) (2) (3)20 (4) (5) (6)3 (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数的除法法则，熟练掌握除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数，还要注意两数相除，同号得正，异号得负是解题的关键． （1）利用有理数的除法法则计算即可； （2）利用有理数的除法法则计算即可； （3）利用有理数的除法法则计算即可； （4）利用有理数的除法法则计算即可； （5）利用有理数的除法法则计算即可； （6）先化简绝对值，再利用有理数的除法法则计算即可； （7）利用有理数的除法法则计算即可； （8）利用有理数的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： （7）解： （8）解： ． 巩固课内例5:有理数的乘除混合运算 1．计算的结果为（   ） A． B．32 C． D．64 【答案】C 【分析】此题主要考查的是有理数的乘除混合运算，从左到右依次计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，正确运用运算法则是正确解答此题的关键． 把除法转化成乘法再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，根据相关运算法则计算，即可得到答案. 【详解】解： . 类型一、倒数的认识 1．已知的倒数是，则的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和相反数．根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不相同的两个数是相反数进行求解即可． 【详解】解：∵的倒数是， ∴， ∵的相反数是， ∴的相反数是， 故选：C． 2．的倒数是 ，比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了求倒数、有理数的大小比较，根据倒数的定义即可得解，再根据两个负数进行比较，绝对值大的反而小即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， ∵，，， ∴， 故答案为：，． 3．（1）填空：______；______；的倒数______；小于2的非负整数为______； （2）请将（1）中你所填的数在数轴上表示出来，再把这些数用“<”连接起来． 【答案】（1）；；；，；（2）见解析 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值、倒数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用相反数、绝对值、倒数的定义解答即可； （2）将各数表示在数轴上，利用数轴比较大小即可． 【详解】解：（1），，的倒数，小于2的非负整数为， （2）将（1）中所填的数在数轴上表示出来如图， ，． 类型二、有理数乘法综合运算 1．下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 2．用、、填空． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法运算法则，奇数个负数相乘结果为负，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）根据有理数的乘法运算法则计算即可； （2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 类型三、有理数除法综合运算 1．用运算符号“、、、”填入“□”中，运算结果最大是（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加、减、乘、除运算，以及有理数的大小比较，根据有理数的加、减、乘、除运算的运算法则算出结果，再比较结果的大小，即可解题． 【详解】解：因为，，，， 又， 则结果最大是5， 故选：C． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 首先将除法转化成乘法，然后利用乘法分配律求解即可． 【详解】 ． 类型一、简便运算 1．计算的最简便算法是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了简便计算，理解分配律是解答关键． 将带分数折分成，再变形为，然后利用分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 2．用简便方法计算： （1） ； （2） ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律， 对于（1），根据乘法分配律计算； 对于（2），逆用乘法分配律计算即可． 【详解】解：（1）原式． （2）原式． 3．请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算： 利用运算律有时能进行简便计算． 例1：； 例2：． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)99900 【分析】本题考查有理数乘法分配律． （1）将999写作，然后使用乘法分配律进行计算使得计算简便； （2）使用乘法分配律使得计算简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、有理数的乘法应用 1．宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高． 故选：C． 2．某快递公司因天气原因需将五种货物进行延迟配送，每名配送员每次只能配送一种货物，从配送开始起进行计时，每延迟一分钟需赔付1元，忽略其它因素的影响，五种货物的配送时间如下表： 货物 配送时间（分钟） 5 8 9 7 10 （1）如果由一名配送员进行配送，那么下列三个配送顺序：①；②；③中，赔付最少的是 （填序号）； （2）如果由两名配送员同时进行配送，最少需要赔付 元． 【答案】 ② 64 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法混合运算的实际应用，找出方案是解题的关键． （1）分别计算三种情况赔付的钱，求解判断即可； （2）因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的即可，所以先配送A和D时间短的，一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送赔付最少，据此计算即可． 【详解】解：（1）①总赔付：（元）， ②总赔付：（元）， ③总赔付：（元）， ∴赔付最少的是②， 故答案为：②； （2）解：因为赔付最少，就要使配送的时间尽量短，显然先配送时间短的，所以先配送A和D时间短的；然后再配送剩下的时间的短的，最后一名配送员配送时间最长的， 一名配送员按的顺序送，另一名配送员按的顺序送，配送最少， 配送赔付：（元）， 配送赔付：（元）， 共需要最少赔付：（元）， 故答案为：64． 3．出租车往返于A，B两个城市，A市在B市的正北方向，在A，B两城市沿线有若干个村庄．某天出租车从A市出发前往B市，再从B市返回A市，规定向北行驶为正．出租车当天行驶的记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)通过计算，说明出租车离A市多远？ (2)在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站，该出租车经过加油站________次； (3)若出租车每行驶1千米耗油0.07升，则该出租车一天共耗油多少升？ 【答案】(1)4千米 (2)6 (3)升 【分析】此题考查了正负数的实际应用，有理数的运算的实际应用，解题的关键是正确列式． （1）将出租车当天行驶的记录相加即可求解； （2）根据出租车当天行驶的记录结合在A，B两个城市之间距A市6千米处有一个加油站求解即可； （3）首先求出行驶的总路程，然后乘以1千米耗油量即可求解． 【详解】（1）（千米） ∴说明出租车离A市多远4千米； （2）∵出租车从A市出发前往B市，规定向北行驶为正 ∴向南行驶为负 ∴由可得，当出租车向南行驶8千米时，第一次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边1千米，故第二次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边10千米，故第三次经过加油站； ∵ ∴此时离A市南边4千米，故第四次经过加油站； ∴此时离A市南边17千米，故第五次经过加油站； ∴此时离A市南边4千米，故第六次经过加油站； 综上所述，出租车经过加油站6次； （3） （升） ∴该出租车一天共耗油升． 类型三、有理数的除法应用 1．现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【答案】A 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据容器底面积与水面高乘积固定为求解即可． 【详解】解：∵分别往这四个容器中注入的水， ∴A容器内部底面积为，容器内水面高为； B容器内部底面积为，容器内水面高为； C容器内部底面积为，容器内水面高为； D容器内部底面积为，容器内水面高为； ∴容器内水面最高的是A容器， 故选：A． 2．电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有 人是同一个月出生的． 【答案】28 【分析】本题考查了抽屉原理：一年有12个月，把这12个月看做是12个抽屉，326人看作是326个元素，即可解答，理解题意是解题关键． 【详解】解：建立抽屉，把这12个月看做是12个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉的人数尽量的平均： ， （人）， 所以至少有28人是同一个月出生的． 故答案为：28． 3．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 【答案】(1)同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下 (2)这一组的同学共垫球下 (3)这一组同学平均垫球下 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的大小比较，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键； （1）比较表格中各数的大小，进而求得垫球最多的人，根据下为标准，超过的记作正，即可得出最多垫球多少下； （2）用再加上表格数据，即可求解； （3）用（2）中数据，除以求得平均数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，， 所以同学E垫球最多， ， 答：同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下； （2）解：， 答：这一组的同学共垫球下； （3）解：， 答：这一组同学平均垫球下． 类型四、有理数加减乘除混合运算 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数运算的基本顺序和基本法则计算判断解答即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.     ， 故本选项错误； B. ， 故本选项错误； C. 故本选项错误； D. 故本选项正确； 故选：D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先变除法为乘法，然后根据有理数乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 类型一、绝对值分类讨论 1．若，，且，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的加法，首先根据，，可得：，，又因为，可知、同号，然后分情况求出的值即可． 【详解】解：，， ，， 又， 、同号， 当，时， ， 当，时， ， 综上所述，的值是或， 故D选项符合题意． 故选：D ． 2．已知，，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，根据绝对值的意义，结合两数相乘异号为负，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴； 故答案为：1． 3．已知：，． (1)求和的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了绝对值的定义，有理数的乘法，有理数的减法运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据绝对值的定义求解即可； （2）由可知，或，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，； （2）由（1）知，，， ， ，或，， 或， 的值为或． 类型二、格子乘法 1．在中国明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数记入格子上面，乘数记入格子右侧，然后用乘数的每位数字乘以乘数的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，得到．如图2，用“铺地锦”的方法表示两位数相乘，下列结论正确的个数有（   ） ①b的值为5                              ②a为偶数 ③乘积结果可以表示为    ④a的值为1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整式加减的应用等知识点，理解题中的利用“铺地锦”计算两个数相乘的方法是解题关键．根据“铺地锦”的方法将图2补全完整，由此建立等式即可得． 【详解】运用“铺地锦”的方法将图2补全完整，如图所示， 则，故①错误； ， ，为奇数，故②④错误； 乘积结果为，故③正确； 正确的个数有1个， 故选：A. 2．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”，如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右行，然后以乘数47的每位数字乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来（斜行的和均小于10），得2397．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，这两个两位数相乘的结果为 ． 【答案】615或645或675 【分析】本题考查有理数乘法，理解并运用数学常识是解题关键． 根据示例求出b，再根据已知判断a应为奇数，从而求出结果即可． 【详解】解：由图得，，，， ∴如图， ∴， ∴如图， 由图得，a应为奇数1，3，5， 所以两个两位数可以为；；； ∴相乘结果为615或645或675 故答案为：615或645或675 3．“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．如图1，计算，将乘数47计入上行，乘数51计入右列，然后用乘数47的每位数字分别乘以乘数51的每位数字，将结果计入相应的格子中，最后按斜行加起来，得2397． (1)如图2，用“格子乘法”表示，求m的值； (2)利用图2的结果可以计算的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）根据提供的“格子乘法”解答即可，即可求m的值； （2）根据题意，得，结合，代入解答即可． 本题考查了有理数的乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 故m的值为7． （2）解：根据题意，得， 由， 故． 类型三、整体裂项 1．已知：则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查数字的变化规律，观察所给式子得到一般规律，即可求解 【详解】解：∵， ∴， ， 故选：A． 2．观察思考找规律， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据观察找到规律即可得到答案，掌握有理数的混合运算法则是解题关键． 【详解】 ， 故答案为：． 3．观察下列各式： ，，， (1)根据以上式子的特点完成下列各题： ①___________；②___________（n是正整数）． (2)计算： (3)探究并计算： ． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知等式得出连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差． （1）根据连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差可得； （2）将原式利用（1）中所得规律裂项求和可得． （3）先利用乘方分配律每一项提出一个，再将式子利用（1）中所得规律裂项求和可得． 【详解】（1）解：根据题意知，①；② 故答案为；． （2）解：＋＋＋ ． （3）解： ． 类型四、倒数法求解 1．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 2．小刚遇到这样一道题：，觉得直接计算括号内通分较为复杂，经过思考后他采用先计算：的方法．小刚之所以这样计算是发现它们的结果的数量关系是 ，计算的结果是 ． 【答案】 互为倒数 / 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可知，与互为倒数，然后计算出的结果，即可求得的结果． 【详解】解：与互为倒数， ， 的结果是， 故答案为：互为倒数；． 3．阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 类型五、绝对值中的“1”与“-1”化简 1．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 2．已知有理数、满足，则 ． 【答案】2或或0 【分析】本题主要考查了有理数的绝对值和有理数的加法运算，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是解题关键． 分a、b同号与a、b异号两种情况，根据绝对值的意义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 若a、b同号， 当，时，； 当，时，； 若a、b异号， 当，时，； 当，时，； 综上分析可知，的值为2，，0． 故答案为2或或0． 3． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$