专题20.2 二次根式及其性质（第2课时）（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024八年级上册

专题20.2 二次根式及其性质（第2课时） 教学目标 1. 理解并掌握二次根式的性质3、性质4； 2. 化简二次根式—被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外； 3. 化简二次根式—化去被开方数中的分母； 4. 了解二次根式的第二形式； 5. 知道最简二次根式的概念；符合最简二次根式的条件。 教学重难点 1.重点 （1）进一步探究二次根式的性质—性质3与性质4； （2）二次根式性质在化简二次根式的应用； （3）会判断最简二次根式。 2.难点 （1）二次根式的化简，尤其是含字母型，符号问题等； （2）复合二次根式的化简及应用； （3）二次根式性质的综合应用。 知识点1 二次根式的性质3、性质4 问题：与×相等吗?与相等吗?为什么? 分析：当a≥0,b≥0时，根据积的乘方的性质，(·)²=()²·()²=ab, 根据算术平方根的意义，得=·. 当a≥0,b>0时，也可以推出 我们把这两个结论也作为二次根式的性质： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). 【即学即练】 1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 3．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 知识点2 二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 这说明，如果二次根式里被开方数是几个因式的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的算术平方根代替后移到根号外面. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 4.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如、、-等. 【即学即练】 1．化去下列各式根号内的分母： (1) (2) (3) (4) 2．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 3．化去根号内的分母： (1) (2) (3) (4)． 4．将根号外的因式移到根号内得 ． 知识点3 最简二次根式 观察下列二次根式、、等，其被开方数有什么共同特点? 由以上观察，可以发现： (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 说明：被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 【即学即练】 1．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型01 判断最简二次根式 【典例1】．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在，，，，中最简二次根式有 个． 【变式2】．在，，，，中，最简二次根式有 个． 题型02 符合最简二次根式的条件 【典例1】．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【变式1】．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 题型03 由最简二次根式的定义求参数 【典例1】．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【变式1】．已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【变式2】．若和都是最简二次根式，则m+n＝ ． 题型04 根据二次根式的性质3、性质4化简二次根式 【典例1】．化简： （1）；        （2）；        （3）；        （4）； （5）；            （6）；            （7）；        （8）． 【变式1】．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 题型05 化简二次根式（含字母型） 【典例1】．化简： ． 【变式1】．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 题型06 化简二次根式（符号问题） 【典例1】．当时，化简： ． 【变式1】．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．化简：． 【变式3】．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 【变式4】．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【变式5】．化简： (其中x<0) 【变式6】．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【变式7】．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 题型07 化简二次根式的步骤辨析 【典例1】．下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型08 二次根式性质3的应用 【典例1】．若是正整数，最小的整数是（　　） A．2 B．3 C．12 D．48 【变式1】．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【变式2】．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 题型09 复合二次根式的化简及其应用 【典例1】．化简＝ 【变式1】．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【变式2】．计算的结果是 ． 【变式3】．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式4】．已知为有理数，且满足等式，则的值为(    ). A．2 B．4 C．6 D．8 一、单选题 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列化简结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 4．下列化简过程中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．下列四个算式，其中一定成立的是（　　） ①＝a2+1；②＝a；③＝•（ab＞0）；④ A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．① 7．已知，．给出下列等式：①；②；③；④．其中，正确的是（   ）． A．①和② B．③和④ C．③ D．④ 8．当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．化简二次根式，结果是（   ） A． B． C． D． 10．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 二、填空题 11． ． 12．填空： ；     ． 13． ， ． 14．计算： ． 15．化简： ． 16．式子成立的条件是 ． 17．将根号外的因式移到根号内得 ． 18．求值： ． 三、解答题 19．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 20．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 21．化简： (1) (2) (3) (4) 22．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 23．化简 （1） （2） 24．化简： (1)； (2)； (3)． 25．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 26．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题20.2 二次根式及其性质（第2课时） 教学目标 1. 理解并掌握二次根式的性质3、性质4； 2. 化简二次根式—被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外； 3. 化简二次根式—化去被开方数中的分母； 4. 了解二次根式的第二形式； 5. 知道最简二次根式的概念；符合最简二次根式的条件。 教学重难点 1.重点 （1）进一步探究二次根式的性质—性质3与性质4； （2）二次根式性质在化简二次根式的应用； （3）会判断最简二次根式。 2.难点 （1）二次根式的化简，尤其是含字母型，符号问题等； （2）复合二次根式的化简及应用； （3）二次根式性质的综合应用。 知识点1 二次根式的性质3、性质4 问题：与×相等吗?与相等吗?为什么? 分析：当a≥0,b≥0时，根据积的乘方的性质，(·)²=()²·()²=ab, 根据算术平方根的意义，得=·. 当a≥0,b>0时，也可以推出 我们把这两个结论也作为二次根式的性质： 性质3 =· (a≥0,b≥0). 性质4 (a≥0,b>0). 【即学即练】 1．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）利用二次根式的性质即可化简； （2）利用二次根式的性质即可化简； （3）利用二次根式的性质即可化简； （4）利用二次根式的性质即可化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质逐项运算即可判断求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，不合题意； 、，该选项正确，不合题意； 、，该选项错误，符合题意； 、，该选项正确，不合题意； 故选：． 3．能使等式成立的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握二根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 知识点2 二次根式的化简 1.被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外 一般地，根据性质3,设a≥0,那么 =·=|b|. 这说明，如果二次根式里被开方数是几个因式的积，其中有的因式是完全平方式，那么这样的因式可用它的算术平方根代替后移到根号外面. 完全平方式：形如A²(A为整式)的代数式称为完全平方式，如b²、(a+b)². 2.化去被开方数中的分母 根据性质4,设≥0,那么 这说明，如果二次根式里被开方数含有分母，那么可以将分子和分母同乘一个代数式，使分母变为完全平方式，再将分母用它的算术平方根代替后移到根号外面作为新的分母，从而化去被开方数中的分母. 3.化简二次根式：把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去把二次根式里被开方数所含因式中的完全平方式移到根号外，或者化去被开方数的分母的过程，称为“化简二次根式”. 4.二次根式的第二形式：为了方便，我们常把形如(其中a、b为有理式)的代数式也称为二次根式，如、、-等. 【即学即练】 1．化去下列各式根号内的分母： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查化简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键： （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 2．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据二次根式的性质化简即可； （5）根据二次根式的性质化简即可； （6）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 3．化去根号内的分母： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题的关键． （1）按照化简二次根式的步骤计算即可； （2）按照化简二次根式的步骤计算即可； （3）按照化简二次根式的步骤计算即可； （4）按照化简二次根式的步骤计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 4．将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点3 最简二次根式 观察下列二次根式、、等，其被开方数有什么共同特点? 由以上观察，可以发现： (1)被开方数中各因式的指数都为1; (2)被开方数不含分母. 说明：被开方数中的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把结果化成最简二次根式. 【即学即练】 1．下列代数式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意；     C. ，符合题意；     D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B.该选项是最简二次根式，故符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，属于简单题，熟悉概念是解题关键． 根据最简二次根式概念即可解题． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，故B不符合题意； C．是最简二次根式，故C符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：C． 题型01 判断最简二次根式 【典例1】．下列根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式；根据最简二次根式的定义及二次根式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A． ，不是最简二次根式，不符合题意； B． 是最简二次根式，符合题意； C． ，不是最简二次根式，不符合题意； D． ，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式1】．在，，，，中最简二次根式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：， 不是最简二次根式， ， 不是最简二次根式， 最简二次根式有：，，，共个， 故答案为：． 【变式2】．在，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：的被开方数是小数，故不是最简二次根式， 的被开方数可以分解成，则含有开得尽方的因数4，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， 的被开方数含有分母，故不是最简二次根式， 被开方数含有开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式有1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，具备以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 题型02 符合最简二次根式的条件 【典例1】．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数不含分母 【分析】最简二次根式：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，从而可得答案． 【详解】解：因为的被开方数含分母， 所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数不含分母． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 【变式1】．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数中不含能开的尽方的因式 【分析】最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键． 题型03 由最简二次根式的定义求参数 【典例1】．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 【变式1】．已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【变式2】．若和都是最简二次根式，则m+n＝ ． 【答案】﹣6． 【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值． 【详解】由题意可得： 解得： ∴m+n＝﹣6 故答案：﹣6． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1． 题型04 根据二次根式的性质3、性质4化简二次根式 【典例1】．化简： （1）；        （2）；        （3）；        （4）； （5）；            （6）；            （7）；        （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）． 【分析】利用二次根式的性质，分别对每个小题进行化简，即可得到答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简． 【变式1】．把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据最简二次根式的定义进行求解各个小题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的条件是解题的关键． 题型05 化简二次根式（含字母型） 【典例1】．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质计算即可； （3）根据二次根式的性质计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：（3）原式． 【变式2】．化去分母中的根号： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则化简即可； （2）利用二次根式的除法法则化简即可； （3）利用二次根式的除法法则化简即可； （4）利用二次根式的除法法则化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型06 化简二次根式（符号问题） 【典例1】．当时，化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【变式1】．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)28 (2)36 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解答本题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式2】．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．先判断a的正负，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； （3）利用二次根式的性质化简求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，理解最简二次根式并正确求解是关键． 【变式4】．已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【变式5】．化简： (其中x<0) 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简各二次根式后，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意知， ∴ = = = = 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 【变式6】．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再根据化简即可. （2）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再化简即可. （3）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a-1的符号，再化简即可. 【详解】（1）      ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． 【变式7】．把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 题型07 化简二次根式的步骤辨析 【典例1】．下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【变式1】．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、，无意义，故本选项不正确，不符合题意； B、，故本选项不正确，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，故本选项不正确，不符合题意； 故选：C． 题型08 二次根式性质3的应用 【典例1】．若是正整数，最小的整数是（　　） A．2 B．3 C．12 D．48 【答案】B 【分析】先化简二次根式，再确定整数的最小值即可得． 【详解】解：， 是正整数，是整数， 是正整数， 是一个平方数，且为正整数， 最小的整数是3， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 【变式1】．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（    ）． A．4 B．8 C．21 D．84 【答案】C 【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得． 【详解】解：， 是整数， 是整数， 又∵为正整数， 的最小值为21， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键． 【变式2】．实数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 题型09 复合二次根式的化简及其应用 【典例1】．化简＝ 【答案】 【分析】将原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解： = = = = 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使且，则可将将变成，即变成，从而使得化简．例如，，∴．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简的结果是，可知．整理，得，比较等式两边的组成，可得，，即，，所以． 尝试化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出进而求出即可． 此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 【详解】（1）； （2）解：． 【变式2】．计算的结果是 ． 【答案】 【分析】注意到，故可将原式化为，然后探寻，进而得解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到是解题的关键. 【变式3】．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 【变式4】．已知为有理数，且满足等式，则的值为(    ). A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用完全平方公式将逐步化简为，代入等式得出，从而得出答案. 【详解】∵ ∴ ∴， ，即． ∵，为有理数， ，，即． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. 一、单选题 1．下列式子中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意逐一将选项进行化简即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴A选项不是最简二次根式， ∵无法化简， ∴B选项是最简二次根式， ∵， ∴C选项不是最简二次根式， ∵， ∴D选项不是最简二次根式， 故选：B． 2．下列化简结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据计算求解即可． 【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意； B、，原式化简错误，不符合题意； C、，原式化简正确，符合题意； D、，原式化简错误，不符合题意； 故选：C． 3．化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的性质、化简，关键在于根据进行化简． 将化简为，再根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 4．下列化简过程中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，注意运用二次根式的性质时，被开方数的符号为非负，当二次根式在分母时，被开方数为正数；根据二次根式的性质进行计算即可作出判断． 【详解】解：A、，计算错误； B、，计算错误； C、，计算正确； D、成立的条件是m，n均非负，错误； 故选：C． 5．若是整数，则正整数的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键． 根据若是整数，则是平方数求解即可． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴正整数n的最小值为． 故选：C 6．下列四个算式，其中一定成立的是（　　） ①＝a2+1；②＝a；③＝•（ab＞0）；④ A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．① 【答案】D 【分析】根据二次根式的两个性质：及即可完成解答． 【详解】由于，由性质可知①正确，②错误； 由于a、b及x+1、x-1均可为负，二次根式无意义，由性质知，③④均错误； 故只有①正确 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的两个性质，应用两个性质时一定要注意字母的取值范围． 7．已知，．给出下列等式：①；②；③；④．其中，正确的是（   ）． A．①和② B．③和④ C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质化简并判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， 故①②③错误，④正确， 故选：D 8．当，时，在下列各式的计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，根据二次根式性质，结合，，逐项进行化简，然后得出答案即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴无意义，故A错误； B．∵，， ∴，故B正确； C．∵，， ∴，故C错误； D．∵，， ∴，故D错误． 故选：B． 9．化简二次根式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，由二次根式的性质可得：，从而有，即，再化简得出结果． 【详解】解：∵，， ，得， ． 故选：C． 10．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 二、填空题 11． ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，通过二次根式的性质进行化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12．填空： ；     ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】解：，， 故答案为：；． 13． ， ． 【答案】 /0.4 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：，． 故答案为：；． 14．计算： ． 【答案】 或 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的除法进行化简即可. 【详解】解：当时，原式=； 当时，原式=. 故答案为 或． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 15．化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 16．式子成立的条件是 ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式商的性质，商的算术平方根等于算术平方根的商，其中要满足的条件是分子的被开方数必须大于等于0，分母的被开方数大于0，列出关于x的一元一次不等式组求解即可． 【详解】要使有意义，则 ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式商的性质，掌握二次根式商的性质是解题的关键． 17．将根号外的因式移到根号内得 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ， ， 故答案为：． 18．求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 三、解答题 19．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 20．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）27；（2）；（3）；（4） 【分析】根据积与商的算术平方根的性质将原式化为最简二次根式即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式，熟知定义以及二次根式的性质是解题的关键． 21．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则即可求出答案． （2）根据二次根式的性质即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （4）根据二次根式的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则以及性质． 22．化简： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据最简二次根式的定义及二次根式的乘除法则化简即可； （2）根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可； （3）先把小数化为分数，再根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可； （4）根据最简二次根式的定义及二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义及二次根式的性质是解题关键． 23．化简 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可； （2）利用二次根式性质把被开方式分成偶次方与余下部分积，再化为最简二次根式即可． 【详解】解：（1）==； （2） ==． 【点睛】本题考查二次根式化简，最简二次根式，掌握化简的方法是把被开方式分成偶次方与余下部分乘积是解题关键． 24．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴原式=； （2）解：由二次根式非负性，即有，可得， 原式=； （3）解：原式=． 【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 25．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）先将带分数化为分数再开方． （2）直接开方再分母有理化； （3）直接开方即可． （4）将小数化为分数后再开方． （5）通分后再开方． （6）通分后再开方，然后再分母有理化． 【详解】解：（1）原式==； （2）原式=x2=x； （3）原式==； （4）原式==ab； （5）原式==； （6）原式==． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错． 26．像，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： ＝＝＝＝． 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴a的值为：或． 【点睛】此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$