专题1.4 有理数的加法与减法（高效培优讲义）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题1.4 有理数的加法与减法 教学目标 1. 了解有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2. 掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3. 熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.知道对有理数大小比较的方法。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的加法、减法运算，有理数的加法的运算律的应用； （2）有理数加减混合运算；有理数的加法与减法的实际应用； （3）有理数的加法与减法与数轴、绝对值等综合考查。 2.难点 （1）有理数加减混合运算的简便运算； （2）有理数加减混合运算的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 有理数的加法法则 1.复习引入 在小学阶段，我们学习了自然数和正分数的加法运算法则.引入负数后， 数就扩充到了有理数，那么在有理数范围内如何进行加法运算呢? 2.思考： 已知一家商店五个月的盈亏情况如下： 第一个月上半月盈利3万元，下半月盈利2万元； 第二个月上半月亏损2万元，下半月亏损1万元； 第三个月上半月亏损1万元，下半月盈利3万元； 第四个月上半月盈利2万元，下半月亏损2万元； 第五个月上半月亏损2万元，下半月盈利1万元. 问：这家商店以上各月是盈利还是亏损?每个月盈利或亏损各是多少万元? 我们规定盈利为“正”,亏损为“负”,如盈利1万元记作“1万元”,亏损 1万元记作“-1万元” . 由此，我们可以把这家商店五个月盈亏情况填入表 1-1(表中单位：万元). 由表1- 1得到：①3+2=5,②(-2) + (-1)= -3 , ③ (-1)+3 = 2 , ④2+(-2)=0,⑤(-2)+1=-1.从这些算式中，你有什么发现? 3.有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加. (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)任何一个数与0相加，仍得这个数. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．某长跑爱好者在一条东西走向的绿道上进行训练，训练过程记录如下（向东为正，单位：）： ，，，， 他一共跑了多少千米？ 知识点2 有理数加法的交换律与结合律 1.有理数的加法交换律 ①观察 (1)分别计算下面的算式，比较每组中两个算式的运算顺序和运算结果，你能得出什么结论? [(-8)+(-5)]+(-4), (-8)+[(-5)+(-4)]; [5.3+(-3.4)]+2, 5.3+[(-3.4)+2]. (2)再换三个数试一试，还能得出同样的结论吗? 由此可以观察到：两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变，即 ②加法交换律 a+b=b+a. 其中a、b表示有理数. 2.有理数的加法结合律 ①观察 (1)分别计算下面的算式，比较每组中两个算式的运算顺序和运算结果，你能得出什么结论? [(-8)+(-5)]+(-4), (-8)+[(-5)+(-4)]; [5.3+(-3.4)]+2, 5.3+[(-3.4)+2]. (2)再换三个数试一试，还能得出同样的结论吗? 由此可以观察到：三个有理数相加时，先把前两个数相加再与第三个数相加，或者先把后两个数相加再与第一个数相加，和不变，即 ②加法结合律 (a+b) +c=a+(b+c) 其中a、b、c表示有理数. ③三个或三个以上的有理数相加 三个或三个以上的有理数相加，既可以按从左到右的顺序计算，也可以根据加法交换律和结合律，任意交换加数的位置，或者先把其中的某几个数相加。 3.有理数的加法运算律小结 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 2．提升计算： (1) (2) (3) 3．以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 知识点3 有理数的减法 1.复习引入 与小学学过的减法意义相同，有理数的减法是有理数加法的逆运算.有理数的减法就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 2.有理数的减法法则 问题 如图1-2-2,这两天的气温，哪一天的温差比较大? 这是有关有理数减法的问题，列出算式分别是：5-(-2),9-4. 9-4= 5,那么如何求5-(-2)呢? 减法是加法的逆运算，计算5-(-2),就是要求出一个数，使这个数与-2相加得5. 因为7+(- 2)=5,所以5- ( -2)=7 . 又因为5+2=7,所以 观察 计算9—4与9+(-4),从中又有什么发现? 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 有理数的减法法则可以表示成 a- b=a+(-b). 3.有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 2．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差一定小于被减数 B．两个负数相减，等于它们的绝对值相减 C．两个负数的差一定是负数 D．两个有理数的差是负数，则被减数一定小于减数 3．把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 题型01 有理数的加法 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4)． 题型02 有理数的加法运算律 【典例1】．（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【变式1】．运用加法运算律计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】．计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 题型03 有理数加法的实际应用 【典例1】．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？ 【变式1】．一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【变式2】．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 题型04 有理数加法中的符号问题 【典例1】．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【变式1】．如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【变式2】．设a＞0，b＜0，且a+b＞0，用“＞”号把a、﹣a、b、﹣b连接起来为 ． 题型05 有理数的减法 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（1）                  （2） （3）       （4） （5）       （6） 题型07 列式计算 【典例1】．列式计算： (1)4与－3的差的相反数； (2)一个加数是－7，和是－11，则另一个加数是什么？ 【变式1】．与的和减去所得的差为 ． 题型08 有理数加减的简便运算 【典例1】．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【变式1】．计算． (1) (2) 【变式2】．计算的结果为 ． 【变式3】．计算： 【变式4】．计算：． 题型09 有理数减法的实际应用；有理数加减混合运算的实际应用 【典例1】．某地一天的最高气温为，最低气温为，则当天的温差为 ． 【变式1】．某商品的包装袋上标注出“净重克”，表示该商品最少 克． 【变式2】．某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为：早晨6时为零下，中午12时为零上，下午4时为，晚上12时为零下． (1)用正数或负数表示这四个不同时刻的温度； (2)早晨6时比晚上12时高多少？ (3)下午4时比中午12时低多少？ 【变式3】．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【变式4】．元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 题型10 有理数加减法与数轴；判断符号问题 【典例1】．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)判断：___________（填“>”，“＜”或“=”）： (2)用“＜”将a，，，连接起来（直接写出结果）． 【变式1】．两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【变式2】．用“”或“”号填空：有理数，，在数轴上对应的点如图： 则 ， ， ． 【变式3】．如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【变式4】．若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【变式5】．点A在数轴上距离原点4个单位长度，且在数轴负半轴上．从点A出发，沿数轴移动2个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　） A． B．2或6 C．6 D．或 【变式6】．在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，对应的数分别为a、b、c．若，且A、B两点间的距离为4，点C到原点的距离为5． (1)填空：______，______，______； (2)若点D在数轴上，且到点B的距离为6，求点D对应的数； (3)若点E在数轴上，点E到点C的距离为2，求点A到点E的距离． 题型11 有理数加减法与绝对值；分类讨论思想 【典例1】．已知，，且，则 ． 【变式1】．若，，且，求的值． 【变式2】．已知，，求的值． 一、单选题 1．比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 2．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的有（    ） ①，②，③，④，⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．有下列两个结论：①两数之和为负，至少有一个加数为负；②两数之和不可能比两个加数都小．其中，正确的（    ） A．只有① B．只有② C．有①和② D．一个也没有 6．李明同学记录崂山水库某周的水位情况如下表（水位相对于前一天上升记为“”，相对于前一天水位下降记为“”），则本周末与上周末相比，水位的变化情况为（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 +0.22 +0.81 -0.36 +0.03 +0.29 -0.35 -0.01 A．上升0.63米 B．下降0.63米 C．上升0.53米 D．下降0.53米 7．已知|a|＝2，b＝2，且a，b异号，则（） A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定 8．已知a = （ - ） - ，b = - （ - ），c = - - ，下列判断正确的是（    ） A．a = b = c B．a = b < c C．a = c < b D．a < b = c 9．根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 10．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m的值为（    ） A．13 B．10 C．9 D．无法确定 二、填空题 11．计算：﹣＋＝ ． 12．计算 ．可以运用 律作简便运算． 13．如果一个数加上所得的和是6，那么这个数是 ． 14．比－2.1大1.5的数是 ，—14与4两数差的绝对值是 ； 15．大于且小于的所有整数的和是 ． 16．计算： ． 17．在自然数中，前100个偶数和减去前100个奇数和的差是 ． 18．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“”法则：，例如：．在这6个数中，任意取三个数作为的值，则的最大值为 ． 三、解答题 19．计算： （1）（-5.8）+（-4.3）； （2）（+7）+（-12）； （3）（）+0； （4）（-6.25）+． 20．运用加法运算律计算： (1)(－7)＋7＋(－2)； (2) 21．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 22．用简便方法计算： (1)(－2．39)＋(－1．57)＋(－7．61)＋(＋6．57)； (2)； (3) 23．有一架直升飞机从海拔1000 m的高原起飞，第一次上升了1500 m，第二次上升了－1200 m，第三次上升了2100 m，第四次上升了－1700 m，求此时这架飞机高于海平面多少米？ 24．(1)已知一个数的绝对值为3，另一个数的绝对值是2，求两数之和； (2)已知一个数的绝对值为4，另一个数的绝对值是2，且一个数总大于另一个数，求两数之和． 25．去掉绝对值符号． (1)计算：； (2)计算． 26．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 有理数的加法与减法 教学目标 1. 了解有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2. 掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系； 3. 熟练将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并会解决简单的实际问题.知道对有理数大小比较的方法。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的加法、减法运算，有理数的加法的运算律的应用； （2）有理数加减混合运算；有理数的加法与减法的实际应用； （3）有理数的加法与减法与数轴、绝对值等综合考查。 2.难点 （1）有理数加减混合运算的简便运算； （2）有理数加减混合运算的综合应用； （3）分类讨论思想。 知识点1 有理数的加法法则 1.复习引入 在小学阶段，我们学习了自然数和正分数的加法运算法则.引入负数后， 数就扩充到了有理数，那么在有理数范围内如何进行加法运算呢? 2.思考： 已知一家商店五个月的盈亏情况如下： 第一个月上半月盈利3万元，下半月盈利2万元； 第二个月上半月亏损2万元，下半月亏损1万元； 第三个月上半月亏损1万元，下半月盈利3万元； 第四个月上半月盈利2万元，下半月亏损2万元； 第五个月上半月亏损2万元，下半月盈利1万元. 问：这家商店以上各月是盈利还是亏损?每个月盈利或亏损各是多少万元? 我们规定盈利为“正”,亏损为“负”,如盈利1万元记作“1万元”,亏损 1万元记作“-1万元” . 由此，我们可以把这家商店五个月盈亏情况填入表 1-1(表中单位：万元). 由表1- 1得到：①3+2=5,②(-2) + (-1)= -3 , ③ (-1)+3 = 2 , ④2+(-2)=0,⑤(-2)+1=-1.从这些算式中，你有什么发现? 3.有理数的加法法则 (1)同号两数相加，取原来加数的符号，并把绝对值相加. (2)异号两数相加，绝对值相等时和为0;绝对值不相等时，取绝对 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)任何一个数与0相加，仍得这个数. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)0.8； (4)． 【分析】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加运算法则即可求解，取负号，绝对值47减35； （2）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值3.75化为，减； （3）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值化为3.5，3.5减2.7； （4）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值减． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4)0 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值． （1）根据有理数的加法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加法运算法则计算即可； （3）根据有理数的加法运算法则计算即可； （4）根据有理数的加法运算法则计算即可； （5）根据有理数的加法运算法则计算即可； （6）根据有理数的加法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 3．某长跑爱好者在一条东西走向的绿道上进行训练，训练过程记录如下（向东为正，单位：）： ，，，， 他一共跑了多少千米？ 【答案】他一共跑了千米． 【分析】此题考查了正数和负数的概念，绝对值的几何意义，根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值即为在数轴上这点到原点的距离，故此长跑爱好者跑步的总路程应为上面记录中各段路程之和，即记录中各数据的绝对值之和，求出各数的绝对值的和即可， 熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 答：他一共跑了千米． 知识点2 有理数加法的交换律与结合律 1.有理数的加法交换律 ①观察 (1)分别计算下面的算式，比较每组中两个算式的运算顺序和运算结果，你能得出什么结论? [(-8)+(-5)]+(-4), (-8)+[(-5)+(-4)]; [5.3+(-3.4)]+2, 5.3+[(-3.4)+2]. (2)再换三个数试一试，还能得出同样的结论吗? 由此可以观察到：两个有理数相加时，交换加数的位置，和不变，即 ②加法交换律 a+b=b+a. 其中a、b表示有理数. 2.有理数的加法结合律 ①观察 (1)分别计算下面的算式，比较每组中两个算式的运算顺序和运算结果，你能得出什么结论? [(-8)+(-5)]+(-4), (-8)+[(-5)+(-4)]; [5.3+(-3.4)]+2, 5.3+[(-3.4)+2]. (2)再换三个数试一试，还能得出同样的结论吗? 由此可以观察到：三个有理数相加时，先把前两个数相加再与第三个数相加，或者先把后两个数相加再与第一个数相加，和不变，即 ②加法结合律 (a+b) +c=a+(b+c) 其中a、b、c表示有理数. ③三个或三个以上的有理数相加 三个或三个以上的有理数相加，既可以按从左到右的顺序计算，也可以根据加法交换律和结合律，任意交换加数的位置，或者先把其中的某几个数相加。 3.有理数的加法运算律小结 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法运算； （1）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法运算，再进行异号加法计算，即可求解； （2）先利用加法交换律和加法结合律，再进行同号加法及相反数进行运算，再进行异号加法计算，即可求解； 掌握有理数运算律及加法法则是解题的关键. 【详解】（1）解：原式； ； （2）解：原式． . 2．提升计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则和运算律是解答本题的关键． （1）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （2）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可； （3）根据有理数加法的交换律和结合律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 知识点3 有理数的减法 1.复习引入 与小学学过的减法意义相同，有理数的减法是有理数加法的逆运算.有理数的减法就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 2.有理数的减法法则 问题 如图1-2-2,这两天的气温，哪一天的温差比较大? 这是有关有理数减法的问题，列出算式分别是：5-(-2),9-4. 9-4= 5,那么如何求5-(-2)呢? 减法是加法的逆运算，计算5-(-2),就是要求出一个数，使这个数与-2相加得5. 因为7+(- 2)=5,所以5- ( -2)=7 . 又因为5+2=7,所以 观察 计算9—4与9+(-4),从中又有什么发现? 有理数的减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 有理数的减法法则可以表示成 a- b=a+(-b). 3.有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即学即练】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）先化简多重符号，再按照有理数加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 2．下列说法正确的是（   ） A．两个有理数的差一定小于被减数 B．两个负数相减，等于它们的绝对值相减 C．两个负数的差一定是负数 D．两个有理数的差是负数，则被减数一定小于减数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案． 【详解】A．两个有理数相减，差不一定小于被减数，例如，原说法错误，故A不符合同意； B．两个负数相减，等于它们的绝对值相减，此说法错误，故B不符合同意； C．两个负数的差不一定是负数，例如，原说法错误，故C不符合同意； D．两个有理数的差是负数，则被减数一定小于减数，此说法正确，故D符合题意． 故选：D． 3．把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，能把减法变成加法是解此题的关键，先根据有理数的减法法则把减法变成加法，再把加号和括号去掉即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：D． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查有理数的加减运算，属于基础题，解题的关键是正确化简多重符号． （1）先去括号，再按照有理数加减运算法则计算即可； （2）直接按照有理数加减运算法则计算即可； （3）先去括号，再利用加法交换律和有理数加减运算法则计算即可； （4）先去括号，再把小数化为分数，利用加法交换律和有理数加减运算法则计算即可； （5）先去括号，再把小数化为分数，利用加法交换律和有理数加减运算法则计算即可；． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ， ； （5）解：， ， ， ． 题型01 有理数的加法 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算．熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键． （1）去括号，然后进行减法运算即可； （2）去括号，然后进行加法运算即可； （3）先将带分数化成假分数，然后进行加法运算即可； （4）先将带分数化成假分数，然后进行加法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）先确定符号取正号，再利用较大的绝对值减去较小的绝对值即可； （2）先确定符号取负号，再把两数的绝对值相加即可； （3）先确定符号取正号，再把两数的绝对值相加即可； （4）先确定符号取负号，再利用较大的绝对值减去较小的绝对值即可； 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查有理数的加法运算，解答本题的关键是明确有理数加法运算的计算方法． 题型02 有理数的加法运算律 【典例1】．（1）加法交换律： ． 例： ； （2）加法结合律： ． 例：[ + ]． 【答案】 【分析】（1）由有理数的加法交换律即可以得解； （2）由有理数的加法结合律即可得解． 【详解】（1）； ． 故答案为：． （2）； ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法的交换律和结合律等知识点，解题时要熟练掌握运算律并准确计算是关键． 【变式1】．运用加法运算律计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）利用加法的交换律和结合律计算即可； （2）利用加法的交换律和结合律计算即可； （3）利用加法的交换律和结合律计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式2】．计算： (1)（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） (2)43+（﹣77）+27+（﹣43） (3)18+（﹣16）+（﹣23）+16 (4)（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） (5)5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） (6)（﹣2）+17+（+12）+（﹣4） 【答案】(1)﹣3 (2)﹣50 (3)﹣5 (4)2 (5)1 (6) 【分析】(1)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (2)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (3)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (4)运用加法的交换律和结合律，同号的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可； (5)运用加法的交换律和结合律，同分母的相结合，再按照异号两数相加的法则计算即可． 【详解】（1）（﹣3）+40+（﹣32）+（﹣8） ＝40+[（﹣3）+（﹣32）+（﹣8）] ＝40+（﹣43） ＝﹣3， （2）43+（﹣77）+27+（﹣43） ＝（43+27）+[（﹣77）+（﹣43）] ＝70+（﹣120） ＝﹣50， （3）18+（﹣16）+（﹣23）+16 ＝（18+16）+[（﹣16）+（﹣23）] ＝34+（﹣39） ＝﹣5， （4）（﹣3）+（+7）+4+3+（﹣5）+（﹣4） ＝[（+7）+4+3]+[（﹣3）+（﹣5）+（﹣4）] ＝14+（﹣12） ＝2， （5）5.6+（﹣0.9）+4.4+（﹣8.1） ＝（5.6+4.4）+[（﹣0.9）+（﹣8.1）] ＝10+（﹣9） ＝1， （6） ＝ ＝ ＝． 【点睛】本题考查了有理数加法法则和加法的运算律，熟练运用有理数的加法法则是解题的关键． 题型03 有理数加法的实际应用 【典例1】．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下（单位：米）：．问：守门员最后是否回到了球门线的位置？ 【答案】守门员最后回到了球门线的位置 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，正负数的实际应用，把守门员折返跑的记录相加，若结果为0，则守门员回到球门线位置，若不为0，则没有回到球门线位置，据此列式求解即可． 【详解】解： ， 答：守门员最后回到了球门线的位置． 【变式1】．一只小虫从某点A出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的各段路程依次为（单位：）：，，，，，，． (1)此时小虫在A点左边还是右边？距A点多远？ (2)在爬行的过程中，若每爬行，奖励3粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是 (2)小虫可得到96粒芝麻 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正负数，绝对值． （1）由题意知，计算，根据计算结果的正负作答即可； （2）小虫一共得到的芝麻数，与它爬行的方向无关，只与爬行的距离有关，所以应把绝对值相加，再求得到的芝麻粒数． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴爬行结束后蚂蚁在点A的右边，与点A的距离是； （2）解：由题意知，， ∵每爬行，奖励3粒芝麻， ∴（粒）， 答：小虫可得到96粒芝麻． 【变式2】．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的是的计算过程（白色为正，灰色为负），则图2表示的计算过程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义是解题的关键．根据图中的含义写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图2表示的计算过程是：， 故选：A． 题型04 有理数加法中的符号问题 【典例1】．用“”或“”填空： （1）如果，那么 0； （2）如果，那么 0； （3）如果，那么 0； （4）如果，那么 0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 【详解】（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点睛】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【变式1】．如果两个数的和是正数，那么（　　） A．这两个加数都是正数 B．一个加数为正数，另一个加数为0 C．一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上皆有可能 【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则分析判断即可． 【详解】解：如果两个数的和是正数，可能这两个加数都是正数，如； 一个数为正数，另一个加数为0，两个数的和是正数，如； 一个加数为正数，另一个加数为负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则两个数的和为正数，如． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加法法则，理解并熟练掌握有理数的加法法则是解题关键． 【变式2】．设a＞0，b＜0，且a+b＞0，用“＞”号把a、﹣a、b、﹣b连接起来为 ． 【答案】a＞﹣b＞b＞-a 【分析】由题意易得，进而根据相反数的意义及绝对值的意义结合有理数的大小比较可进行求解． 【详解】解：∵a＞0，b＜0，且a+b＞0， ∴， ∴a＞﹣b＞b＞-a； 故答案为a＞﹣b＞b＞-a． 【点睛】本题主要考查有理数的加法法则及有理数的大小比较，熟练掌握有理数的加法法则及有理数的大小比较是解题的关键． 题型05 有理数的减法 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则，“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行计算即可； （2）先求出绝对值，然后根据有理数减法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数减法运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则，“减去一个数等于加上这个数的相反数”进行计算即可； （2）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法运算法则，进行计算即可 （4）根据有理数减法运算法则进行计算即可； （5）根据有理数减法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： （5）解： ． 【变式2】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【分析】（）先把减法转化为加法，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （）先把减法转化为加法，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （）先把减法转化为加法，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （）先把减法转化为加法，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （）先算括号内的运算，再把减法转化为加法，然后根据有理数加法运算法则计算即可； （）先把减法转化为加法，然后根据有理数加法运算法则计算即可； 本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 题型06 有理数的加减混合运算 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算． （1）先去括号，然后按照有理数加减混合运算法则计算即可． （2）先化简绝对值，去括号，然后按照有理数加减混合运算法则计算即可． （3）先去括号，然后按照有理数运算中的简便运算计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． （3）解： ． 【变式1】．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．（1）                  （2） （3）       （4） （5）       （6） 【答案】（1）；（2）12；（3）；（4）；（5）7；（6）-204 【分析】（1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）先将同分母分数相加，再合并； （3）先将小数化成分数，再合并； （4）先将同分母分数相加，再合并； （5）先将同分母分数相加，再合并； （6）分别将整数相加减，分数相加减，再合并； 【详解】解：（1） = = =； （2） = = =12； （3） = = = =； （4） = =； （5） = =-1+8 =7； （6） = =-204 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则. 题型07 列式计算 【典例1】．列式计算： (1)4与－3的差的相反数； (2)一个加数是－7，和是－11，则另一个加数是什么？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）本题先求4与－3的差，继而求解其相反数即可． （2）本题利用两数之和减去一个加数，即可求得另一个加数． 【详解】（1），的相反数为． （2）另一个加数为． 【点睛】本题考查有理数的加减运算以及相反数的定义，解题关键在于对运算法则的理解以及计算的准确性． 【变式1】．与的和减去所得的差为 ． 【答案】 【分析】本题主要考出来有理数加减混合运算，这类型的题目要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式求解．根据题意列式并计算即可得到答案． 【详解】解： ． 题型08 有理数加减的简便运算 【典例1】．阅读计算的方法，再用这种方法计算个小题． 【解析】 原式      ， 上面这种解题方法叫做拆项法． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （1）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （2）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1） ， ； （2） ， ． 【变式1】．计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1011 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，找到各加数的规律是解题的关键． （1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有338组；进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先利用加法的结合律得，共个数，所以分成了组，每组得和为，即可得到答案．解题的关键是根据有理数的加法法则进行有理数的加减运算；利用加法的结合律简化计算． 【详解】解： ， ∴的结果为。 故答案为：。 【变式3】．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，观察得到每个加数的规律是解题的关键． 从第二个分数开始，每个分数的分母可以拆分成2个数相加，而分子是这2个数的和，据此将分数变为，然后将括号去掉进行简算即可． 【详解】解： ． 【变式4】．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，化简绝对值，先化简绝对值，再根据有理数加减计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 题型09 有理数减法的实际应用；有理数加减混合运算的实际应用 【典例1】．某地一天的最高气温为，最低气温为，则当天的温差为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数减法的应用，利用最高温度减去最低温度即可。 【详解】解：， 故答案为：9． 【变式1】．某商品的包装袋上标注出“净重克”，表示该商品最少 克． 【答案】495 【分析】本题考查了有理数的减法和正负数的应用，根据题意列式得到最小净重，即可解题． 【详解】解：某商品的包装袋上标注出：净重（）克， 该商品最少克． 故答案为：495． 【变式2】．某地气象站测得某天的四个时刻气温分别为：早晨6时为零下，中午12时为零上，下午4时为，晚上12时为零下． (1)用正数或负数表示这四个不同时刻的温度； (2)早晨6时比晚上12时高多少？ (3)下午4时比中午12时低多少？ 【答案】(1)早晨6点温度为，中午12点温度为，下午4点为，晚上12点为 (2)早晨6点比晚上12点高 (3)下午4点比中午12点低 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数减法的实际应用： （1）根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，零下为负，进行表示即可； （2）用早晨6时的温度减去晚上12时的温度，进行计算即可； （3）用中午12时的温度减去下午4时的温度，进行计算即可． 【详解】（1）解：规定零上为“正”、零下为“负”，早晨6点温度为，中午12点温度为，下午4点为，晚上12点为． （2）早晨6点为，晚上12点为， ， 所以早晨6点比晚上12点高； （3）下午4点为，中午12点为， （）， 答：下午4点比中午12点低． 【变式3】．小王在网店上销售文具，计划每天销售100千克，但实际每天销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负，下表是小王第一周文具的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 文具销售超过或不足计划量情况（单位：千克） (1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ (2)小王第一周实际销售文具的总量是多少千克？ (3)若文具售价为8元/千克，包装及快递费为3元/千克，则小王这一周文具销售收入共多少元？ 【答案】(1)小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克 (2)小王第一周实际销售文具的总量是718千克 (3)小王这一周文具销售收入共3590元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，涉及了有理数的混合运算，注意计算的准确性． （1）用周六文具的销量减去周五文具的销量即可； （2）计算即可求解； （3）收入=（售价－运费）×总量，据此即可求解． 【详解】（1）解：根据表格可知，实际每天销售量最多超过13千克，实际每天销售量最少低7千克， 所以（千克）， 答：小王第一周销售文具最多的一天比最少的一天多销售20千克． （2）解：小王第一周实际销售文具的总量： （千克）， 答：小王第一周实际销售文具的总量是718千克． （3）解：小王这一周文具销售收入共： （元）， 答：小王这一周文具销售收入共3590元． 【变式4】．元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 【答案】(1)美团支付 (2)143元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减运算，熟练掌握相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键； （1）根据图中数据即可求解； （2）将图中得数据相加即可求解； 【详解】（1）解：由图可得，账单中支出费用最大的交易是美团支付155元； （2）解：（元） 答：小湖的当日的微信红包余额是143元． 题型10 有理数加减法与数轴；判断符号问题 【典例1】．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)判断：___________（填“>”，“＜”或“=”）： (2)用“＜”将a，，，连接起来（直接写出结果）． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】（1）利用数轴和相反数的意义解答即可； （2）利用数轴和相反数的意义解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：＜． （2）解：由（１）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，相反数的意义，以及有理数的加减法法则，利用数形结合法解答是解题的关键． 【变式1】．两数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，有理数的加减法，绝对值和相反数，理解数轴是解题关键．由数轴可知，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，，，， A选项正确，B、C、D选项错误， 故选：A． 【变式2】．用“”或“”号填空：有理数，，在数轴上对应的点如图： 则 ， ， ． 【答案】 【分析】由数轴可得＜＜0＜，然后结合有理数的大小比较进行求解即可． 【详解】有理数，，在数轴上对应的点如图，则有＜＜0＜， 所以，，． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值及有理数的大小比较，熟练掌握数轴上数的表示及有理数的大小比较是解题的关键． 【变式3】．如图，、、是数轴上点表示的有理数．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，以及合并同类项，根据数轴判断出a、b、c的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．根据数轴判断出的正负情况以及绝对值的大小，然后求出的正负情况，再根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后合并同类项即可得解． 【详解】解：由图可知：， 所以可得， 故答案为：． 【变式4】．若有理数，，，满足，则以下四个结论中，正确的是（   ） A．一定是正数 B．可能是负数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法法则、相反数、减法法则．首先根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，再根据有理数的加法法则进行判断即可． 【详解】解：A选项：，不一定是正数，故A选项错误； B选项：，，一定是正数，故B选项错误； C选项：，，，不一定是负数，故C选项错误； D选项：，，，又，，，一定是正数，故D选项正确． 故选：D． 【变式5】．点A在数轴上距离原点4个单位长度，且在数轴负半轴上．从点A出发，沿数轴移动2个单位长度到达点B，则点B表示的数是（　　） A． B．2或6 C．6 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴问题以及点的平移，掌握在数轴上“向右为正，向左为负”、平移规律“右加左减”是解答本题的关键．由于点A与原点的距离为4，且在数轴负半轴上，那么A表示的数为；然后根据数轴上“右加左减”的规律即可解答． 【详解】解：因为点A在数轴上距离原点4个单位长度，且在数轴负半轴上， 所以点A表示的数为， 沿数轴向左移动2个单位长度，得到数；沿数轴向右移动2个单位长度，得到数． 故选：D． 【变式6】．在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，对应的数分别为a、b、c．若，且A、B两点间的距离为4，点C到原点的距离为5． (1)填空：______，______，______； (2)若点D在数轴上，且到点B的距离为6，求点D对应的数； (3)若点E在数轴上，点E到点C的距离为2，求点A到点E的距离． 【答案】(1)，5，2 (2)或8 (3)5或9 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式得到，再结合可以求出a、b的值；根据点C到原点的距离为5，且点C点B的右边，即可求出c的值； （2）分点D在B左侧和右侧两种情况进行求解即可； （3）同理求出点E表示的数，进而根据数轴上两点距离公式求出点A到点E的距离即可． 【详解】（1）解：∵在一条不完整的数轴上从左到右有A、B、C三个点，对应的数分别为a、b、c，A、B两点间的距离为4， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵点C到原点的距离为5，且点C点B的右边， ∴点C表示的数为5，即， 故答案为：，5，2； （2）解：点B对应的数是2，点D到点B的距离为6， ∴当点D在点B左侧时，点D对应的数为； 当点D在点B的右侧时，点D对应的数为， ∴点D对应的数为或8； （3）解：点C对应的数是5，点E到点C的距离为2， ∴同理可得点E对应的数是3或7 ∵点A对应的数为， ∴当E对应的数是3时，点A到点E的距离为， 当E对应的数是7时，点A到点E的距离为， ∴点A到点E的距离为5或9． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离公式，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． 题型11 有理数加减法与绝对值；分类讨论思想 【典例1】．已知，，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算，绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 根据，，且求出m、n的值，代入即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，或，， ∴或． 故答案为：或． 【变式1】．若，，且，求的值． 【答案】或． 【分析】本题考查了绝对值的性质有理数的减法运算，根据绝对值的性质可得，，然后进一步确定，从而可得当，时；当，时，再计算即可，熟练掌握绝对值的有关概念和性质是解题的关键． 【详解】由，则， ∵，， ∴，， 则当，时， ； 当，时， ， 综上可知：的值为或． 【变式2】．已知，，求的值． 【答案】的值是或或或． 【分析】根据绝对值的性质求出、，然后分情况讨论求解即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴或，或， 当，时，， ，时，， ，时，， ，时，， 所以，的值是或或或． 【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值的性质，关键在于要分情况讨论． 一、单选题 1．比小1的数是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，根据题意结合有理数的减法法则列式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：，即比小1的数是， 故选：B． 2．不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加减运算法则进行求解即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 3．下列运算正确的有（    ） ①，②，③，④，⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据有理数的加法运算法则即可依次计算，判断． 【详解】①，故错误； ②，故错误； ③，正确； ④，正确； ⑤，正确 故选C． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则． 4．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】有理数加法法则： ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． 依此计算即可求解． 【详解】解：、，故选项错误，不符合题意； 、，故选项错误，不符合题意； 、，故选项正确，符合题意； 、，故选项错误； 故选：C． 【点睛】考查了有理数的加法，解题的关键是掌握在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”． 5．有下列两个结论：①两数之和为负，至少有一个加数为负；②两数之和不可能比两个加数都小．其中，正确的（    ） A．只有① B．只有② C．有①和② D．一个也没有 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法法则，①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；③任何数与0相加仍得原数． 【详解】解：①两数之和为负，至少有一个加数为负，说法正确； ②两数之和不可能比两个加数都小，说法错误，当两数都为负数时，两数之和比两个加数都小． 故选：A． 6．李明同学记录崂山水库某周的水位情况如下表（水位相对于前一天上升记为“”，相对于前一天水位下降记为“”），则本周末与上周末相比，水位的变化情况为（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米 +0.22 +0.81 -0.36 +0.03 +0.29 -0.35 -0.01 A．上升0.63米 B．下降0.63米 C．上升0.53米 D．下降0.53米 【答案】A 【分析】用本周末的水位与上周末的水位比较即可． 【详解】解：设上周末水位为x米，则 周一：x+0.22（米）， 周二：x+0.22+0.81=x+1.03（米）， 周三：x+1.03-0.36=x+0.67（米）， 周四：x+0.67+0.03=x+0.7（米）， 周五：x+0.7+0.29=x+0.99（米）， 周六：x+0.99-0.35=x+0.64（米）， 周日：x+0.64-0.01=x+0.63（米）， ∵x+0.63＞x， ∴本周末与上周末相比，水库水位是上升了 0.63米． 故选A． 【点睛】本题考查正数、负数的意义及有理数的加减法，理解正负数的意义是解决问题的前提． 7．已知|a|＝2，b＝2，且a，b异号，则（） A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定 【答案】A 【分析】先求a的值，再根据a，b异号，确定a、b值，再求出最后结果即可． 【详解】解：∵|a|＝2， ∴a＝±2， ∵a，b异号，b＝2， ∴a＝﹣2， ∴a+b＝﹣2+2＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加法、绝对值，掌握有理数的加法法则、绝对值性质是解题关键． 8．已知a = （ - ） - ，b = - （ - ），c = - - ，下列判断正确的是（    ） A．a = b = c B．a = b < c C．a = c < b D．a < b = c 【答案】C 【分析】根据加减法的结合律得出a=c，再根据加一个正数比减一个正数大，得出b大． 【详解】a== c b ∴a=c<b 故选：C 【点睛】本题考查有理数的大小比较，掌握运算规律和技巧是解题关键． 9．根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A．2 B．0 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的运算程序图，有理数的加减混合运算，理解有理数的运算程序图是解题关键．根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到4，问题得解． 【详解】解：； ． 故选：C． 10．如图，方格中的任一行、任一列以及对角线上的数字之和相等，那么m的值为（    ） A．13 B．10 C．9 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减法，由第一行可得每一行的和为39，继而可求出左边及下面的数，即能得出的值．求出下面的空格里面的数是关键． 【详解】解：由题意，得每一行（列或对角线）的和为， ∴方格中心位置的空格里面的数为， 下面的空格里面的数为， ∴的值为， 故选：C． 二、填空题 11．计算：﹣＋＝ ． 【答案】-1 【分析】因为，所以． 【详解】解：原式． 故答案为：-1． 【点睛】本题利用了加法法则计算：绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 12．计算 ．可以运用 律作简便运算． 【答案】 加法交换、结合律 【分析】后面两个数相乘可以凑成整式，所以利用乘法结合律简化运算． 【详解】解：原式， 可以运用加法交换、结合律进行简算， ， 故答案为：；加法交换、结合律． 【点睛】本题考查了有理数的加法的运算法则，解题的关键是注意观察算式的特点，找出合适的运算定律进行简算． 13．如果一个数加上所得的和是6，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的减法运算法则计算即可． 本题考查了有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数．熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． 【详解】， 故答案为：． 14．比－2.1大1.5的数是 ，—14与4两数差的绝对值是 ； 【答案】 -0.6 18 【分析】先列式再计算即可． 【详解】解：比－2.1大1.5的数列式为-2.1+1.5=-0.6， —14与4两数差的绝对值列式为：|-14-4|=|-18|=18， 故答案为：-0.6；18． 【点睛】本题考查列算式并计算，掌握列算式的方法是解题关键． 15．大于且小于的所有整数的和是 ． 【答案】 【分析】列出大于且小于的所有整数，有，0，1，2，相加可求出解． 【详解】解：大于且小于的所有整数，有，0，1，2， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查有理数大小比较以及整数的概念，，有理数的加法运算，解题的关键是熟练掌握比较有理数的大小的方法：（1）负数正数；（2）两个负数，绝对值大的反而小． 16．计算： ． 【答案】 【分析】先把整数与分数拆开分别计算，互为相反数先相加，再通分合并，约分即可． 【详解】解：， =， =， =． 故答案为． 【点睛】本题考查有理数的加减混合和运算，整数与分数部分拆分计算是解题关键． 17．在自然数中，前100个偶数和减去前100个奇数和的差是 ． 【答案】-100 【分析】把相邻奇偶数为一组，得到-1，总共有200÷2=100组，即100个-1，就是-100． 【详解】解：由题意得：（0-1）+（2-3）+（4-5）+…+（198-199） =-1-1-1-1-1-…-1 =-100． 故答案为：-100． 【点睛】此题考查有理数的加减混合运算，难度较大，巧妙利用结合律计算比较简单．还要注意0既是自然数，也是偶数． 18．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“”法则：，例如：．在这6个数中，任意取三个数作为的值，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据新定义确定出所求即可． 【详解】解：当a+b+c≥0时， ， 此时最大值为2×=； 当a+b+c＜0时， ， 此时最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算与有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三、解答题 19．计算： （1）（-5.8）+（-4.3）； （2）（+7）+（-12）； （3）（）+0； （4）（-6.25）+． 【答案】（1）-10.1；（2）-5；（3）；（4）0 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可得出结果； （2）根据有理数的加法法则即可得出结果； （3）根据有理数的加法法则即可得出结果； （4）根据有理数的加法法则即可得出结果． 【详解】解：（1）（-5.8）+（-4.3）=-10.1； （2）（+7）+（-12）=-5； （3）（）+0=； （4）（-6.25）+=0． 【点睛】本题考查了有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解答此题的关键． 20．运用加法运算律计算： (1)(－7)＋7＋(－2)； (2) 【答案】（1）-2；（2）1 【分析】（1）先利用加法结合律将前两项相加，再把结果和-2相加； （2）利用加法交换律将同分母分数相加，再把结果相加即可． 【详解】解：(1)原式＝[(－7)＋7]＋(－2)＝0＋(－2)＝－2； (2)原式＝＋＝0＋1＝1． 【点睛】本题考查有理数的加法．多个有理数的相加时，可利用加法的交换律和结合律将互为相反数、同分母或者符号相同的数先相加． 21．计算 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算： （1）根据有理数的加法计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．用简便方法计算： (1)(－2．39)＋(－1．57)＋(－7．61)＋(＋6．57)； (2)； (3) 【答案】（1）-5；（2）；（3） 【分析】（1）分别把(－2.39)和(－7.61)，(－1.57)和(＋6.57)分为一组，每一组相加都是整数，然后计算即可； （2）利用同分母的先相加，然后再计算即可； （3）可以利用互为相反数的两个数先相加，（－2.16）和（－3.84)，和-0.2分别凑整，最后再加上即可． 【详解】解：(1)原式＝[(－2.39)＋(－7.61)]＋[(－1.57)＋(＋6.57)]＝(－10)＋5＝－5； (2)原式＝＋＝＋＝－＝； (3)原式＝＋(－2.16－3.84)＋＋＝0－6＋8＋＝． 【点睛】本题主要考查有理数加法的简便运算，掌握有理数加法的运算律是解题的关键． 23．有一架直升飞机从海拔1000 m的高原起飞，第一次上升了1500 m，第二次上升了－1200 m，第三次上升了2100 m，第四次上升了－1700 m，求此时这架飞机高于海平面多少米？ 【答案】此时这架飞机高于海平面1700 m． 【分析】根据题意列出加法算式，进而即可求解 【详解】解：1 000＋1 500＋(－1 200)＋2 100＋(－1 700) ＝(1 000＋1 500＋2 100)＋(－1 200－1 700) ＝4 600＋(－2 900)＝1 700(m)． 答：此时这架飞机高于海平面1 700 m. 【点睛】本题主要考查有理数加法的实际应用，理解题意，列出有理数的加法算式，是解题的关键． 24．(1)已知一个数的绝对值为3，另一个数的绝对值是2，求两数之和； (2)已知一个数的绝对值为4，另一个数的绝对值是2，且一个数总大于另一个数，求两数之和． 【答案】（1）两数之和为－5，－1，1，5；（2）两数之和为6或2. 【分析】（1）根据绝对值的意义得到两个数分别为±3和±2，再分别计算得到答案； （2）根据绝对值的意义得到两个数分别为±4和±2，根据一个数总大于另一个数得到这个数是4，再根据加法法则进行计算. 【详解】解：(1)由题意知两个数分别为±3和±2， 则3＋2＝5，－3＋2＝－1， 3＋(－2)＝1，－3＋(－2)＝－5， 故两数之和为－5，－1，1，5； (2)同(1)可得两个数分别为±4和±2， 若一个数总大于另一个数，则这个数是4， 则4＋2＝6，4＋(－2)＝2. 故两数之和为6或2. 【点睛】此题考查有理数的加法法则，绝对值的意义，根据绝对值的意义求出两个数，正确计算是解题的关键. 25．去掉绝对值符号． (1)计算：； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了化简绝对值，有理数加减混合运算，熟练掌握绝对值大的意义是解答本题的关键． （1）根据题意化简绝对值，进行计算即可； （2）根据（1）找到计算规律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 26．距离能够产生美.唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无.”当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道:“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离，是数学、天文学、物理学中的热门话题.唯有对宇宙距离进行测量,人类才能掌握世界尺度． 绝对值的定义：一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 例如：是指数轴上表示3的点到原点的距离 ，是指数轴上表示的点到原点的距离． 概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ； ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ． 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则 ． 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 ，此时x的值为 ． ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为 ，如果，那么x的值为 ； ③式子有最小值吗？若有，请求出它的最小值． 【答案】概念延伸：①3，3；②3，3；③4，4 归纳总结： 拓展应用：①0，1；②，或1；③有最小值，最小值为3 【分析】本题为新定义问题，考查了绝对值概念的进一步理解．理解题意，根据绝对值的概念，结合题目的概念延伸，逐步理解即可求解． 概念延伸：①根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ②根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； ③根据数轴和有理数的加减以及绝对值等知识逐项化简即可求解； 归纳总结：根据概念延伸规律可以得到数轴上两点间的距离等于表示这两个点的有理数的差的绝对值，据此即可求解； 拓展应用 ①根据绝对值的非负性可以得到的最小值为0，进而即可求出x的值为1； ②根据归纳总结的内容即可得到，根据绝对值的化简即可求出x的值为或1； ③根据绝对值的意义得到表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和，据此即可求出当时， 最小值为3． 【详解】解：概念延伸 ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 3，； 故答案为：3，3； ②数轴上表示和的两点之间的距离是3，； 故答案为：3，3； ③数轴上表示1和的两点之间的距离是4，． 故答案为：4，4； 归纳总结 点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点之间的距离表示为， 则． 故答案为：； 拓展应用 ①数轴上表示数x和 1的两点A和B之间的距离为，则的最小值是 0，此时x的值为1． 故答案为：0，1 ②数轴上表示数x和的两点A和B之间的距离为，如果，那么x的值为或1； 故答案为：，或1； ③∵， ∴表示数轴上点到表示的点的距离与到表示2的点的距离之和， 所以当时，此时的值最小，最小值为3． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$