专题03：绝对值 有理数的大小比较（3大知识点+10大题型+真题检验） 2025年新六年级暑假班预修提升课程（沪教版2024）

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题03 绝对值 有理数的大小比较 知识点一、绝对值的定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点分析： （1）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝或|a|＝ （2）绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|. （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点二、绝对值的性质 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点三、有理数大小比较 1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型01：绝对值的意义 【名师点拨】a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 【例1】 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【例2】数轴上表示 的点与表示 的点的距离为（    ） A． B． C． D． 【例3】求下列各数的绝对值． ，-0.3，0， 【跟踪训练】 1. 实数的绝对值是 （     ） A．3 B． C． D． 2. 的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 3. 的绝对值的相反数是（    ） A． B．3 C． D．0 4．分别求下列各数的相反数和绝对值．                         5.计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 题型02：绝对值的意义求字母的值或范围 【名师点拨】根据绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数 【例4】数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则 ． 【例5】如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【跟踪训练】 1 .绝对值是的数是（    ） A． B． C． D． 2.求绝对值不大于3的所有整数． 3.如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值． 题型03：绝对值的性质 互为相反数的两个数的绝对值相等.反过来绝对值相等的两个数相等或互为相反数. 【例6】绝对值等于本身的数是________ 【例7】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是（    ） A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数 【例8】下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D．整数的绝对值大于分数的绝对值 【跟踪训练】 1.如果，下列成立的是（    ） A． B． C． D． 2．符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 题型04：化简绝对值 【名师点拨】1.绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．2.先判断字母以及式子的正负 【例9】_____． 【例10】在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【例11】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【跟踪训练】 1.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 2.下列计算中，结果等于5的是（   ） A． B． C． D． 3.化简： |a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)． 4．数在数轴上所对应点如图所示：化简 ． 5．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 6.若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 题型05：绝对值的非负性及应用 【名师点拨】（1）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.（2）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 【例12】若，则 ， ． 【例13】若与互为相反数，则 ． 【例14】若，a一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【跟踪训练】 1 .若，求，的值． 2．若与互为相反数，则的值为 ． 3.已知为有理数，则的最小值为 ． 4．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　） A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数 5.下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 题型06：绝对值与相反数 【名师点拨】负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数是0,0的绝对值也是它的相反数 若a和b互为相反数,则;若|a|=|b|,则a=b或. 【例15】的相反数的绝对值为（　　） A． B． C． D． 【例16】绝对值等于它的相反数的数是________ 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 题型07：运用法则直接比较大小 【名师点拨】①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小 【例17】比较下列各组数的大小： (1)与1 (2)与 (3)与 (4)与 【例18】下列有理数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【例19】比较大小：___________ 【跟踪训练】 1．比较大小：___________ 2.比较下列各对数的大小： (1)和． (2)和． (3)和． (4)和． 3．用“”或“”填空： （1）_____0 （2）___ （3）___0 （4）_____ （5）______ 题型08：借助数轴直接比较数的大小 【名师点拨】比较有理数的大小可以利用数轴，从左到右的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）． 【例20】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 【例21】已知，，且，那么将，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0. 2.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 3.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　) A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b 题型09：绝对值在实际问题中的应用 【例22】第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【跟踪训练】 1.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 2.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表： +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 3.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 题型10：综合应用 【名师点拨】数轴和绝对值的性质，数轴上两点间的距离 【例23】探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系： (1)观察数轴，填空： 点A与点B的距离是　　；点C与点B的距离是　　； 点E与点F的距离是　　；点D与点G的距离是　　． 我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离可表示为　　（用m、n表示）． (2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝　　． (3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题： ①，则x＝　　．②，则x＝　　． 【例24】【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______； (2)若，则_________，若，则________； (3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值； (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 一、选择题 1．（2023春·广东惠州·七年级校考开学考试）的绝对值是（　　） A．2 B． C． D． 2．（2022秋·七年级单元测试）若，则等于（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·七年级假期作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数 D．若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点距离越远的点，表示的数就越大 B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小 C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数 D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等 5．（2023·全国·七年级假期作业）绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是（　　） A．6， B．0，6 C．0， D．3， 6．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D．． 二、填空题 7．（2021春·上海浦东新·六年级校联考期末）的绝对值是_______________ 8．（2021秋·上海青浦·六年级校考期末）化简：______． 9．（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若，那么_____． 10．绝对值不大于6的整数有 个． 11．绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 12．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    13．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是 ． 14．（2022春·七年级单元测试）已知，那么_______，________． 15．（2023·浙江·七年级假期作业）若，则 _______． 16．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 17．（2022春•徐汇区校级期中）比较大小：　　﹣（﹣1.4）． 18．（2023·全国·七年级假期作业）有理数，，且，把a，，b，按由小到大的顺序排列是 _______________． 3、 解答题 19．（2023·全国·七年级假期作业）求下列各数的绝对值： (1)；(2)0.15；(3)；(4)； 20．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，并用“”把它们连接起来． 21．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 22．（2022秋·七年级单元测试）已知，，求，的值，并比较它们的大小． 23．（2023春·上海·六年级专题练习）若，，，，，计算 24．已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 25．有理数、在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用、或填空：______，______，______，______ (3)试用连接，0，， 26．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 27．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距25．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足． (1)点A到点B的距离为_________； (2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题03 绝对值 有理数的大小比较 知识点一、绝对值的定义 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3． 要点分析： （1）绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.用符号表示为：|a|＝或|a|＝ （2）绝对值的几何定义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|. （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 知识点二、绝对值的性质 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点三、有理数大小比较 1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2．法则比较法： 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 要点分析： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型01：绝对值的意义 【名师点拨】a可以是正数、负数和0，由于数的绝对值是两点之间的距离，所以绝对值不可能是负数。 【例1】 的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当是负有理数时，的绝对值是它的相反数，据此求出的绝对值是多少即可．此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当是正有理数时，的绝对值是它本身；②当是负有理数时，的绝对值是它的相反数；③当是零时，的绝对值是零． 【详解】解：的绝对值是7． 故选：B． 【例2】数轴上表示 的点与表示 的点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上两点间距离即可解答． 【详解】解：由题可得： 数轴上表示的点与表示的点的距离为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． 【例3】求下列各数的绝对值． ，-0.3，0， 【思路点拨】，-0.3，0，在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】 解法一：因为到原点距离是个单位长度，所以． 因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3． 因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为到原点的距离是个单位长度，所以． 解法二：因为，所以． 因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0.3)＝0.3． 因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0． 因为，所以． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值． 【跟踪训练】 1. 实数的绝对值是 （     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【解析】解：的绝对值是3． 故选：A． 2. 的相反数是（    ） A． B． C．2024 D．－2024 【答案】A 【分析】本题考查了化简绝对值以及相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可作答． 【解析】解： ∴的相反数是 故选：A 3. 的绝对值的相反数是（    ） A． B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和相反数，理解绝对值和相反数的含义是解题的关键． 先求出的绝对值，然后根据只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【解析】的绝对值是3，3的相反数是． 故选：A． 4．分别求下列各数的相反数和绝对值．                         【答案】见解析 【分析】根据相反数以及绝对值的意义即可求解． 【详解】解：的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是； 的相反数是，绝对值是． 【点睛】本题考查了求一个数的相反数，绝对值，熟练掌握相反数以及绝对值的意义是解题的关键． 5.计算：（1） （2）|-4|+|3|+|0| （3）-|+(-8)| 【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果. 解：(1) ， (2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7， (3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8． 【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0．从而求出该数的绝对值． 题型02：绝对值的意义求字母的值或范围 【名师点拨】根据绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数 【例4】数a在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则 ． 【答案】 【分析】先根据绝对值的意义得到，再根据数a在数轴上的对应点在原点的左侧，即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵数a在数轴上的对应点在原点的左侧， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，灵活运用所学知识是解题的关键． 【例5】如果一个数的绝对值等于，则这个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的意义，绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数是互为相反数的关系，解题关键是掌握绝对值的定义．根据一个正数的绝对值等于它的本身，一个负数的绝对值等于它的相反数计算即可． 【解析】或的绝对值都等于， 绝对值等于的数是或 故答案为：或． 【跟踪训练】 1 .绝对值是的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．理解绝对值的定义是解题的关键． 【详解】根据绝对值的定义可知，和的绝对值都是． 故选择：C 2.求绝对值不大于3的所有整数． 【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3． 3.如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值． 【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论． 【答案与解析】 解：因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6； 因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4； 由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4． 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4. 题型03：绝对值的性质 【名师点拨】非负数的绝对值是它的本身, 非正数的绝对值是它的相反数.  互为相反数的两个数的绝对值相等.反过来绝对值相等的两个数相等或互为相反数. 【例6】绝对值等于本身的数是________ 【答案】非负数 【点评】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，也是它本身。 【例7】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是（    ） A．0 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】D 【分析】负数和0的绝对值等于它的相反数，由此可解． 【详解】负数和0的绝对值等于它的相反数，若一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是非正数， 故选D． 【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是掌握负数和0的绝对值等于它的相反数． 【例8】下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数 D．整数的绝对值大于分数的绝对值 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，相反数及绝对值，熟练掌握相关定义及性质是解题的关键． 根据正数和负数，相反数及绝对值的定义及性质逐项判断即可． 【解析】解：、一个数的绝对值是非负数，零的绝对值是零，则不符合题意． 、负数的相反数是正数，零的相反数是零，则不符合题意． 、若不相等的两个数的绝对值相等，则这两个数互为相反数，则符合题意． 、是整数，是分数，其绝对值大小为，则不符合题意． 故选：． 【跟踪训练】 1.如果，下列成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的意义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值的知识，掌握去绝对值的方法是解答本题的关键． 2．符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个正数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 【答案】B 【分析】根据已知条件依次判断即可. 【详解】∵， ∴a为负数， 表示a的相反数， ∴表示：负数的绝对值等于它的相反数.因此 B选项正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了实数的绝对值，熟练掌握实数的绝对值的意义是解题的关键. 题型04：化简绝对值 【名师点拨】1.绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．2.先判断字母以及式子的正负 【例9】_____． 【答案】1 【分析】首先分别判断和的正负情况，然后根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】解：， ． 【点睛】本题考查的是绝对值的性质，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 【例10】在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，． (1)确定符号：a______0，b______0，c_____0，_____0，______0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)；；；； (2) (3) 【分析】本题考查数轴判断式子的正负，化简绝对值，关键是数形结合解题． （1）通过数轴直接判断出每个字母的正负，结合即可得出结果； （2）通过字母的正负化简绝对值即可； （3）通过字母以及式子的正负化简绝对值即可；． 【详解】（1） 解：（1）由数轴知，， 故答案为：；；；；； （2） ； （3） ． 【例11】有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【解析】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 【跟踪训练】 1.化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 解析：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 方法总结：根据绝对值的意义解答．即若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝－a. 2.下列计算中，结果等于5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质化简化简求解． 【详解】A.=，故正确；     B. ，故错误； C. ，故错误；     D.=，故错误； 故选A． 【点睛】此题主要考查绝对值的运算，解题的关键是熟知绝对值的定义． 3. 化简：|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)． 【答案与解析】(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴ |a-4|＝a-4． (2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴ |5-b|＝-(5-b)＝b-5． 【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号. 4．数在数轴上所对应点如图所示：化简 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，绝对值的意义，利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号是解题的关键． 利用数，，在数轴上所对应点的位置，判断出，的符号，再利用绝对值的意义化简求值即可． 【详解】解：由题意得：，， ，， ． 故答案为：． 5．有理数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴上的点判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得到，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ，，， ． 6.若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【解析】解：由数轴可得：，， ，，， ， 故答案为：． 题型05：绝对值的非负性及应用 【名师点拨】（1）在数轴上，一个数对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大.（2）任何有理数的绝对值都不小于它本身，即≥. 【例12】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 【例13】若与互为相反数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握非负数和平方的非负性，以及只有符合不同的数互为相反数．先根据绝对值和平方的非负性，求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，与互为相反数， ∴，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【例14】若，a一定是（    ） A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据可以得到，即，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 即a一定是非正数． 故选：B． 【跟踪训练】 1 .若，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据绝对值的性质去绝对值是解题的关键．根据，求出，的值． 【详解】解：由绝对值的性质得，， ， ，， ，． 2．若与互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据相反数的性质，绝对值的非负性即可求解． 【解析】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． 3.已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查相反数的性质，绝对值的性质，掌握两个数互为相反数，则这两个数的和为零，绝对值的性质是解题的关键． 4．对于任意有理数，下列结论正确的是（　　） A．是正数 B．是负数 C．是负数 D．不是正数 【答案】D 【分析】根据绝对值非负数对各选项举反例分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、时，既不是正数也不是负数，故本选项错误； B、是负数时，是正数，故本选项错误； C、时，，既不是正数也不是负数，故本选项错误； D、不是正数，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值非负数的性质，举反例排除更简便． 5.下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键． 【解析】解：∵， ∴， 故一定是非正数，故A错误，不符合题意； 两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等， 故B错误，不符合题意； 若，则a与 b互为相反数或， 故C错误，不符合题意； 若，则，则是非正数， 故D正确，符合题意； 故选：D 题型06：绝对值与相反数 【名师点拨】负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数是0,0的绝对值也是它的相反数 若a和b互为相反数,则;若|a|=|b|,则a=b或. 【例15】的相反数的绝对值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值、相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据绝对值的性质以及相反数的定义进行解题即可． 【解析】解：的相反数是， ， 则的相反数的绝对值为． 故选：B． 【例16】绝对值等于它的相反数的数是________ 【答案】非正数 【点评】负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，0的相反数是0,0的绝对值也是它的相反数。 【跟踪训练】 1．下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．只有两个数相等时，它们的绝对值才相等 C．若，则a与 b一定互为相反数 D．若，则是非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的相关概念，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 故一定是非正数，故A错误，不符合题意； 两个数相等或互为相反数时，它们的绝对值相等， 故B错误，不符合题意； 若，则a与 b互为相反数或， 故C错误，不符合题意； 若，则，则是非正数， 故D正确，符合题意； 故选：D 题型07：运用法则直接比较大小 【名师点拨】①正数大于0,0大于负数，正数大于负数；②两个负数，绝对值大的反而小 【例17】比较下列各组数的大小： (1)与1 (2)与 (3)与 (4)与 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据正数与负数的特点即可得出结论； （2）先去括号与绝对值符号，再比较大小即可； （3）根据负数比较大小的法则进行比较即可； （4）先去绝对值符号，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：，，且， ∴； （4）解：，，且， ∴． 【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键． 【例18】下列有理数的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别化简各选项需要化简的各数，再根据正数大于0，负数小于0，两个负数绝对值大的反而小进行大小比较即可． 【详解】解：，， ∴，故A不符合题意； ，， ∴，故B不符合题意； ， ∴，故C不符合题意； ，，而， ∴，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是化简绝对值，有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较的方法是解本题的关键． 【例19】比较大小：___________ 【答案】 【分析】根据有理数比较大小的方法，绝对值的性质即可求解． 【详解】解：，， ∵负数小于正数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数比较大小，掌握绝对值的性质，多重符号化简，有理数大小的比较方法是解题的关键． 【跟踪训练】 1．比较大小：___________ 【答案】 【分析】先化简绝对值，然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，求一个数的绝对值，熟练掌握有理数的大小比较的方法是解题的关键． 2.比较下列各对数的大小： (1)和． (2)和． (3)和． (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键． （1）正数大于负数； （2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可． 【解析】（1）解： （2）解： ，， （3）解：，， ； （4）解：， 3．用“”或“”填空： （1）_____0 （2）___ （3）___0 （4）_____ （5）______ 【答案】 【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）∵， ∴， 故答案为：； （5）， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，化简绝对值和化简多重符号，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小是解题的关键． 题型08：借助数轴直接比较数的大小 【名师点拨】比较有理数的大小可以利用数轴，从左到右的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）． 【例20】有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可； （2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可． 【解析】解：（1）∵，，， 在数轴上表示如下图， （2）①∵， ∴， 在数轴上分别表示数，如下图； ②由数轴可得：． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【例21】已知，，且，那么将，，，按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵a＜0，ab＜0， ∴b＞0， 又∵|a|＞|b|， ∴设a=-2，b=1，则-a=2，-b=-1 则-2＜-1＜1＜2． 故-a＞b＞-b＞a． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的数值，再比较大小． 【跟踪训练】 1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，，－1，4，0. 解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 解：如图所示： 因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－1＜0＜＜4＜＋5. 方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 2.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 【答案】数轴见详解，． 【分析】将各数表示在数轴上，再用“＜”连接即可． 【详解】解：如图所示： ∴用“＜”连接各数为：； 【点睛】此题考查了有理数大小比较，以及数轴，将各数正确表示在数轴上是解本题的关键． 3.已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示．比较a、b、－a、－b的大小，正确的是(　　) A．a＜b＜－a＜－b B．b＜－a＜－b＜a C．－a＜a＜b＜－b D．－b＜a＜－a＜b 解析：由图可得a＜0＜b，且|a|＜|b|，则有：－b＜a＜－a＜b.故选D. 方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 题型09：绝对值在实际问题中的应用 【例22】第53届世乒赛于2015年4月26日至5月3日在苏州举办，此次比赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果(单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数). 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 －0.5 0.1 0.2 0 －0.08 －0.15 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过0.1g的为优等品，超过0.1g但不超过0.3g的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 解析：由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量． 解：(1)四号球，|0|＝0正好等于标准的质量，五号球，|－0.08|＝0.08，比标准球轻0.08克，二号球，|＋0.1|＝0.1，比标准球重0.1克． (2)一号球|－0.5|＝0.5，不合格，二号球|＋0.1|＝0.1，优等品，三号球|0.2|＝0.2，合格品，四号球|0|＝0，优等品，五号球|－0.08|＝0.08，优等品，六号球 |－0.15|＝0.15，合格品． 方法总结：判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关． 【跟踪训练】 1.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由． 【答案】 因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛． 【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好．这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大． 【点评】绝对值越小，越接近标准. 2.某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量(不含包装)可以有0.002L的误差．现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表： +0.0018 -0.0023 +0.0025 -0.0015 +0.0012 +0.0010 请用绝对值知识说明： (1)哪几瓶是合乎要求的(即在误差范围内的)? (2)哪一瓶净含量最接近规定的净含量？ 【答案】(1)绝对值不超过0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018，-0.0015，+0.0012，+0.0010的这四瓶． (2)第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量． 3.一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻? 【答案】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) ． 小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒) ． 题型10：综合应用 【名师点拨】数轴和绝对值的性质，数轴上两点间的距离 【例23】探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系： (1)观察数轴，填空： 点A与点B的距离是　　；点C与点B的距离是　　； 点E与点F的距离是　　；点D与点G的距离是　　． 我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离可表示为　　（用m、n表示）． (2)利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝　　． (3)利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题： ①，则x＝　　． ②，则x＝　　． 【答案】(1)2；5；1；5； (2)5或﹣1 (3)①7或；②或 【分析】（1）直接根据数轴上两点间距离的定义解答即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可． （3）根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：点A与点B的距离是2，点C与点B的距离是5，点E与点F的距离是1，点D与点G的距离是5． 点M与点N之间的距离可表示为． 故答案为：2，5，1，5，． （2）若数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则， 即或， 解得或． 故答案为：5或． （3）①，即或， 解得或， 故答案为：7或． ②，即或， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 【例24】【阅读】若点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离表示为，则，即表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点，表示的数分别为，2，则_______，在数轴上可以理解为______； (2)若，则_________，若，则________； 【应用】 (3)如图，数轴上表示点的点位于和2之间，求的值； (4)由以上的探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)9，与的距离 (2)或7.1， (3)5 (4)有最小值，7 【分析】（1）根据数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9，根据两点间距离的定义将转化为即可得到结论； （2）根据数轴上与3.1相距4个单位的点为7.1或，数轴上表示的点和到表示3的点距离相等的点所表示的数为； （3）根据题意，表示a到的距离加上到2的距离，由于位于和2之间，即和2的两点距离之和，即可得到结论； （4）结合数轴分析，分析出几何意义，即可得到当时取得最小值，求出具体结果即可． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示2的点之间的距离为9， ，即可表示为到的距离， 故答案为：9；与的距离； （2）解：， 到3.1的距离为4， ，， ， 到的距离和到3的距离相同， ， 故答案为：或7.1；； （3）解：可表示a到的距离加上到2的距离且位于和2之间， 原式可看作与2之间的距离， ； （4）解：可表示为到的距离加上到的距离加上到1的距离， 当时，该式取得最小值，此时． 【点睛】本题考查了数轴和绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离是解题的关键． 一、选择题 1．（2023春·广东惠州·七年级校考开学考试）的绝对值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．（2022秋·七年级单元测试）若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据非负数的绝对值等于本身，可得． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了化简对绝对，解题的关键是熟练掌握非负数的绝对值等于本身． 3．（2023·全国·七年级假期作业）下列说法正确的是（    ） A．一个数的绝对值一定是正数 B．一个数的相反数一定是负数 C．若一个数的绝对值是它本身，则这个数一定是正数 D．若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零 【答案】D 【分析】根据绝对值和相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：A、一个数的绝对值一定是非负数，原说法错误，不符合题意； B、一个数的相反数不一定是负数，例如负数的相反数是正数，原说法错误，不符合题意； C、若一个数的绝对值是它本身，则这个数是正数或者0，原说法错误，不符合题意； D、若一个数的相反数是它本身，则这个数一定是零，原说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了相反数和绝对值的定义，如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数，0的相反数是0；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数． 4．（24-25六年级上·上海宝山·期中）下列说法正确的是（　　） A．数轴上离原点距离越远的点，表示的数就越大 B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小 C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数 D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，绝对值，正数和负数定义，相反数，数轴上在原点右边的点离原点距离越远的点表示的数越大，而在原点左边离原点越远的点表示的数越小，据此可判断A、B；正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可判断C、D． 【详解】解：A．数轴上在原点右边的点离原点距离越远的点表示的数越大，而在原点左边离原点越远的点表示的数越小，原说法错误，不符合题意； B．数轴上在原点左边离原点距离越远的点，表示的数就越小，原说法正确，符合题意； C．若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数为负数或0，原说法错误，不符合题意； D．两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 5．（2023·全国·七年级假期作业）绝对值相等的两个数在数轴上对应的两点距离为6，则这两个数是（　　） A．6， B．0，6 C．0， D．3， 【答案】D 【分析】根据绝对值的几何意义得到绝对值相等的两个数到原点的距离相等，由于绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6，得到这两个数到原点的距离都等于3，于是这两个数分别为3和． 【详解】解：∵绝对值相等的两个数在数轴上对应的两个点间的距离是6， ∴这两个数到原点的距离都等于3， ∴这两个数分别为3和-3． 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值和数轴的定义，理解若，则；若，则；若，则是解答此题的关键． 6．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意； B．当时，，故B选项不符合题意； C．，则，不可能为0，故C选项符合题意； D．当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数． 二、填空题 7．（2021春·上海浦东新·六年级校联考期末）的绝对值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 【详解】解：的绝对值是． 故选D． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，熟练掌握定义是解答本题的关键． 8．（2021秋·上海青浦·六年级校考期末）化简：______． 【答案】1 【分析】根据绝对值的定义，去掉绝对值再计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，有理数的加减混合运算，解题的关键是熟记求绝对值的法则． 9．（2023春·天津南开·七年级天津大学附属中学校考开学考试）若，那么_____． 【答案】7 【分析】首先根据a的取值范围确定和的符号，然后去绝对值计算即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：7． 10．绝对值不大于6的整数有 个． 【答案】13 【分析】本题主要考查的是有理数大小比较和绝对值，求得符合条件的数是解题的关键． 依次列出绝对值不大于6的整数即可解答． 【解析】解：绝对值不大于6的整数有：，，，，，，0． 绝对值不大于6的整数有13个． 故答案为：13． 11．绝对值小于2.5的所有整数是 ，绝对值等于它本身的数是 ． 【答案】 2，1，0，， 0，1 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义求解即可． 【解析】绝对值小于2.5的所有整数是2，1，0，，； 绝对值等于它本身的数是0，1． 故答案为：2，1，0，，；0，1． 12．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，代数式的符号的判定，绝对值的化简，有理数的加减运算的应用，掌握以上知识是解题的关键．由题意可知，，从而去绝对值，即可得到答案． 【解析】解：依题意，得 ，， ． 故答案为：． 13．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点到原点的距离，掌握在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值是解题的关键．根据在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值即可求解． 【详解】解：在数轴上的点到原点距离等于， 该点的绝对值为， 该点表示的数是或， 故答案为：或． 14．（2022春·七年级单元测试）已知，那么_______，________． 【答案】 2 【分析】据非负数的性质求出、的值即可． 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， 故答案为：2，． 【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 15．（2023·浙江·七年级假期作业）若，则 _______． 【答案】4 【分析】根据非负数的性质列出方程求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】根据题意得： 解得： 则 故答案为：4． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 【点睛】本题考查了绝对值的知识，解题关键是确定绝对值里面的代数式的符号． 16．（24-25六年级上·上海·期中）比较大小： ．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键； 首先将化成小数，然后比较和的大小，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 17．（2022春•徐汇区校级期中）比较大小：　　﹣（﹣1.4）． 【分析】左边，负数的绝对值是正数，再取它的相反数仍然是负数；右边﹣1.4的相反数是正数．根据数轴上正数、负数和0的位置进行正负数的大小比较． 【解答】解：＝﹣1 ﹣（﹣1.4）＝1.4． 在数轴上，﹣1在0的左边，1.4在0的右边，右边的数大于左边的数， ∴﹣1＜1.4． 故答案为：＜． 【点评】此题考查了正负数大小的比较，借用数轴进行理解正负数的大小． 18．（2023·全国·七年级假期作业）有理数，，且，把a，，b，按由小到大的顺序排列是 _______________． 【答案】 【分析】由，，且，可得，，且，，从而可得答案． 【详解】解：∵，，且， ∴，，且，， ∴把a，，b，按由小到大的顺序排列是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的含义，掌握有理数的大小比较的方法是解本题的关键． 3、 解答题 19．（2023·全国·七年级假期作业）求下列各数的绝对值： (1)；(2)0.15；(3)；(4)； 【答案】(1)38 (2)0.15 (3) (4) 【分析】根据正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数即可求解． 【详解】（1）； （2）； （3）， ∴； （4）∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了绝对值的性质，准确把握“正数与0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数”是解题的关键． 20．（2023·全国·七年级假期作业）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，并用“”把它们连接起来． 【答案】见解析 【分析】分别化简各数，然后将其在数轴上表示． 【详解】如图所示： ∴ 【点睛】本题考查利用数轴比较数的大小，属于基本题． 21．（1）如果，，且a，b异号，求a、b的值． （2）若，，且，求a，b的值． 【答案】（1）或 （2） 【分析】本题考查了绝对值的性质，掌握绝对值等于一个正数的数有两个是解决本题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知，，结合a，b异号，可知或 （2）根据绝对值的性质，可知，，而，即可确定出答案． 【解析】（1）解：∵，， ∴，， 又∵a，b异号， ∴或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 22．（2022秋·七年级单元测试）已知，，求，的值，并比较它们的大小． 【答案】见解析 【分析】先依据绝对值的性质求得、的值，然后再比较大小即可． 【详解】解：，， ，． 当时，； 当时，． 【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质、比较有理数的大小，掌握比较有理数的大小的方法是解题的关键． 23．（2023春·上海·六年级专题练习）若，，，，，计算的值. 【答案】-7或-11 【分析】根据绝对值的性质，确定a、b、c的值，从而求得所求式子的值. 【详解】解：∵，， ∴a=±2 , b=±3 , c=±6, 又∵， ∴a+b＜0，b+c＞0 ∴a=±2、b=-3、c=6 ∴=-2-3-6=-11或=2-3-6=-7 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算和绝对值的相关知识，解答本题的关键是根据绝对值的性质a、b、c的值确定. 24．已知6个有理数：，0，，，，，按要求完成下列各小题． (1)互为相反数的一组数是________； (2)将上述的6个有理数表示在如图所示的数轴上，并用“＜”将上面的数连接起来． 【答案】(1)，； (2)画图见解析， 【分析】本题考查的是化简双重符号，求解绝对值，在数轴上表示有理数，利用数轴比较有理数的大小； （1）先化简双重符号，求解绝对值，再利用相反数的定义可得答案； （2）先在数轴上表示各有理数，再利用数轴右边的数大于左边的数，从而可得答案． 【解析】（1）解：∵，， ∴互为相反数的一组数是，； （2）如图，在数轴上表示各数如下： ∴； 25．有理数、在数轴上如图， (1)在数轴上表示、； (2)用、或填空：______，______，______，______ (3)试用连接，0，， 【答案】(1)见解析 (2)，，， (3) 【分析】本题考查了绝对值的性质，利用数轴判断式子的正负，有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法，相反数的意义，数形结合的思想是解决本题的关键． （1）根据相反数的几何意义在数轴上表示出、； （2）根据数轴得到，再利用绝对值的意义可得结论； （3）根据数轴得到，，，再判断式子的正负和大小． 【解析】（1）解：与a，与b都是关于原点对称的， 与在数轴上的位置如下图： （2）由图可知：， ，，，， 故答案为：，，，； （3），，， ，， ，， ． 26．在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如下表： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王敏 余佳 赵平 蔡伟 检测结果 ＋0.031 -0.017 ＋0.023 -0.021 ＋0.022 -0.011 (1)请你指出哪些同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)指出合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好，6名同学中，哪个同学做的质量较差？ (3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名；用学过的绝对值的知识说明． 【答案】(1)张兵、蔡伟； (2)蔡伟；李明； (3)蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明；说明见详解． 【分析】（1）绝对值大于0.02毫米的就是不合格，所以张兵、蔡伟是合格的； （2）绝对值越小质量越好，越大质量越差，所以蔡伟做的质量最好，李明的最差； （3）按绝对值由大到小排即可． 【解析】（1）直径与规定直径不超过0.02毫米的误差视为合格，张兵的是，蔡伟的是，两人的都不超过0.02毫米的误差， 张兵、蔡伟做的乒乓球是合格的． （2）蔡伟做的为毫米，李明做的为， 蔡伟做的质量最好，李明的最差． （3）， 6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、余佳、赵平、王敏、李明． 【点睛】此题考查了正数与负数，以及绝对值的意义，正确理解题目的意思是解此题的关键． 27．点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距25．（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且满足． (1)点A到点B的距离为_________； (2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即），求点P在数轴上对应的数． 【答案】(1)8 (2)3或9 【分析】（1）根据，可以求得a、b的值，从而可以求得点A、B表示的数； （2）分两种情况：①当点P在线段上时；②当点P在线段延长线上时；分别 求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 即点A表示的数是，点B表示的数是5， ∴ （2）解：分两种情况：①点P在线段之间时，如图， 由 (1)知: ， ∵，, ∴， ∴， ∴点P在数轴上对应的数是3； ②点P在点B右侧时，如图， 由 (1)知: ， ∵，, ∴， ∴， ∴点P在数轴上对应的数是9． 综上所述：点P对应的数为3或9． 【点睛】本题考查数轴、非负数性质，线段和差倍分计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题，注意分类讨论思想的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$