专题02：数轴和相反数（4大知识点+9大题型+真题检验） 2025年新六年级暑假班预修提升课程 （沪教版2024）

2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题02 数轴和相反数 知识点一、数轴的概念 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 2、数轴的三要素: ①原点:在直线上任取一个点表示0,这个点叫做原点. ②正方向:通常规定直线上从原点向右(或向上)为正方向,从原点向左(或向下)为负方向. ③单位长度:选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,…. 3、有理数与数轴上的点之间的关系 (1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示. (2)设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度; 表示-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 【注意】 单位长度和长度单位不是一回事.单位长度可以任意选取,而长度单位是我们在小学学过的一些为了规范长度而制定的基本单位，如m,dm,cm. 知识点二、数轴的画法 1、步骤：（1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 2、画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 【注意】 数轴上有无数个点,而每一个点都表示一个数,不同的点所表示的数不同,不同的数用不同的点来表示. 数轴上的点并不都表示有理数.也就是说,数轴上的点与有理数并不是一一对应关系. 知识点三、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. （3）相反数的和为0 互为相反数；相反数的商为-1。 （4）相反数的表示 求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“－”号即可. 知识点四、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. （3）多重符号的化简一般有两种方法 ①由相反数的求法,由内向外逐步化简; ②由“－”的个数决定: 如果“－”的个数为奇数,那么结果为“－”; 如果“－”的个数为偶数,那么结果为“+”. 即为“奇负偶正” 【注意】 在表示一个数的相反数时,如果这个数本身含有多重符号，要先加上括号再添负号. 题型1：数轴的三要素及画法 【名师点拨】1.原点是数轴的基准点，也是正数和负数的分界点。 2.绘制数轴时,它的三要素缺一不可,另外,标注数轴上的点时，需要注意从原点开始向两侧排列； 3.在同一条数轴上,单位长度的大小必须统一； 4.数轴的正方向可以任意选取,通常规定向右或向上为正.可以选取1cm或2cm为一个单位长度，甚至更长或更短;每位长度可以代表“1”“10”“0.1”“500”“0.02”等等。 【例1】下列说法正确的是（　　） A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线 B．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 C．数轴的正方向一定向右 D．数轴的长度是有限的 【分析】根据数轴的定义分别判断每一个选项即可． 【解答】解：A．数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线，不是射线，故此项错误，不符合题意； B．正确，符合题意； C．数轴的正方向不一定向右，故此项错误，不符合题意； D．数轴的长度是无限的，故此项错误，不符合题意． 故选：B． 【例2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可． 【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度， 图（1）没有原点， 故（1）不正确； 图（2）满足数轴的定义， 故（2）正确； 图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对， 故（3）错误； 图（4）所画单位长度不一致， 故（4）不正确． 故选：B． 【跟踪训练】 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，是解题的关键． 根据数轴的三要素：正方向，原点，单位长度，逐一判断选项，即可． 【详解】A中的没有单位长度，错误； B中没有正方向，错误； C中满足原点，正方向，单位长度，正确； D中没有原点，错误． 故选C． 2.下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④ 【答案】D 【分析】①根据数轴的定义，可判断①，②数轴上的点与数的关系，可判断②，③根据实数与数轴的关系，可判断③，④根据数轴与有理数的关系，可判断④ 【详解】解：①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数，故原说法错误； ③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数，利用了数轴与有理数的关系，数轴与无理数的关系，熟练掌握规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴是解题的关键． 3．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义，数轴上的点和有理数的对应关系，①考查数轴三要素：原点，正方向，单位长度．②④数轴上的点和有理数的对应关系．③π不是有理数． 【详解】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 题型2：用数轴上的点表示有理数 【名师点拨】1.数轴是“数”“形”结合的工具，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示. 2.画数轴后,通常把表示单位长度的数写在数轴对应位置点的下方，所要表示的数写在数轴对应位置点的上方. 【例3】如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上点表示有理数，数轴上两点的距离． 根据数轴可得，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故选：D． 【例4】数轴上到0距离为3的点表示的数为 【答案】 【分析】本题考查了数轴上到点距离的问题．根据数轴上两点间的距离公式，即可求解． 【详解】解：数轴上到0距离为3的点表示的数为． 故答案为： 【例5】给出下面六个数：．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． 【答案】见解析 【分析】先正确画出数轴，按照各点的位置标在数轴上即可． 【详解】解：如图所示， 【点睛】此题考查了数轴和在数轴上表示数，准确找到各数在数轴上的位置是解题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3 【分析】观察点A在数轴上的位置，再作判断即可． 【解答】解：点A在﹣2和﹣3之间，且偏﹣3一侧，所以符合题意的数是﹣2.6， 故选：B． 2．关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（　　） A．在﹣3的左边 B．在3的右边 C．在原点与﹣1之间 D．在﹣1的左边 【分析】根据数轴的特征：左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，据此进行判断即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴在﹣1的左边， 故选：D． 3．在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是________． 【答案】5或 【分析】根据数轴上两点间的距离的意义解答即可． 【详解】解：设这个数为， 则， 解得． 故答案为：5或． 【点睛】本题考查数轴上两点距离的意义，还可以根据相反数的特点解答，即在数轴上到原点的距离相等的点有两个，这两个点表示的数互为相反数． 4. 画出数轴，在数轴上表示下列各数． ，，，0，2.5 【答案】数轴见解析【分析】任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，据此在数轴上表示出这些数． 【详解】解：如图所示： 【点睛】本题考查了有理数与数轴上点的关系，任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，在数轴上，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数． 5．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，．    【答案】见详解 【分析】此题考查了数轴的基本知识，根据数轴的三要素，原点、正方向、单位长度，在数轴上补充完整，在数轴上标出各数即可． 【详解】解：如图，    题型3：利用数轴比较有理数的大小 【名师点拨】比较两个有理数的大小只要把这两个数在数轴上表示出来，由数轴上的位置确定两个数的大小 【例6】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 【例7】，，，四个数在数轴上的位置如图所示，则最小的数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了根据数轴比较大小，根据右边的数比坐标的大，即可求解． 【详解】解：根据数轴可得：，则最小的数是， 故选：A． 【例8】请把下列各数表示在数轴上，并用“＜”号把它们连接起来． ，，， 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查数轴，有理数大小的比较，解题的关键是理解在数轴上右边的数总是大于左边的数．利用在数轴上右边的数总是大于左边的数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故． 【跟踪训练】 1.在数轴上标出下列各数所对应的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接． ，，， 【答案】在数轴上表示见解析，． 【分析】本题考查了在数轴上表示数的方法、有理数大小比较，一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．先根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；然后根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】解：如图： 按从小到大的顺序为：． 2．（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数，，，，，． （2）用“”将（1）中的每个数连接起来． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查了在数轴上表示数，利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握“数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大”是解题的关键． （1）根据数轴的三要素画出数轴，再把数表示在数轴上即可； （2）根据数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由大到小用“”号连接起来即可． 【详解】解：（1）如图： ． （2）． 3．点A、B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________． (2)在原图中分别标出表示的点C、表示的点D，并用“”号把这四个点所表示的数连接起来． 【答案】(1)，1； (2)标出位置见解析，． 【分析】（1）本题考查数轴上的点表示的数，根据数轴上A、B所在的位置，即可解题； （2）本题主要考查了用数轴表示有理数，以及利用数轴比较有理数的大小，根据数轴表示数的方法在数轴上表示出C、D的位置，然后进行比较大小即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，1； （2）解：数轴表示如下图所示： ． 题型4：数轴上的两点距离与动点问题 【名师点拨】数轴上两点之间的距离为:右边点表示的数 减去左边的点表示的数(大数--小数) 规律:数轴上的点,向正方向移动就加上移 动的单位,向负方向移动,就减去移动的单位 【例9】如图，点A表示的数是﹣3，则点A到原点的距离是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【答案】A 【分析】根据数轴上点的表示解答即可． 【详解】解：∵点A表示的数为﹣3， ∴点A到原点的距离为3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数轴上数的表示，准确分析判断是解题的关键． 【例10】数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为_____． 【答案】8 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键在于熟练掌握：数轴上两点间的距离用右边的数减去左边的数进行计算即可． 【例11】如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是____． 【答案】1或-7 【分析】先根据点A所表示的数，再分两种情况进行讨论，当点A沿数轴向右移动和点A沿数轴向左移动时，列出式子，求出点B表示的数． 【详解】解：∵点表示-3， ∴从点出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点，则点表示的数是． ∴从点出发，沿数轴向左移动4个单位长度到达点，则点表示的数是． 【点睛】此题考查了数轴，解题的关键根据题意列出式子，再根据有理数的加减法法则进行计算，要考虑两种情况，不要漏掉． 【例12】在数轴上一个点移动了个单位长度后到达了表示数的位置，则这个点原来所表示的数是（  ） A．0 B．或 C．4或 D．2或 【答案】D 【分析】设这个点原来所表示的数为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设这个点原来所表示的数为， 由题意得： ， ， ， 或， 或， 这个点原来所表示的数是2或， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点间距离是解题的关键． 【跟踪训练】 1．在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______. 【答案】或1 【分析】根据数轴上两点间距离关系及有理数加减法即可得到答案． 【详解】解：表示左边的点，比小2的数时，这个数是； 表示右边的点，比大2的数时，这个数是； 故答案为或1． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离关系及有理数加减法计算，解题的关键是分类讨论． 2．数轴上一点A表示的数为，当点A在数轴上向右移动4个单位后所表示的数是 _________． 【答案】 【分析】根据数轴上两点之间的距离和用数轴上的点表示有理数求解即可． 【详解】解：∵数轴上一点A表示的数为， ∴当点A在数轴上向右滑动4个单位后所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴上两点之间的距离是解题的关键． 3．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是______． 【答案】 【分析】由数轴的概念，即可解决问题． 【详解】解：∵点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧， ∴点表示的数是， ∴将点向右移动个单位长度后表示的数是， ∴再向左移动个单位长度后点表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查数轴的概念，用数轴上的点表示数．解题的关键是掌握数轴的三要素． 4.在一条东西方向的跑道上，中间有一旗杆，小亮从旗杆处向东跑60米，接着又向西跑40米，此时小亮的位置是在旗杆以东还是旗杆以西？他距离旗杆多少米？ 【答案】小亮此时的位置在旗杆以东；距离旗杆20米． 【分析】可以画出数轴，以旗杆为原点，正东方向为正方向，取10米为单位长度，按照要求画出图，即可解决． 【详解】解：如图，规定从旗杆开始向东为正，向西为负． ∵小亮从旗杆处向东跑60米，可记为米，向西跑40米，可记为米 ∴+60-40=+20（米） ∴小亮此时的位置在旗杆以东，距离旗杆20米． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟知数轴的定义和三要素是解决本题的关键． 5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了数轴和绝对值方程的解法，用含a的式子表示出点C是解决本题的关键． 先用含a的式子表示出点C，根据列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意知：A点表示的数为a，B点表示的数为3，C点表示的数为， ， ， 解得或4， ， ， 故选：A． 题型5：相反数的定义 【名师点拨】相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零 1.只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想） 2.表示相反数的两个点在数轴上分别位于原点的左、右两边，且到原点的距离相等.（几何意义） 【例14】写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【答案】，3，0，，， 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：16的相反数为，的相反数为3，0的相反数为0，的相反数为，m的相反数为，的相反数为n． 【例15】如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数轴可知点A表示的数是2，再根据相反数的定义，即可得到答案． 本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键． 【详解】由数轴可知，点A表示的数是2，2的相反数是， 故选：A． 【例16】在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有________组． 【答案】4 【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：①＋（＋2）与−（−2），不是互为相反数； ②＋（−2）与−（＋2），不是互为相反数； ③＋（＋2）与＋（−2），是互为相反数； ④＋（＋2）与−（＋2），是互为相反数； ⑤＋（−2）与−（−2），是互为相反数； ⑥−（−2）与−（＋2），是互为相反数． 是互为相反数的有4组． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记概念是解题的关键． 【例17】将下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并用“ < ”把这些数连接起来，它们分别：4，，0.2，5，-1． 【答案】数轴见解析， 【分析】先写出各数的相反数，再将这些数以及它们的相反数在数轴上表示出来，并根据数轴用“ < ”把这些数连接起来． 【详解】4，，0.2，5，-1的相反数分别为： 表示在数轴上，如图， 【点睛】本题考查了数轴上的点表示数，根据数轴比较大小，相反数的定义，数形结合是解题的关键． 【跟踪训练】 1．的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数的相反数是2024， 故选：A． 2．下列各组数中的两个数，互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数判断处理． 【详解】解：A.和，互为倒数，故A错误； B.和，是互为相反数，故B正确； C.和，绝对值不同，故C错误； D.和，绝对值不同，不是相反数，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 3．用数轴上的点分别表示3，，，，0和它们的相反数． 【答案】见解析 【分析】先求出每个数的相反数，再在数轴上表示出对应的数即可． 【详解】解：3，，，，0它们的相反数分别为：，，，，0， 将它们在数轴上表示如下： 【点睛】本题主要考查了有理数与数轴，求一个数的相反数，灵活运用所学知识是解题的关键． 题型6：化简多重符号 【名师点拨】多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。 【例18】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了化简多重符号，多重符号化简方法：一个数前面有偶数个“”号，结果为正；一个数前面有奇数个“”号，结果为负；0前面无论有几个“”号，结果都为0，由此进行计算即可，熟练掌握多重符号化简方法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 【例19】（1） ；                 （2） ； （3） ；              （4） ． 【答案】 8 6 【分析】本题考查了符号的化简，同号得正，异号得负． 根据化简符号的规律进行解答即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 【跟踪训练】 1.化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相反数的含义，直接根据相反数的定义求解即可. 【详解】解：， 故答案为： 2．（1）化简下列各式： ①___________；②__________；③___________； ④__________；⑤______________；⑥____________ 3．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)1 (6) 【分析】（1）根据相反数的意义即可解答； （2）根据相反数的意义即可解答； （3）根据相反数的意义即可解答； （4）根据负数前面的“+”号可以省略即可解答； （5）根据相反数的意义即可解答； （6）根据相反数的意义即可解答． 【详解】（1）解：表示的相反数，而的相反数是，所以 ． （2）解：表示的相反数，即， 所以． （3）解：表示的相反数，而的相反数是，所以． （4）解：负数前面的“+”号可以省略，则． （5）解：先看中括号内表示1的相反数，即，因此而表示的相反数，即1，所以． （6）解：表示的相反数，即a．所以． 【点睛】本题主要考查了相反数的意义，掌握相反数表示相反意义的量是解答本题的关键． 题型7：相反数的性质 【名师点拨】相反数的性质 （1）任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0. （2）若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0. 【例20】与的和为0的数是（　　） A．2 B．－2 C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的性质求解． 【详解】互为相反数的两个数和为0，所以所求数为， 故选C． 【点睛】本题考查相反数的性质；理解相反数的性质是解题的关键． 【例21】和互为相反数，那么 ． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 【例22】若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意直接根据相反数的定义和性质，进行分析即可得出答案． 【详解】解：A. ，注意b≠0，此选项当选； B. ，此选项排除； C. ，此选项排除； D. ，此选项排除. 故选：A. 【跟踪训练】 1．如果和互为相反数，那么___________． 【答案】6 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】∵和互为相反数 ∴ 解得 故答案为6． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 2. 与–7互为相反数，求的值. 【答案】2. 试题分析：根据相反数的意义得出（x+5）+（-7）=0，求出x即可． 试题解析：解：∵x+5与-7互为相反数，∴（x+5）+（-7）=0，解得：x=2． 3. 如果的相反数是最大的负整数，的相反数是它本身，则的值为（ ） A．1 B．0 C．2 D．-1 【答案】A 【分析】先根据相反数的定义确定m、n的值，再代入m＋n，计算即可求出其值． 【详解】∵m的相反数是最大的负整数，n的相反数是它本身, ∴m＝1,n＝ 0，∴m＋n＝1＋0＝1，故A选项是正确答案． 4. 已知+（﹣）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z的相反数是z，求x+y+z的相反数． 【答案】 【分析】根据相反数的概念求出x，y，z的值，代入x+y+z即可得到结果． 【详解】解：∵+（）的相反数是x，-（+3）的相反数是y，z相反数是z， ∴x=，y=3，z=0， ∴x+y+z=+3+0=， ∴x+y+z的相反数是． 题型8：相反数的应用 【名师点拨】（1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同. （2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在. （3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数. （4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等. （5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0. 【例23】若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 【答案】 5 【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答． 【详解】解：a和b互为相反数， 在原点的两侧，且到原点的距离相等为， a在b的右边， ， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了相反数的概念和数轴上两点之间的距离，知道互为相反数的两个数距离原点的距离相等是解题的关键． 【跟踪训练】 1．如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8． (1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______． (2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？ (3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 【答案】(1)，C (2)B和D，A和E， (3)或 【分析】本题考查了数轴，两点间的距离公式，解题的关键是采用数形结合的数学思想． （1）根据，可知图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度，则后边的点表示的数总是比前边相邻的点表示的数大2，据此即可判断； （2）根据相反数的几何意义可知，原点两旁到原点距离相等的点互为相反数，即可解答； （3）根据两点间的距离公式，设M表示的数是x，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 图中相邻的两个点之间的距离是2个单位长度， 则B表示：，C表示，是原点． 故答案为：，C； （2）解：由（1）可知C为原点，且相邻两点之间的距离都相等， B和D，A和E，分别互为相反数； 故答案为：B和D，A和E， （3）解：， M不在线段上，设M表示的数是x， 当M在A的左边时：，解得； 当M在G的右侧时：，解得， 则M点表示：或． 故答案为：或． 2.如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【答案】(1)-1 (2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出原点的位置，再根据数轴写出点C、D表示的数即可． 【详解】（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是-1． （2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5． 【点睛】本题考查了相反数的定义和数轴，解题的关键是根据题意找出原点的位置． 3．如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点． （1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ； ②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ； （2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数． 【答案】（1）①-5,4；②-3，-8；（2）点B表示的数为-7 【分析】（1）①根据题意分别列出算式0−5和0−5+9，求得的值分别是点B、点C表示的数；②根据题意分别列出算式1−9+5和1−9，求得的值分别是点B、点A表示的数； （2）可设点A表示的数为x，则点B、点C表示的数分别为x−5和x+4，根据题意可列出方程x+ x+4=0，求出x，从而可求出x−5，即点B表示的数． 【详解】解：（1）①因为点表示的数为0，点向左移动5个单位长度到达点， 则有：0−5=−5， 所以点B表示的数为−5， 因为点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点， 则有：0−5+9=4， 所以点C表示的数为4； ②因为点表示的数为1，点B向右移动9个单位长度到达点， 所以点C向左移动9个单位长度到达点， 则有：1−9=−8， 所以点B表示的数为−8， 同理可得：−8+5=−3， 所以点A表示的数为−3； （2）解：设点A表示的数为x，则点B表示的数为x−5，点C表示的数为x+4， 由题意得：x+x+4=0， 解得：x=−2， 则x−5=−7， 所以点B表示的数为−7． 【点睛】本题考查了数轴、相反数的定义和有理数的运算，解题的关键是根据题意列出算式和方程，题目属于基础题，但容易出错，需要注意数轴上动点的移动方向． 题型9：综合提升 【名师点拨】研究数轴上点的移动，数形结合有奇效，解答此类题目可以运用数形结合思想，将点的移动情况直观地体现在数轴上，结合点在数轴上的运动路线得出结论. 【例24】长为2021个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__个整数点． 【答案】2022 【分析】当木条从整数点开始覆盖时，覆盖的整数点最多． 【详解】解：由数轴上一个单位长度有两个整数点，可得： 当木条的端点放在数轴的整数点上时，此时最多可以覆盖住比木条长度多一个整数点， 则可得：2021+1=2022． 故答案为：2022． 【点睛】本题考查了数轴的知识，牢固掌握数轴相关概念是解题的关键． 【例25】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 　　表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 　　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 【分析】（1）根据对称的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点； （2）①若﹣1表示的点与3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到5的对称点； ②根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到1的距离都是4，从而求解． 【解答】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则﹣2表示的点与数2表示的点重合． 故答案为：2； （2）∵﹣1表示的点与3表示的点重合， ∴对称中心是1表示的点． ∴①6表示的点与数﹣4表示的点重合． 故答案为：﹣4； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧）， 则点A表示的数是1﹣4＝﹣3，点B表示的数是1+4＝5． 【例26】阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【答案】(1)7 (2)4 (3)另一个点表示的数为17或7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （2）直接根据数轴上两点间的距离求解即可； （3）分两种情况讨论，当另一个点在表示12的点的右侧或当另一个点在表示12的点的左侧，再根据数轴上两点间的距离求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段， 故答案为：7； （2）解：数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段， 故答案为：4； （3）解：由题可得：①当另一个点在表示12的点的右侧时，； ②当另一个点在表示12的点的左侧时，， 综上，另一个点表示的数为17或7． 【例27】在数轴上有两个点A，B，回答下列问题. (1)将A点向左平移个单位长度后，表示的数是 (2)将B点向右平移3个单位长度后，表示的数是 (3)B点做怎样的平移可以与A点表示的数互为相反数? (4)A点和B点相距 个单位长度，若把图中数轴的原点移到B点，则在新的数轴上，A点表示的数是 (5)怎样移动才能使A点表示的数永远都大于B点表示的数? 【答案】(1)； (2)5； (3)点向左平移一个单位； (4)3，； (5)A点移动到B点右侧． 【分析】（1）由图可知，A点表示的数为，B点表示的数2，所以将A点向左平移个单位长度后，表示的数是； （2）B点向右平移3个单位长度后，表示的数是5； （3）A点的相反数是1，故点向左平移一个单位后表示的是为1，与A点表示的数互为相反数； （4）根据两点间的距离公式可求A和B的距离，根据数轴的定义可知原点移到B点，A点表示的数； （5）根据数轴上右边的数大于左边的数即可得到答案． 【详解】（1）解：，即表示的数是 故答案为：； （2）解：，即表示的数是5， 故答案为：5； （3）解：点的相反数是1， 点向左平移一个单位后与A点表示的数互为相反数， （4）解：，即A点和B点相距3个单位长度， 将图中数轴的原点移到B点，A点表示的数是， 故答案为：3，； （5）解：A点表示的数永远都大于B点表示的数，即A点移动到B点右侧． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，熟练掌握数轴的相关知识是解题关键． 一、选择题 1．（2022春•崇明区校级期中）﹣5的相反数是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【分析】根据只有符号不同两个数互为相反数，可得﹣5的相反数． 【解答】解：﹣5的相反数是5， 故选：A． 【点评】本题考查了相反数，理解只有符号不同的数是相反数是解题关键． 2．（2024闵行区期末）在数轴上位于和3之间（不包括和3）的整数有（    ） A．7个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据数轴的特点，找出大于小于3的整数点，即可得到结果． 【详解】解：数轴上位于和3之间（不包括和3）的整数点有：，共5个． 故选：B． 【点睛】此题考查了数轴的特点，熟练掌握数轴上点的特征是解本题的关键． 3．（2022春•宝山区校级月考）下列叙述中，不正确的是（　　） A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等 C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大 D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 【分析】根据数轴的特点进行判断，结合实数与数轴上点的一一对应关系进行分析判断即可． 【解答】解：∵实数与数轴上的点一一对应，故答案A正确； ∵两个互为相反数的数绝对值相等，∴表示互为相反数的两个点与原点距离相等，故答案B正确； ∵在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，故答案C错误； ∵通常以向右的方向表示数轴的正方向，∴右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大，故答案D正确． 故选：C． 【点评】本题考查的是数轴的概念及数轴与实数的对应关系，把握数轴上点的分布规律是判断选项的关键． 4．（2022春•普陀区校级期中）以下叙述中，正确的是（　　） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 【分析】根据相反数的定义分别对每一项进行分析即可． 【解答】解：A、如：+5和﹣3不是互为相反数，故本选项错误； B、只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故本选项错误； C、任何有理数都有相反数是正确的； D、0的相反数是0，不是负数，故本选项错误． 故选：C． 【点评】此题考查了相反数知识点的运用，属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆． 5．（2024宝山区校级期末）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小 【答案】C 【分析】由数轴可得点A表示的数小于点B表示的数小于0，据此判断即可． 【详解】由数轴可得，点A表示的数小于点B表示的数小于0， 故点A、点B表示的数都是负数，都小于0，故选项A、B、D正确； 点A在点B的左边，即点A表示的数比点B表示的数小，故选项C错误． 故选：C 【点睛】本题考查有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数． 6．（2024建平中学期末）数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（   ） A． B．4或 C．4或 D．或4 【答案】B 【分析】分两种情况，该点在的左边，该点在的右边，直接计算即可． 【详解】解：当该点在的左侧时，表示的数为：， 当该点在的右侧时，表示的数为：， 在数轴上到的点的距离是7的点表示的数为或4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查数轴，解决此题的关键是要注意到有两种情况，不要漏解． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·期中）的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．利用相反数的性质直接解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 8．（2024文来中学期末）在，，，中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据多重符号化简原则逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：，，，， 正数的个数是2个， 故选B． 【点睛】本题考查了多重符号化简，解题关键是掌握多重符号化简的原则：若一个数前有多重符号，则看该数前面的符号中，符号“”的个数来决定，即奇数个符号则该数为负数，偶数个符号，则该数为正数． 9．（2024上海·六年级阶段练习）写出数轴上点B所表示的分数，B：___． 【答案】或 【分析】根据分数的几何意义，结合数轴知道每一个单位长度被平均分成5份，为，从而直接根据点的位置写出对应表示的分数． 【详解】解：根据数轴上的刻度可知，每个单位长度被平均分成5份，为， 数轴上点B所表示的分数为或者化为假分数， 故答案为：或． 【点睛】本题考查数轴上点表示的数，理解每个分数表示的意义，然后正确在数轴上表示出各个数是解决本题的关键． 10．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上的点到原点的距离，掌握在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值是解题的关键．根据在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值即可求解． 【详解】解：在数轴上的点到原点距离等于， 该点的绝对值为， 该点表示的数是或， 故答案为：或． 11．（2024上海·六年级阶段练习）数轴上，表示数m的点向左移动2个单位长度后，表示的数为______． 【答案】/ 【分析】利用点在数轴上向左移动用减法求解即可． 【详解】解：数轴上，表示数m的点向左移动2个单位长度后，表示的数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是在数轴上向左右移动规律“左减右加”是解题的关键． 12. （2025嘉定区六年级期末）若互相反数，互为倒数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用相反数，倒数的性质求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】根据题意得：a+b=0，cd=1， 则原式=2（a+b）-cd=-1， 故答案为：-1 【点睛】此题考查有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 13．（2021春·上海浦东新·六年级上海市浦东模范中学东校校考期末）在数轴上与表示﹣2的点相距3个单位长度的点表示的数是 _____． 【答案】1或-5 【分析】设数轴上与表示-2的点相距3个单位长度的点所表示的数是x，再根据数轴上两点间的距离公式求出x的值即可． 【详解】解：设数轴上与表示-2的点相距3个单位长度的点所表示的数是x， 则|x+2|=3，解得x=1或x=-5． 故答案为：1或-5． 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 14．（2024上海·六年级阶段练习）下列各数中，相反数是它本身的数是_______ 【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【详解】解：相反数等于本身的数是0． 【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 15．（2024上海·六年级阶段练习）若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______． 【答案】1 【分析】根据题意求得a与b的关系，c，d的值，代入代数式求值． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c是最小的非负数， ∴， ∵d是最小的正整数， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查互为相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 16．（2024上海·六年级阶段练习）化简下列各数的符号：______，______． 【答案】 3 【分析】根据相反数的性质，即可求解． 【详解】解：； ． 故答案为：，3 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，在一个数的前面加上正号是原数是解题的关键． 17．（2023·浙江·七年级假期作业）已知与互为相反数，则x等于______． 【答案】1 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0列式计算即可． 【详解】∵与互为相反数， ∴ 解得． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两个数的和为0是解题的关键． 18．（2022春•嘉定区校级期中）数轴上的A点与表示﹣2的点距离3个单位长度，则A点表示的数为 　　． 【分析】利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：设A点表示的数为x，则 |x﹣（﹣2）|＝3， ∴x+2＝±3， ∴x＝﹣5或x＝1． 故答案为：﹣5或1． 【点评】本题考查的是两点间的距离公式，解题的关键是明白两点间的距离，是表示两个点的数之差的绝对值． 3、 解答题 19．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数轴知识和相反数的定义．利用数轴知识，相反数的定义解答． 【详解】解：∵A点表示的数为，B点表示的数为2的相反数，C点表示的数为， ∴A是数，B是数，C点表示的数为， 数轴上表示为， 20．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图，在下面写出数轴上点A、B、C所表示的数，并分别用数轴上的点表示、、2.6、，并依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G． _____、_____、_____． 【答案】，数轴见详解 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先从数轴得，再依次找出、、2.6、的点，然后依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G，即可作答． 【详解】解：依题意，， 数轴如图所示： 21．（2023·浙江·七年级假期作业）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 【答案】(1)、； (2)， 【分析】（1）由相反数的定义及两点间的距离公式可得a、b的值； （2）求出、的长即可求出a、b的值． 【详解】（1）∵点A、B表示互为相反数的两个数，a，，且A、B之间的距离为3， ∴、； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了数轴和相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 22．（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）如图，一个单位长度表示2，解答下列问题： (1)若点B点D所表示的数互为相反数求点D所表示的数； (2)若点A与点B所表示的数互为相反数，求点D所表示的数； (3)若点B与点F所表示的数互为相反数，求点D所表示的数的相反数， 【答案】(1)4 (2)9 (3) 【分析】（1）“B与D所表示的数互为相反数”由B与D之间有四个单位长度得点C所表示的数是原点，由此得点D表示的数为4． （2）方法同（1）可得点D表示的数为5． （3）方法同（1）可得点D表示的数为2，它的相反数为-2． 【详解】（1）∵B与D所表示的数互为相反数，且B与D之间有4个单位长度，一个单位长度表示2， ∴可得点D所表示的数为4； （2）∵A与B所表示的数互为相反数，且它们之间距离为2，则B表示的数为1，一个单位长度表示2， ∴点D表示的数为9； （3）∵B与F所表示的数互为相反数，B、F两点间距离为12， ∴C、D中间的点为原点， ∴D表示的数为2，它的相反数为． 【点睛】本题主要考查数轴和相反数的应用，在答题中要注意数轴的一个单位长度是多少，同时要根据两点之间单位长度来确定点所表示的数字． 23．（2022春•奉贤区校级月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． （2）请问A，B两点之间的距离是多少？ （3）在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A，B的其它字母表示），并写出这些点表示的数． 【分析】（1）读出数轴上的点表示的数值即可； （2）两点的距离，即两点表示的数的绝对值之和； （3）与点A的距离为2的点有两个，一个向左，一个向右． 【解答】解：（1）根据所给图形可知A：1，B：﹣2.5； （2）依题意得：AB之间的距离为：1+2.5＝3.5； （3） 设这两点为C、D， 则这两点为C：1﹣2＝﹣1，D：1+2＝3． 【点评】本题主要考查了学生对数轴的掌握情况，要会画出数轴，会读准数轴． 24．已知下列有理数：－4，2，－3.5，0，－2，3，－0.5 （1）在数轴上标出这些有理数表示的点； （2）设表示－0.5的点为A，那么与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是多少？ 【答案】（1）答案见解析；（2）3.5或−4.5． 【分析】（1）根据所给有理数画出数轴标出各数据即可． （2）直接利用数轴结合与A点的距离相差4个单位长度，即可得出答案． 【详解】（1）如图所示： ； （2）设表示−0.5的点为A， 则与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是：−0.5+4=3.5或−0.5−4=−4.5. 【点睛】本题考查数轴，根据题意正确的在数轴上表示出各数据是解题关键． 25.如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ （2）A、B两点间的距离是多少？A、C两点间的距离是多少？ （3）若将点A向右移动5个单位后，则A、B、C这三个点所表示的数谁最大？ （4）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 【答案】（1）A：－6，B：1，C：4；（2）AB距离为7，AC距离为10；（3）C；（4）向左移动2个单位 【分析】（1）直接读图即可得到； （2）用右侧数字减左侧数字即为两点间的距离； （3）先得出A移动后的数字，再比较着3个数字的大小； （4）AC间的距离为10，故只需AB、BC间的距离都是5即可 【详解】（1）观察数轴得：A：－6，B：1，C：4； （2）AB的距离为：1－(－6)=7； AC的距离为：4－(－6)=10； （3）A向右移动5个单位变为：－1 则A、B、C此刻分别为：－1、1、4，其中4最大，即点C； （4）∵AC的距离为10 ∴要使得AB、BC距离相等，则AB、BC都为5 ∴只需将点B向左移动2个单位即可 【点睛】本题是数轴的考查，解题关键是先读懂数轴，得出对应数值，然后根据向左移动为减，向右移动为加，按照题干变换求解 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年新六年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题02 数轴和相反数 知识点一、数轴的概念 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 2、数轴的三要素: ①原点:在直线上任取一个点表示0,这个点叫做原点. ②正方向:通常规定直线上从原点向右(或向上)为正方向,从原点向左(或向下)为负方向. ③单位长度:选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,…. 3、有理数与数轴上的点之间的关系 (1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示. (2)设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度; 表示-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 【注意】 单位长度和长度单位不是一回事.单位长度可以任意选取,而长度单位是我们在小学学过的一些为了规范长度而制定的基本单位，如m,dm,cm. 知识点二、数轴的画法 1、步骤：（1）画一条水平直线； （2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向； （4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方． 2、画数轴的常见错误： ①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 3．数轴与有理数的关系 ①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示；但数轴上的点不一定代表有理数，比如． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大； ③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 【注意】 数轴上有无数个点,而每一个点都表示一个数,不同的点所表示的数不同,不同的数用不同的点来表示. 数轴上的点并不都表示有理数.也就是说,数轴上的点与有理数并不是一一对应关系. 知识点三、相反数 1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. （3）相反数的和为0 互为相反数；相反数的商为-1。 （4）相反数的表示 求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“－”号即可. 知识点四、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 . 要点： （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3. （3）多重符号的化简一般有两种方法 ①由相反数的求法,由内向外逐步化简; ②由“－”的个数决定: 如果“－”的个数为奇数,那么结果为“－”; 如果“－”的个数为偶数,那么结果为“+”. 即为“奇负偶正” 【注意】 在表示一个数的相反数时,如果这个数本身含有多重符号，要先加上括号再添负号. 题型1：数轴的三要素及画法 【名师点拨】1.原点是数轴的基准点，也是正数和负数的分界点。 2.绘制数轴时,它的三要素缺一不可,另外,标注数轴上的点时，需要注意从原点开始向两侧排列； 3.在同一条数轴上,单位长度的大小必须统一； 4.数轴的正方向可以任意选取,通常规定向右或向上为正.可以选取1cm或2cm为一个单位长度，甚至更长或更短;每位长度可以代表“1”“10”“0.1”“500”“0.02”等等。 【例1】下列说法正确的是（　　） A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线 B．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 C．数轴的正方向一定向右 D．数轴的长度是有限的 【例2】判断下列图中所画的数轴正确的个数是（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪训练】 1．下列图形中是数轴的是（　　） A． B． C． D． 2.下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④3．下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 题型2：用数轴上的点表示有理数 【名师点拨】1.数轴是“数”“形”结合的工具，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示. 2.画数轴后,通常把表示单位长度的数写在数轴对应位置点的下方，所要表示的数写在数轴对应位置点的上方. 【例3】如图，数轴上A、B两点在原点两侧，且，若，那么点A表示的数是（　　） A．4 B． C．2 D． 【例4】数轴上到0距离为3的点表示的数为 【例5】给出下面六个数：．先画出数轴，再把表示上面各数的点在数轴上表示出来． ． 【跟踪训练】 1．如图，数轴上点A表示的数可能是（　　） A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3 2．关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（　　） A．在﹣3的左边 B．在3的右边 C．在原点与﹣1之间 D．在﹣1的左边 3．在数轴上，到原点的距离等于5个单位长度的点所表示的数是________． 4. 画出数轴，在数轴上表示下列各数． ，，，0，2.5 5．请把下面不完整的数轴画完整，并在数轴上标出下列各数： ，，4，． 题型3：利用数轴比较有理数的大小 【名师点拨】比较两个有理数的大小只要把这两个数在数轴上表示出来，由数轴上的位置确定两个数的大小 【例6】实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【例7】，，，四个数在数轴上的位置如图所示，则最小的数是（    ）    A． B． C． D． 【例8】请把下列各数表示在数轴上，并用“＜”号把它们连接起来． ，，， 【跟踪训练】 1.在数轴上标出下列各数所对应的点，并将这些数按从小到大的顺序用“”连接． ，，， 2．在数轴上表示下列各数，，，，，． 3．点A、B在数轴上的位置如图所示： (1)点A表示的数是________，点B表示的数是________． (2)在原图中分别标出表示的点C、表示的点D，并用“”号把这四个点所表示的数连接起来． 题型4：数轴上的两点距离与动点问题 【名师点拨】数轴上两点之间的距离为:右边点表示的数 减去左边的点表示的数(大数--小数) 规律:数轴上的点,向正方向移动就加上移 动的单位,向负方向移动,就减去移动的单位 【例9】如图，点A表示的数是﹣3，则点A到原点的距离是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【例10】数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为_____． 【例11】如果在数轴上点表示-3，从点出发，沿数轴移动4个单位长度到达点，则点表示的数是____． 【例12】在数轴上一个点移动了个单位长度后到达了表示数的位置，则这个点原来所表示的数是（  ） A．0 B．或 C．4或 D．2或 【跟踪训练】 1．在数轴上，与表示的点的距离是2的点所表示的数是______. 2．数轴上一点A表示的数为，当点A在数轴上向右移动4个单位后所表示的数是 _________． 3．点在数轴上距原点个单位长度，且位于原点左侧，若将点A向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，这时点表示的数是______． 4.在一条东西方向的跑道上，中间有一旗杆，小亮从旗杆处向东跑60米，接着又向西跑40米，此时小亮的位置是在旗杆以东还是旗杆以西？他距离旗杆多少米？ 5．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，3，将点A向左平移1个单位长度，得到点C．若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型5：相反数的定义 【名师点拨】相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零 1.只有符号不同的两个式子叫做互为相反式.把其中一个式子叫做另一个式子的相反式.（整体思想） 2.表示相反数的两个点在数轴上分别位于原点的左、右两边，且到原点的距离相等.（几何意义） 【例14】写出下列各数的相反数：16，，0，，m，． 【例15】如图，数轴上点A的相反数是（    ） A． B． C．1 D．2 【例16】在① +（+2）与﹣（﹣2）；② +（﹣2）与﹣（+2）；③ +（+2）与+（﹣2）；④ +（+2）与﹣（+2）；⑤ +（﹣2）与﹣（﹣2）；⑥﹣（﹣2）与﹣（+2）这六对数中，它们是互为相反数的有________组． 【例17】将下列各数及它们的相反数在数轴上表示出来，并用“ < ”把这些数连接起来，它们分别：4，，0.2，5，-1． 【跟踪训练】 1．的相反数是（    ） A．2024 B． C． D． 2．下列各组数中的两个数，互为相反数的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．用数轴上的点分别表示3，，，，0和它们的相反数． 题型6：化简多重符号 【名师点拨】多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”号，结果为正。 【例18】化简得（    ） A．8 B． C． D． 【例19】（1） ；                 （2） ； （3） ；              （4） ． 【跟踪训练】 1.化简的结果是 ． 2．（1）化简下列各式： ①___________；②__________；③___________； ④__________；⑤______________；⑥____________ 3．化简下列各数中的符号． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 题型7：相反数的性质 【名师点拨】相反数的性质 （1）任何一个数都有唯一一个相反数.正数的相反数是负数;负数的相反数是正数;0的相反数是0. （2）若a，b互为相反数，则a＝-b或b＝-a或a+b＝0. 【例20】与的和为0的数是（　　） A．2 B．－2 C． D． 【例21】和互为相反数，那么 ． 【例22】若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如果和互为相反数，那么___________． 2. 如果的相反数是最大的负整数，的相反数是它本身，则的值为（ ） A．1 B．0 C．2 D．-1 已知+（﹣）的相反数是x，﹣（+3）的相反数是y，z的相反数是z，求x+y+z的相反数． 题型8：相反数的应用 【名师点拨】（1）相反数的定义中“只有”指的是除了符号不同外其他完全相同. （2）相反数的定义中“两个数”是说相反数一定成对出现，不能单独存在. （3）数轴上与原点的距离是a（a＞0）的点有两个，分别在原点左右两边，它们互为相反数. （4）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等. （5）-a不一定是负数，a不一定是正数，字母本身没有符号，它的符号是人为定义的，对字母表示数的时候，一定要看清楚字母的取值范围。例如当a＜0，则-a＞0. 【例23】若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则 ， . 【跟踪训练】 1．如图，数轴上标出了7个点，相邻两点之间的距离都相等，已知点A表示，点表示8． (1)点表示的有理数是______，表示原点的是点______． (2)图中哪些点表示的有理数互为相反数？ (3)图中的数轴上另有点到A点，点距离之和为13，求点表示的有理数． 2.如图，在一条不完整的数轴上一动点向左移动5个单位长度到达点，再向右移动9个单位长度到达点． （1）①若点表示的数为0，则点、点表示的数分别为： 、 ； ②若点表示的数为1，则点、点表示的数分别为： 、 ； （2）如果点、表示的数互为相反数，求点表示的数． 题型9：综合提升 【名师点拨】研究数轴上点的移动，数形结合有奇效，解答此类题目可以运用数形结合思想，将点的移动情况直观地体现在数轴上，结合点在数轴上的运动路线得出结论. 【例24】长为2021个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖__个整数点． 【例25】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面． （1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数 　　表示的点重合； （2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①6表示的点与数 　　表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？ 【例26】阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，如图，线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为10和3，则线段___________； (2)数轴上点E、F代表的数分别为3和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为12，求另一个点表示的数． 【例27】在数轴上有两个点A，B，回答下列问题. (1)将A点向左平移个单位长度后，表示的数是 (2)将B点向右平移3个单位长度后，表示的数是 (3)B点做怎样的平移可以与A点表示的数互为相反数? (4)A点和B点相距 个单位长度，若把图中数轴的原点移到B点，则在新的数轴上，A点表示的数是 (5)怎样移动才能使A点表示的数永远都大于B点表示的数? 一、选择题 1．（2022春•崇明区校级期中）﹣5的相反数是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 2．（2024闵行区期末）在数轴上位于和3之间（不包括和3）的整数有（    ） A．7个 B．5个 C．4个 D．3个 3．（2022春•宝山区校级月考）下列叙述中，不正确的是（　　） A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等 C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大 D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大 4．（2022春•普陀区校级期中）以下叙述中，正确的是（　　） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 5．（2024宝山区校级期末）点A，B在数轴上的位置如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．点A表示的数是负数 B．点B表示的数是负数 C．点A表示的数比点B表示的数大 D．点B表示的数比小 6．（2024建平中学期末）数轴上到数所表示的点的距离为7的点所表示的数是（   ） A． B．4或 C．4或 D．或4 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·期中）的相反数是 ． 8．（2024文来中学期末）在，，，中，正数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024上海·六年级阶段练习）写出数轴上点B所表示的分数，B：___． 10．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）在数轴上，到原点距离等于的点表示的数是 ． 11．（2024上海·六年级阶段练习）数轴上，表示数m的点向左移动2个单位长度后，表示的数为______． 12. （2025嘉定区六年级期末）若互相反数，互为倒数，则__________． 13．（2021春·上海浦东新·六年级上海市浦东模范中学东校校考期末）在数轴上与表示﹣2的点相距3个单位长度的点表示的数是 _____． 14．（2024上海·六年级阶段练习）下列各数中，相反数是它本身的数是_______ 15．（2024上海·六年级阶段练习）若a、b互为相反数，c是最小的非负数，d是最小的正整数， ______． 16．（2024上海·六年级阶段练习）化简下列各数的符号：______，______． 17．（2023·浙江·七年级假期作业）已知与互为相反数，则x等于______． 18．（2022春•嘉定区校级期中）数轴上的A点与表示﹣2的点距离3个单位长度，则A点表示的数为 　　． 三、解答题 19．（24-25六年级上·上海宝山·期中）在数轴上分别画出点，并用字母表示．A点表示的数为；B点表示的数为2的相反数：C点表示的数为． 20． （24-25六年级上·上海奉贤·期中）如图，在下面写出数轴上点A、B、C所表示的数，并分别用数轴上的点表示、、2.6、，并依次在这四个点的上方标示字母D、E、F、G． 21．（2023·浙江·七年级假期作业）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 22．（2022秋·辽宁抚顺·七年级校考阶段练习）如图，一个单位长度表示2，解答下列问题： (1)若点B点D所表示的数互为相反数求点D所表示的数； (2)若点A与点B所表示的数互为相反数，求点D所表示的数； (3)若点B与点F所表示的数互为相反数，求点D所表示的数的相反数， 23．（2022春•奉贤区校级月考）根据下面给出的数轴，解答下面的问题： （1）请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数． （2）请问A，B两点之间的距离是多少？ （3）在数轴上画出与点A的距离为2的点（用不同于A，B的其它字母表示），并写出这些点表示的数． 24．已知下列有理数：－4，2，－3.5，0，－2，3，－0.5 （1）在数轴上标出这些有理数表示的点； （2）设表示－0.5的点为A，那么与A点的距离相差4个单位长度的点所表示的数是多少？ 25.如图，在数轴上有A、B、C这三个点． 回答： （1）A、B、C这三个点表示的数各是多少？ （2）A、B两点间的距离是多少？A、C两点间的距离是多少？ （3）若将点A向右移动5个单位后，则A、B、C这三个点所表示的数谁最大？ （4）应怎样移动点B的位置，使点B到点A和点C的距离相等？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$