专题1.3 反比例函数的应用（高效培优讲义）（高效培优讲义）数学湘教版九年级上册

专题1.3 反比例函数的应用 教学目标 1．学会利用反比例函数解决简单几何问题． 2．利用反比例函数构建数学模型解决实际问题． 教学重难点 1.重点：学会利用反比例函数解决简单几何问题． 2.难点：利用反比例函数构建数学模型解决实际问题． 知识点01 涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 【即学即练】 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点横坐标为1，点纵坐标为点纵坐标的2倍． （1）点的横坐标为 ； （2）不等式的解集为 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，涉及到一次函数与反比例函数的性质，一次函数及反比例函数图象上点的坐标特征等知识，数形结合是解题的关键． （1）设，由点纵坐标为点纵坐标的2倍，可得点纵坐标为，再由一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，可得点横坐标为； （2）由可得，一次函数与关于原点对称，可得一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与B，A两点关于原点对称，再求解即可． 【详解】解：（1）设， 点纵坐标为点纵坐标的2倍， 点纵坐标为， 一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点， 点横坐标为， 故答案为：2； （2）由可得， 一次函数与关于原点对称， 一次函数与反比例函数的图象交于两点，且与B，A两点关于原点对称，如下图， 点C、D两点的横坐标分别为， 根据函数图象，不等式的解集是或． 故答案为：或． 2．阅读下列文字，并回答问题． 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图像如图①，观察两个图像可得，关于的方程的解是，关于的不等式的解集是．同样，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图②，则关于的方程的解是，关于的不等式的解集是或． 如图③，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，数形结合的思想，把转化成，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：即， ∵一次函数与反比例函数的图像相交于两点，它们的横坐标分别为1和5， ∴的解集为：或， 故答案为：或． 3．如图，已知直线与双曲线交于、两点，请利用以上信息解决问题： (1)方程的解是_________； (2)方程组的解是_________； (3)关于的不等式的解集为_______； 【答案】(1)或1 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，运用数形结合的数学思想是解题的关键． （1）直线与双曲线交点的横坐标即为方程的解； （2）利用双曲线解析式求出点A和点B的坐标，即可得出方程组的解； （3）直线在双曲线下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集． 【详解】（1）解：直线与双曲线交于、两点， 方程的解是或1， 故答案为：或1； （2）解：、在双曲线上， ，， 、 方程组的解是或， 故答案为：或； （3）解：由图可知或时，直线在双曲线下方， 关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 知识点02 求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定 ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。 （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P是x轴上一点，且满足的面积是6，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，一次函数与几何图形，根据图象求出不等式的解集，作出辅助线表示出的面积是解题的关键． 对于（1），将点代入可得反比例函数关系式，再将点代入反比例函数关系式可得坐标，然后将点A，B代入一次函数关系式，求出解可得关系式； 对于（2），根据交点的横坐标，再根据反比例函数图象在一次函数图象上方可得答案； 对于（3），先设点P的坐标，再表示出，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， ∴反比例函数关系式为； 将点代入反比例函数关系式， 得， ∴点． 将点，代入一次函数关系式， 得， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：观察图象可得：当或时，； （3）解：如图所示， 当时，， 解得， ∴点， ∴． ∵的面积是6， ∴， 解得， 当点P在原点左侧时，点； 当点P在原点右侧时，点． 所以点P的坐标为或． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3）观察函数图象知，时的取值范围为． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求a，b的值和反比例函数解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围； (3)在y轴上有一点C，且，求点C的坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了用待定系数法求出反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较典型，难度适中． （1）先求出和，再将点坐标代入反比例函数解析式即可解决问题； （2）求得反比例函数图象上，且到x轴的距离等于3的点的坐标，然后根据图象即可得出答案； （3）设与y轴交于点D，得到，求出，由点C在y轴上，点D为，即可求出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得． 把代入，得， 解得． 把代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由（1）知，反比例函数的解析式是， 当时，则；当时，， 由图象可知，若点在反比例函数图象上，且它到轴距离大于3， 则的取值范围是或． （3）解：设与轴交于点， 当时，， ∴点为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在轴上，点为． ∴点坐标为或． 知识点03 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练】 1．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 【答案】(1) (2)200度 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）设函数表达式为，把，代入计算即可； （2）将代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：设函数表达式为， 把，代入上式，得， 故所求函数的表达式为． （2）解：将代入，得， （度）， 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度． 知识点04 反比例函数在其他学科中的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【即学即练】 1．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1)I= (2) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及反比例函数的性质是解题关键． （1）设函数解析式为，把当时，，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数性质，把，代入求出的最大值和最小值即可得答案． 【详解】（1）解：设函数表达式为 ∵当时，， ∴，解得：， ∴电流I（安培）与电阻R（欧姆）之间的表达式为； （2）解：∵中，， ∴图象在第一象限，I随R的增大而减小， ∵， ∴把电阻最小值代入，得到电流的最大值，． 把电阻最大值代入，得到电流的最小值，． ∴电流I的变化范围是． 题型01 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质是解题的关键．根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答，即可求解． 【详解】解：A、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； B、当时，反比例函数y位于第一、三象限，一次函数图象经过一、二、三象限，故本选项错误，不合题意； C、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项正确，符合题意； D、当时，反比例函数y位于第二、四象限，一次函数图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数它的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数函数的图象与性质是解题的关键． 先确定直线与y轴交于点，函数与可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，综合即可判断结果． 【详解】解：对于，当，， ∴直线与y轴交于点，故A、D不符合题意； 由函数与，可知反比例函数比例系数与一次函数斜率符号相反，故不同时过第一、三象限或第二、四象限，故C不符合题意，B符合题意， 故选：B． 【变式2】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 【变式3】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的图像，由函数知直线必过这一点，据此可得． 【详解】解：由函数知直线必过这一点， 故选：C． 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例1】正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】将点A坐标代入反比例函数即可求出m，即可找到点A的坐标；将点A坐标代入正比例函数即可求解． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，关键在于求出交点坐标． 【详解】解：将点A坐标代入反比例函数得：. ∴. ∴， 将点A坐标代入正比例函数得：. ∴. 故答案为：. 【变式1】若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的交点问题，坐标与图形的变化—中心对称，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称． ∵一个交点的坐标是， ∴另一个交点的坐标是． 故选：B． 【变式2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】（1）由直线与轴交于点，与轴交于点，求出直线表达式，再将代入即可得到答案； （2）当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，求出直线与双曲线的交点是和，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，解得， 直线， 在直线上， ，则， 直线与反比例函数在第四象限内的图象交于点， ，则反比例函数的表达式为； （2）解：当时，求的取值范围就是确定直线在反比例函数图象上方部分对应的的取值范围，如图所示： 联立得，则， 解得或， 直线与双曲线的交点是和， 由图可知当时，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、待定系数法确定反比例函数表达式、求直线与反比例函数交点、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解决问题的关键． 题型03 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例1】如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，反比例函数与几何综合，三角形相似的判定与性质． （1）先求出m的值，利用待定系数法求出k即可得解； （2）过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q，证明，得，根据，得，根据，得，可得，即得． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过， ∴， ∴反比例函数的解析式为；； （2）解：过点A作轴于点P，过点N作轴于点Q， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵中, ∴只有， ∴， ∴， ∴， ∵轴， 当， ∴， 当， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【答案】(1)双曲线的解析式为 (2)， 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，准确理解题意，找到各点与表达式间的关系是正确解答此题的关键． （1）将代入，求得m，即可求解； （2）作轴于轴于． 证明（AAS）．得．由，得．即可求得点D坐标，设直线为，代入点D坐标，即可求解点C坐标． 【详解】（1）解：将代入直线的解析式中，得． 解得． 将代入双曲线的解析式中，得． 双曲线的解析式为． （2）解：作轴于轴于． 则． ． ， ， ． ． 由题意，， ． 由，得． ； 设直线为，则． ， 直线为． 由，得． ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，数形结合是解题的关键． （1）先求出点．再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）记平移后的直线与轴的交点为，则，连接BD．根据列方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， ． 点． 把点代入， 得：， ． 直线的表达式为：． （2）记平移后的直线与轴的交点为，则， 连接， ． ． 即：． ． 【变式3】已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)①；②不等式的解集为或． 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式，再求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可； ②根据函数图象即可写出不等式的解集． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点，在的图象上， ， ，， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； 直线的解析式为， 令，得， ， ； ②∵，， ∴不等式的解集为或． 题型04 反比例函数的实际应用 【典例1】光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 【点睛】 【变式1】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【答案】(1) (2)弹簧秤的示数的最小值为 (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的增减性和不等式的解法是解题的关键． （1）设关于的函数表达式为，把时，代入求出值即可得答案； （2）根据反比例函数的增减性和的取值范围计算即可； （3）根据题意列不等式并求的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵弹簧秤的示数是的反比例函数， ∴设关于的函数表达式为， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴关于的函数表达式为． （2）解：∵关于的函数表达式为，， ∴随的增大而减小， ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为． ∴弹簧秤的示数的最小值为． （3）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴的取值范围为． 【变式2】小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 【答案】(1) (2)电阻阻值缩小为原来的，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12，写出函数关系式即可； （2）当时，，结合，即可得出结论． 【详解】（1）根据表格数据的关系，可得R与I的乘积不变，始终等于12． 设， ∴， ∴． （2）电阻阻值缩小为原来的，理由如下： 当时， ； ∵， ∴ 【变式3】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)满足条件的点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键． （1）在坐标系中描出表中数据对应的点即可； （2）将代入得，求出，得到函数的解析式为； （3）设，连接，得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， （2）解：将代入得， ， 函数的解析式为； （3）解：点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数上一点， 设， 如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验是原方程的根， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 题型05 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例1】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】(1)3 (2)深消毒阶段为线段的函数关系式；降消毒阶段为反比例函数解析式 (3)消毒有效 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）根据图象信息直接解答即可 （2）设线段的函数关系式为，结合和，利用待定系数法解答即可．根据题意，得反比例函数经过点，设反比例函数的解析式为，确定解析式，后代入求值即可． （3）根据解析式为，，当时，； 当时，；确定循环时长，解答即可． 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，待定系数法，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图象知，当10分钟时，效力为3， 故答案为：3． （2）解：当时， 设直线的函数关系式为，结合和，利用根据题意，得， 解得， 所以． 根据题意，得反比例函数经过点， 当时， 设反比例函数的解析式为， 故， 解得， 故． （3）解：根据解析式为，， 当时，； 当时，； 持续时长为． 故本次消毒有效． 【变式1】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【答案】(1) (2) (3)对病毒有作用的时间长为分钟 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求正比例函数解析式即可； （2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （3）根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题． 【详解】（1） 解：设药物燃烧时的函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧时的函数关系式为； （2） 解：设燃烧后函数解析式为， 由题意得：，解得：， 燃烧后的函数关系式为； （3） 解：由题意得： 解得：， （分钟）， 答：对病毒有作用的时间长为分钟． 【变式2】如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1)3.2 (2) (3)一个加热周期内水温不低于的时间为 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【详解】（1）解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； （2）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （3）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 【变式3】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 【答案】(1)20摄氏度 (2) (3) 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用、求一次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】（1）根据图象设一次函数解析式为，根据图象可求得函数解析式．进而可求出恒定温度； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式； （3）根据各时间段的函数解析式算出时的值，用24小时减去这些时间即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握一次函数、反比例函数和常函数解析式，注意临界点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：， 根据题意，可得， 解得， 直线， 当时，， 恒定温度为：； （2）由（1）可知：一次函数解析式为， 根据图象可知：， 设小时内函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：， 小时函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 故最多关闭． 1．函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 3．一篇文章，佳豪输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，佳豪原来30分钟输入完成，改变输入方法后，佳豪每分钟输入100个字，则改变输入方法后（   ） A．提前了5分钟 B．提前了10分钟 C．提前了15分钟 D．落后了5分钟 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据录入的时间录入总量录入速度即可得出函数关系式，再将代入函数关系式可得变输入方法后所用时间，前后时间进行比较即可得出结论． 【详解】解：设， 把代入得，， ∴， ∴y与x的函数表达式为， 将代入得，， （分钟）， ∴改变输入方法后提前了15分钟． 故选：C． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键． 利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可求出点坐标，设点的坐标为，可得为代入面积公式求值即可． 【详解】解：将代入， 可得：， ∴， 将代入， 可得：， ∴， ∴点坐标为， 根据为轴上的一点，可设点的坐标为， 即， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． 故选：C． 5．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，反比例函数的应用、一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据函数图象的信息得加热4分钟时水温上升了，再分别求出反比例函数、一次函数的解析式，再根据该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：没加热前的水温是， 则 ∴加热4分钟时水温上升了， 故A选项不符合题意； ∵在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系 ∴设解析式为，把代入， 得 解得， ∴， 当时，则， ∴， 故B选项不符合题意； 茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系， ∴设解析式为 把代入， 得， ∴ ∵在时饮用口感最佳． ∴ ∴ 则在口感最佳时饮用，需要等待的时间是15分钟， 故C选项不符合题意； ∵该种茶水在时适宜饮用， ∴ ∴该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 故D选项不符合题意； 故选：D． 6．已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流（单位：A）与电阻（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出，即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为． 把代入中，得， 解得， 故答案为：36． 7．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．根据，结合图像得出答案． 【详解】解：由图像可知，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上面， ∴当时，，即 ∴的解集为． 故答案为：． 8．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 9．如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时点到点的距离与点到点的距离和最小，利用待定系数法可得反比例函数解析式为，设，根据题意可得为整数，则，，求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解；如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 根据轴对称的性质，此时点到点的距离与点到点的距离和最小， 将代入双曲线中，得， ∴反比例函数解析式为 设， 点的横坐标与纵坐标均为整数， ∴为整数， （舍去）或， ， 设直线的解析式为， 将，代入，可得 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ， 故答案为：． 10．如图，直线与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点．若点在轴上，且，则 ． 【答案】2或6 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，由题意可求得，待定系数法求出反比例函数的解析式为，求出，，设点的坐标为，结合，得出，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：把点代入可得：， ∴， ∴， 把代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 当时，，即， 设点的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴或， ∴或， 故答案为：2或6． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、 待定系数法求函数表达式，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据两图象的交点，找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标的范围即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， 反比例函数的表达式为， ，解得， ， ∵，在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方， ∴不等式的解集为． 12．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 【答案】(1)， (2)有效制冷时间是9分钟 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的图象和性质，函数与方程的关系，是解题的关键． （1）由函数图象可知当时间为时，温度与时间之间是反比例函数关系，由图象上点求出反比例函数的关系式，再由反比例函数关系式求出当时的t的值即可； （2）求出一次函数的解析式，分别求出时一次函数中与反比例函数中的x值，即可求解． 【详解】（1）解：设当时的反比例函数关系式为， 由图象可知，点在函数图象上， ， 解得，， 当时的反比例函数关系式为． 当时，， 解得，； （2）解：当时，， 解得：， 设当时的一次函数关系式为， 由图象可知，点，点在函数图象上， 则， 解得： 当时的一次函数关系式为， 当时，， 解得，， （分钟）． 答：在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是9分钟． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． (1)与的数量关系为________； (2)若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形，从而可证明，再证明，即可得出结论； （2）①过点O作于点E，利用等腰三角形的性质与直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积求解即可； ②由（1）知：，四边形MONF为正方形，可求得，设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m，，根据，得，解得：，则可求得点B的坐标为，再代入求解即可． 【详解】（1）解：如图，分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形， 设点B的坐标为，点C的坐标为， 点B，C为一次函数图象与反比例函数图象的交点， 令，化简得，即， ， ，即，则四边形为正方形， 一次函数的图象与x轴，y轴分别交于D，A两点， 令，则，令，则， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：①如图，过点O作于点E， 由（1）知， ∴， ∴； ∵， ∴， ． 又的面积为4， ， 即， ；              ②由（1）知：，四边形为正方形， ， ， 设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m， ， ， 即， 解得：， 把代入，得， 点B的坐标为， 把代入， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 14．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式： (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【答案】(1) (2)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于．理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）求解反比例函数的解析式为：，进一步可得的坐标；当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （2）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为：， 由得， ∴反比例函数为：， 当时，， ∴， ∴， 当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （2）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 15．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 【答案】(1)①1；②见解析 (2)增大 (3)该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）①依据题意，将代入中，进而计算可以得解； ②依据题意，根据表格数据描点即可得解； （2）依据题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，又I随R的增大而减小，进而可以判断得解； （3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，得，求出k，b后可得，再结合，进而可以得，故可判断得解． 【详解】（1）解：①由题意，将代入中， ∴， ． 故答案为：1． ②图象如下图所示，即为所求． ； （2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小， 又∵I随R的增大而减小， ∴I随着m的增大而增大． 故答案为：增大． （3）解：不能，理由如下： 由题意，设（，b为常数） 将，代入，得， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∵由（2）知I随着m的增大而增大， ∴当时，． ∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 反比例函数的应用 教学目标 1．学会利用反比例函数解决简单几何问题． 2．利用反比例函数构建数学模型解决实际问题． 教学重难点 1.重点：学会利用反比例函数解决简单几何问题． 2.难点：利用反比例函数构建数学模型解决实际问题． 知识点01 涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 【即学即练】 1．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，已知点横坐标为1，点纵坐标为点纵坐标的2倍． （1）点的横坐标为 ； （2）不等式的解集为 ． 2．阅读下列文字，并回答问题． 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图像如图①，观察两个图像可得，关于的方程的解是，关于的不等式的解集是．同样，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像如图②，则关于的方程的解是，关于的不等式的解集是或． 如图③，一次函数与反比例函数的图像相交于两点，它们的横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ． 3．如图，已知直线与双曲线交于、两点，请利用以上信息解决问题： (1)方程的解是_________； (2)方程组的解是_________； (3)关于的不等式的解集为_______； 知识点02 求一次函数与反比例函数的交点坐标 （1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定 ①k值同号，两个函数必有两个交点；②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点。 （2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，请直接写出不等式的解集； (3)若P是x轴上一点，且满足的面积是6，直接写出点P的坐标． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求a，b的值和反比例函数解析式； (2)若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离大于3，请根据图象直接写出m的取值范围； (3)在y轴上有一点C，且，求点C的坐标． 知识点03 利用反比例函数解决实际问题 1.基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题. 2.一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系 数用字母表示. （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数. （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题. 【即学即练】 1．如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降．经调查发现，近视眼镜的度数（度）与镜片的焦距（米）是反比例函数关系，图象如图所示： (1)写出这一函数表达式； (2)小妮原来佩戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0．25米，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度？ 知识点04 反比例函数在其他学科中的应用 1.当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数； 2.当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数； 3.在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数； 4.电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数. 【即学即练】 1．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系．现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 题型01 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数和（，k是常数）的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【变式2】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C．D． 【变式3】函数与函数在同一直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A．B．C．D． 题型02 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例1】正比例函数与反比例函数的图象都经过点，那么 ． 【变式1】若正比例函数与反比例函数的图象交于点，则另一个交点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图象交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出的取值范围． 题型03 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例1】如图，直线与反比例函数的图像交于点，与轴交于点． (1)求的值和反比例函数的解析式； (2)点是直线上的一点，过点作平行于轴的直线交反比例函数的图像于点，连接，，求的面积． 【变式1】如图，直线与轴交于，与双曲线交于．将直线平移，与轴交于，与双曲线交于． (1)求双曲线的解析式． (2)当时，求点C，D的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点． (1)求直线的表达式； (2)将直线沿轴方向向上平移个单位后与反比例函数图象在第一象限内交于点，若，请求出的值． 【变式3】已知正比例函数与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求的面积； ②直接写出不等式的解集． 题型04 反比例函数的实际应用 【典例1】光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【变式1】“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体重量的简易衡器、由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成，人们可以用秤砣到秤纽的水平距离来得出秤盘中物体的重量．小华仿照古人制作秤的方法制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长1米的质地均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，根据杠杆原理，当物体保持不动时，弹簧秤的示数（单位：）是（弹簧秤与中点的距离）（单位：）的反比例函数，当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【变式2】小明用定值电阻探究电压不变时电路中的电流强度I（单位：A）和电阻R（单位：）的数量关系．通过滑动电阻保持电阻R两端电压恒定，把不同阻值的电阻R接入电路，观察电流表中的数据，得到如表的数据： 20 30 40 50 60 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 (1)请写出适当的函数表达式表示变量I与变量R的数量关系． (2)当电阻的阻值为时，电路中的电流强度为，若要使得该电路中的电流强度增大为原来的3倍，接入电路的电阻阻值应该怎样变化？请说明理由． 【变式3】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境，受桔槔的启发，某数学兴趣小组组装了以下装置，通过实验收集了大量数据，对数据的整理和分析，发现的长度和重物的质量之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： … 10 16 20 25 40 50 … … 8 5 4 3.2 2 1.6 … (1)在图1中描出表中数据对应的点； (2)根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似的反映重物的质量为和的长度为的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请求出所有满足条件的点的坐标． 题型05 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例1】某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段为渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： (1)第10分钟时消毒效果为________效力； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【变式1】为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题： (1)求药物燃烧时y与x的函数关系式； (2)求药物燃烧后y与x的函数关系式； (3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？ 【变式2】如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． (1)将水从加热到需要 ； (2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (3)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【变式3】某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求全天的温度与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害，问：这天内恒温系统最多可以关闭多少小时，才能避免水果生长受到影响？ 1．函数与的图象交于点，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 2．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．一篇文章，佳豪输入完成时间y（分）与每分钟输入字数x之间的关系如图所示，佳豪原来30分钟输入完成，改变输入方法后，佳豪每分钟输入100个字，则改变输入方法后（   ） A．提前了5分钟 B．提前了10分钟 C．提前了15分钟 D．落后了5分钟 4．如图，一次函数与反比例函数的图象的一个交点为，与轴交于点，为轴上的一点，且，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 5．如图，在常温常压时用电热水壶加热一壶水，水的温度与时间x（分钟）近似满足一次函数关系，当水温达到时停止加热，将茶叶放入热水壶，在一定时间内，茶水的温度与时间x（分钟）近似满足反比例函数关系，已知该种茶水在时适宜饮用，在时饮用口感最佳．若按照上述程序冲泡一壶该种茶水，并从开始加热时计时，下列说法正确的是（   ） A．加热4分钟时水温上升了 B．加热5分钟时水沸腾 C．若在口感最佳时饮用，需要等待的时间是21分钟 D．该种茶水适宜饮用的时间范围是第12分钟~第20分钟 6．已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压 ． 7．如图，一次函数与反比例函数在第一象限内交于点，则当时，的解集为 ． 8．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 9．如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为 ． 10．如图，直线与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点，与轴交于点．若点在轴上，且，则 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，. (1)求的值和一次函数的表达式. (2)根据图象，当时，直接写出不等式的解集. 12．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到时，再次开始制冷，按照以上方式循环工作.通过研究发现，当时，温度是时间的一次函数；当时，温度是时间的反比. (1)求当时的反比例函数关系式，并求出的值； (2)若规定温度不高于的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？ 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． (1)与的数量关系为________； (2)若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 14．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数随时间（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)当时，求注意力指标数随时间（分）的函数解析式： (2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 15．数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为． (1)小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格： 0 1 2 3 4 5 6 7 ．．． 2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．． ①表格中的___________； ②请在图3中画出对应的函数图象； (2)该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”） (3)若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$