专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型（高效培优专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型 目录 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 9 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 15 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 20 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为 ． 反比例函数中求三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 2．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 3．如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为 ． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 5．如图，反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．设点在上，过点作轴，垂足为，交于点，则的面积为 ． 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    反比例函数中求等腰三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    2．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 3．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 反比例函数中求平行四边形的面积 【变式训练】 1．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    2．如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    4．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 反比例函数中求矩形的面积 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 2．如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 4．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 反比例函数中求阴影部分的面积 【变式训练】 1．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 2．如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ． 3．在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过、、、、、，分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为，则 ． 4．如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 5．如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 反比例函数中k的几何意义的五种模型 目录 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 1 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 5 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 9 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 15 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 20 题型一：反比例函数中利用k值求三角形的面积 例题：如图，是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可知，的面积．本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于，该知识点是中考的重要考点． 【详解】解：∵是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为， ∴面积， 故答案为：． 反比例函数中求三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 2．反比例函数与在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A，B两点，连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是注意、两点的纵坐标相等．由于轴，可知、两点的纵坐标相等，于是可设点坐标是，点坐标是，于是可得、的值，进而可求，据图可知的高是，再利用面积公式可求其面积． 【详解】解：由于轴，设点坐标是，点坐标是，即纵坐标相同， 那么， 即， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到，再得结果即可． 【详解】解：如图， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，连接，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义：在反比例函数的图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．由于正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，则点与点关于原点对称，所以，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，所以的面积为1． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点， 点与点关于原点对称， ， 轴于点， 的面积． 故答案为：1． 5．如图，反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．设点在上，过点作轴，垂足为，交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：已知比例系数求特殊图形的面积，根据的几何意义，得出，再结合的面积为，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数和在第一象限内的图象分别是和．设点在上，过点作轴，垂足为，交于点， ∴， 则的面积为， 故答案为：3 题型二：反比例函数中利用k值求等腰三角形的面积 例题：如图，反比例函数的图象经过正的顶点P，则的面积为 ．    【答案】 【分析】过点作，设，则，，由为正三角形可得，，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图：    设，则，， ∵为正三角形，， ∴， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的有关性质． 反比例函数中求等腰三角形的面积 【变式训练】 1．如图，点A在反比例函数第二象限内的图象上，点B在x轴的负半轴上，若，则的面积为 ．    【答案】4 【分析】过A作于H，依据可得的面积为2，根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，过A作于H，    ∵点A在反比例函数第二象限内的图象上， ∵的面积为， ∵， ∴的面积为． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数k的几何意义：反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 2．如图，若反比例函数的图象上有一点B与原点和坐标轴上点A围成一个等腰三角形，则的面积是 ． 【答案】3 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和等腰三角形的性质．作于点，由在反比例函数的图象上，根据反比例函数系数的几何意义得，再根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：如图，作于点， 在反比例函数的图象上， ， ，， ． 故答案为：3． 3．如图，一组等腰三角形的底边均在轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若，，，…，的面积分别为，，，…，，则的值 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标规律、等腰三角形的性质等知识，通过计算得到规律是解题的关键．分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，，设，则，，，，，分别求出，，，…，总结得出，最后将代入即可解题． 【详解】解：分别过点，，，，作x轴的垂线，垂足分别为，，，，． 设，则，，，，， ， ， ， ， …，依次类推， ， ∴． 故答案为：． 题型三：反比例函数中利用k值求平行四边形的面积 例题：如题图，点D在反比例函数的图象上，轴于点A，点B在x轴上，则平行四边形的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质等知识；由反比例函数比例系数的几何意义，可求得的面积为1，再由平行四边形的性质得平行四边形的面积为，由此即可求解． 【详解】解：∵点D在反比例函数的图象上，轴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：2． 反比例函数中求平行四边形的面积 【变式训练】 1．如图，平面直角坐标系中，的边在x轴的正半轴，B、C在第一象限内，反比例函数的图象经过点C和边的中点D，点D到x轴的距离为2，则平行四边形的面积为 ．    【答案】36 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 ，且保持不变．也考查了平行四边形的性质． 延长交y轴于E，利用反比例函数向上k的几何意义得出，利用平行四边形的性质得，，，，由点D是边的中点，点D到x轴的距离为2可知B点的纵坐标为4，即，利用三角形面积公式求得，解直角三角形求得，由反比例函数的图象经过点经过边的中点D，求得，进而求得，然后利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】解：延长交y轴于E，作轴于F，如图， 四边形为平行四边形， ，，，， 轴， ， 点D是边的中点，点D到x轴的距离为2， 点的纵坐标为4， ， ∵， ， ， ， ， ∴，即， ， ∵反比例函数的图象边的中点D， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：36．    2．如图，已知，边在轴上，点在轴上，连接交反比例函数的图象于点，若，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，作轴，轴，证明，可得，利用的几何意义求出的面积，再求出的面积，从而求出矩形及平行四边形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】 解：作轴，轴，则，      ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 【详解】解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 4．如图，四边形是平行四边形，点A、B分别在反比例函数和的图象上，点C、D都在x轴上，则的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．过点A作轴于E，过点B作轴于F，设与y轴交于G，，，再根据平行四边形与矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于E，过点B作轴于F，记与轴的交点为，    ∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∵轴，轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点A、B分别在反比例函数和的图像上， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：10． 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，反比例函数和的图象分别过顶点，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】题考查平行四边形的性质、反比例函数系数的几何意义，过点作轴于点，过点作轴于点，得出四边形是矩形，则利用反比例函数的比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ 四边形为平行四边形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ． 故答案为：． 题型四：反比例函数中利用k值求矩形的面积 例题：如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出四边形和四边形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出四边形的面积，四边形的面积，即可求解四边形的面积，即可求解k． 【详解】解：过延长交轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，过两点分别作x轴的垂线交x轴于点D，C， 四边形的面积为4，四边形的面积是12， 四边形的面积为：， 故答案为：8． 反比例函数中求矩形的面积 【变式训练】 1．如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数的图象上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的几何意义，直接求出即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，理解反比例函数的几何意义并熟练运用是解题关键． 2．如图，若点与点是反比例函数的图象上的两点，过点作轴于点，轴于点，过点作轴于点，轴于点，设矩形的面积为，矩形的面积为，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义可求出与的值． 【详解】∵点A与点B是反比例函数的图象上的两点， 过点A作轴于点M，轴于点N，过点B作轴于点G，轴于点H， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握数形结合的思想是解决本题的关键． 3．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于两点，以为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，若，则k的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据图形面积求比例系数（解析式）、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】本题考查了反比例函数．熟练掌握反比例函数的图象和性质，矩形的面积公式，是解题的关键． 设，则，根据，推得，即可求得． 【详解】设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2． 4．如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形的面积是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数系数K的几何意义是解题的关键． 设，在中，令得，进而得出，，，根据矩形ABCD的面积是得到，即可得到答案． 【详解】解：设，在中，令得， 令得， ，， ∵矩形， ∴，， ， 设矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别为，，，，如图， ∴，，， ， ， ，． 故答案为：2或． 题型五：反比例函数中利用k值求阴影部分的面积 例题：如图，两点在双曲线上，分别过两点向坐标轴作垂线．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，则，可求出． 【详解】解：如图，设阴影部分的面积分别为，， 根据题意得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：4． 反比例函数中求阴影部分的面积 【变式训练】 1．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 由题意得，，然后由即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 2．如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键． 由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 3．在反比例函数的图象上，有一系列点、、、、、，若的横坐标为2，以后每个点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，过、、、、、，分别作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分面积从左到右依次记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，坐标规律探索，由已知条件横坐标成等差数列，再根据点、、、、、在反比例函数上，求出各点坐标，即可求出，，，进而求出，即可作答． 【详解】解：∵点、、、、、都在反比例函数的图象上，且的横坐标为2， 则， ∴， ∵以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为， ∴， ∴、 则 ∴， 依次类推得， ∴， ， ， …… ∴ ． 故答案为：． 4．如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值几何意义是关键． 根据题意阴影矩形的一边长都为1，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：∵等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2025，     ∴阴影矩形的一边长都为1，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点B， 将面积为的矩形向左平移到下方，则有： ， 当时，，即， ， 根据反比例函数k值的几何意义得：， ． 故答案为：． 5．如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S．    (1)点B的坐标是______，k=______； (2)当，求点P的坐标； (3)求出S关于m的函数关系式． 【答案】(1)，9 (2)点的坐标（，6）或（6，） (3) 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式．   【详解】（1）∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． （2）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴，   又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． （3）   分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴，   又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$