专题01 特殊的因式分解法的五种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 特殊的因式分解法的五种模型 目录 题型一：利用整体法提公因式因式分解 1 题型二：因式分解要彻底分解 3 题型三：十字相乘法因式分解 6 题型四：分组分解法因式分解 12 题型五：因式分解的应用 19 题型一：利用整体法提公因式因式分解 例题：因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式训练】 1．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键． 根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： ． 2．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接利用提公因式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．分解因式： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：． 故答案为：． 4．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．先用提公因式法分解，再用平方差公式分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．根据平方差公式因式分解，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型二：因式分解要彻底分解 例题：因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 2．因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查因式分解的方法， （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式； （2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解：816 ． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底． （1）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 4．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解． （1）提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 5．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握因式分解的运算方法是解题的关键． （1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先化简式子，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1） 解：原式 （2） 解：原式 6．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先整体提取公因式，再利用平方差公式因式分解； （2）先利用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 题型三：十字相乘法因式分解 例题：阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】十字相乘法 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 【变式训练】 1．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （2）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （3）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （4）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； 弄清阅读材料中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 2．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数 （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”． ①；②；③；④ （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式． 二次项系数_________________． 常数项____________． 发现“交叉相乘之和”的结果______________________________等于一次项系数______，则______． 【答案】见解析 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题．根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】解：二次项系数． 常数项 发现“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 则． 3．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）根据结合题意分解因式即可； （2）把分解成两个整数的乘积形式，再根据题意可得的结果等于分解成的两个整数的和，据此建立方程求解即可； （3）把看做一个整体，再仿照题意因式分解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴或或或， 解得（舍去）或或或（舍去）； （3） ． 4．阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式； （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可； （3）把看整体，再利用十字乘法分解因式即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 5．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． （1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型四：分组分解法因式分解 例题：（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） （3）已知：，．求：的值． 【答案】（1）；（2）；（3）55． 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】此题考查了因式分解所涉及的相关知识：完全平方公式，平方差公式，提取公因式法因式分解和分组结合等，也考查了学生对题文的理解能力． （1）把分组为，再提取公因式分解即可； （2）把分组为，再利用完全平方公式和平方差公式分解； （3）把分组为，再因式分解，整体代入求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； 当，时， 原式． 【变式训练】 1．先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． (1)因式分解：_______． (2)因式分解：． (3)请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了换元法因式分解和公式法因式分解，理解整体思想的运用是解答的关键． （1）设，则，进而利用平方差公式即可得到答案； （2）由．令，可得原式，将还原即可求解； （3）令，则可得原式，将还原，则原式，进而可得结论． 【详解】（1）解：设， 则 ， 将M还原，则原式； （2）解： ． 令，则原式， 将还原，则原式； （3）解：令， 则原式 ， 将还原，则原式， 所以无论取何值，的值一定是非负数． 2．通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的知识点是因式分解，解题关键是熟练掌握因式分解． （1）根据题目中分组分解法进行分解即可； （2）先根据分组分解法进行分解，再将式子的值代入； （3）结合公式法和分组分解法进行因式分解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， 又，， 原式． （3）解： ． 3．义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查了因式分解，看懂题例，学会拆项法及添项法是解决本题的关键． （1）把拆成、，然后分组分解； （2）把拆成、，然后三二分组分解； （3）把、、分别拆成、、，再两两分组分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． ∵，， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形． 5．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【答案】(1)； (2)①；②当，时，代数式有最小的值，最小的值是 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分组分解法 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 题型五：因式分解的应用 例题：我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 【变式训练】 1．已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 2．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳， 故选：D． 3．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ，， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形 周长为． 故答案为：． 4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1)； (2)是等腰三角形． 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 5．阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 【答案】(1)1，，； (2)，过程见解析． 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和因式分解，理解阅读材料的方法，借助多项式乘法进行因式分解是解题的关键． （1）根据题意，当时，，设，求出m、n的值，进而即可求出答案； （2）根据题意，当时，，设， 求出m、n的值，进而即可求出答案． 【详解】（1）解：当时，， 设， 解得， ∴因式分解， 故答案为1，，； （2）当时，， 设， 解得， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 特殊的因式分解法的五种模型 目录 题型一：利用整体法提公因式因式分解 1 题型二：因式分解要彻底分解 3 题型三：十字相乘法因式分解 6 题型四：分组分解法因式分解 12 题型五：因式分解的应用 19 题型一：利用整体法提公因式因式分解 例题：因式分解： ． 【变式训练】 1．因式分解： ． 2．因式分解： ． 3．分解因式： ． 4．因式分解： ． 5．因式分解： ． 题型二：因式分解要彻底分解 例题：因式分解：． 【变式训练】 1．因式分解：． 2．因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 3．因式分解： (1)； (2)． 4．因式分解： (1)； (2)． 5．分解因式： (1) (2) 6．分解因式： (1) (2) 题型三：十字相乘法因式分解 例题：阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练】 1．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数 （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”． ①；②；③；④ （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，即，则．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”． 仿照以上方法分解因式． 二次项系数_________________． 常数项____________． 发现“交叉相乘之和”的结果______________________________等于一次项系数______，则______． 3．【材料阅读】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： （1）； （2）； （3）． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法方向相反的变形，故有，即可将形如的多项式因式分解成(（p，q为整数）． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，求整数m的所有可能值； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 4．阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 5．提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 题型四：分组分解法因式分解 例题：（阅读学习） 课堂上，老师带领同学们学习了“提公因式法、公式法”两种因式分解的方法．分解因式的方法还有许多，如分组分解法．它的定义是：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫分组分解法．使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性．能预见到下一步能继续分解．例如： （1）； （2）． （学以致用） 请仿照上面的做法，将下列各式分解因式： （1）； （2）． （拓展应用） （3）已知：，．求：的值． 【变式训练】 1．先阅读材料，再回答问题． 将多项式分解因式． 解：因为，将看成整体，令，则原式，将还原，则原式．上述解题过程用到的是“整体思想”． 请用“整体思想”解决以下问题． (1)因式分解：_______． (2)因式分解：． (3)请说明为什么无论取何值，的值一定是非负数． 2．通过学习；我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时；某些多项式只用上述一种方法无法进行因式分解．下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程． 甲： （先分成两组） ． 乙： （先分成两组） ． 两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解． (1)分解因式：； (2)若，，求式子的值； (3)尝试运用上述思路分解因式：． 3．义务教育数学课程标准（年版）关于运算能力的解释为：运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力．因此，我们面对没有学过的数学题时，方法可以创新，但在创新中要遵循法则和运算律，才能正确解答，下面介绍一种分解因式的新方法拆项补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于已学过的方法进行分解． 例题：用拆项补项法分解因式． 解：添加两项． 原式 请你结合自己的思考和理解完成下列各题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)分解因式：． 4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 5．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 题型五：因式分解的应用 例题：我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 3．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 4．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 5．阅读下列材料： 对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中有另一个因式，于是我们可以得到：． 又如：对于多项式，发现当时，的值为0，则多项式有一个因式，我们可以设，解得． 于是我们可以得到： 请你根据以上材料，解答以下问题： (1)当______时，多项式的值为0，所以多项式有因式______，从而因式分解______； (2)以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$