专题1.1 多项式的因式分解与提公式法（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题1.1 多项式的因式分解与提公式法 教学目标 1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系； 2.能判断是否为因式分解； 3.会用提公因式法分解因式。 教学重难点 1.重点：判定是否为因式分解与提公因式法因式分解； 2.难点：会用提公因式法分解因式。 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了 的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【即学即练1】 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右是分解因式的是（ ） A． B． C． D． 知识点02 公因式 公因式：一个多项式的 。 最大公因式：系数应取 ，字母取各项都含有的 且各个相同字母的 。 【即学即练2】 1．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 2．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 知识点03 提公因式法因式分解 提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 【即学即练3】 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 2．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 判断是否因式分解 【典例1】下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 已知因式分解的结果求参数 【典例1】若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【变式3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 题型03 已知因式分解中错题正解 【典例1】甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ． 【变式1】在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 题型04 公因式 【典例1】把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】多项式的公因式是 ． 【变式2】多项式分解因式时应提取的公因式是 ． 【变式3】多项式的公因式是 ． 题型05 提公因式法因式分解 【典例1】因式分解：． 【变式1】因式分解： ． 【变式2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 题型06 利用提公因式法因式分解求值 【典例1】先分解因式，再代入求值：，其中，． 【变式1】已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【变式2】如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【变式3】已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 1．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 4．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 5．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 6．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 7．因式分解： ． 8．多项式各项的公因式是 ． 9．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 10．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 11．关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为 ． 12．已知，则代数式 ． 13．把下列各式分解因式： (1)    ； (2)； (3)； (4)    ． 14．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．若n为正整数，试说明一定能被3整除． 16．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 17．已知，． (1)求的值： (2)求的值： 18．综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．综合实践课上田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 数学思考：（1）“”处的值为； 方法应用：（2）已知多项式有一个因式是，求的值； 深入探究：（3）若多项式有因式和，求，的值． 19．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得：， 另一个因式为的值为−21， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为_____，的值为_____； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是是正整数，求另一个因式以及的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 多项式的因式分解与提公式法 教学目标 1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系； 2.能判断是否为因式分解； 3.会用提公因式法分解因式。 教学重难点 1.重点：判定是否为因式分解与提公因式法因式分解； 2.难点：会用提公因式法分解因式。 知识点01 因式分解的概念 因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 【即学即练1】 1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据“把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解”进行求解即可． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意； D、，属于因式分解，故符合题意； 故选D． 2．下列各式从左到右是分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了分解因式的应用，根据分解因式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握分解因式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、等号的右边不是几个整式的积的形式，故不符合题意； B、从左到右是整式乘法，不是分解因式，故不符合题意； C、，分解错误，故不符合题意； D、，等号的右边是几个整式的积的形式，故符合题意； 故选：D． 知识点02 公因式 公因式：一个多项式的各项含有的因式 最大公因式：系数应取各项系数的最大公因数，字母取各项都含有的相同字母且各个相同字母的指数取最低次幂。 【即学即练2】 1．将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 2．用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 知识点03 提公因式法因式分解 提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 【即学即练3】 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）利用提取公因式法直接分解因式即可； （2）利用提取公因式法直接分解因式即可； （3）利用提取公因式法直接分解因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 2．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键； （1）直接利用提公因式分解因式即可； （2）直接利用提公因式分解因式即可； （3）直接利用提公因式分解因式即可； （4）直接利用提公因式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 题型01 判断是否因式分解 【典例1】下列各式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法、判断是否是因式分解、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据因式分解的方法逐项判断即可． 【详解】解：A、，是整式乘法，不符合题意； B、，不是积的形式，不符合题意； C、，故原式分解错误，不符合题意； D、，分解正确，符合题意； 故选：D． 【变式1】下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得． 【详解】解：A． ，是因式分解，选项说法正确，符合题意；     B． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； C． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意；     D． ，右边不是整式的积的形式，不是因式分解，选项说法错误，不符合题意； 故选：A ． 【变式2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解且正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的识别．熟练掌握因式分解的定义和方法，是解题的关键．根据因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式积的形式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，选项正确，符合题意； B、，是整式的乘法，不符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、，等式右边不是整式积的形式，不符合题意； 故选：A． 【变式3】下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可． 【详解】解：①是整式乘法； ②结果是和的形式，不是因式分解； ③是整式乘法； ④是因式分解； ⑤是因式分解； ⑥中含有不是整式的式子，不是因式分解； 故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义， 故选：B． 题型02 已知因式分解的结果求参数 【典例1】若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 【变式1】把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 【变式3】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 题型03 已知因式分解中错题正解 【典例1】甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，则正确的分解结果为 ． 【答案】 【分析】根据题意分别运算和，确定、的值，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵甲看错了，分解结果为， ∴由，可知 ， 又∵乙看错了，分解结果为， ∴由，可知， ∴， ∵， ∴正确的分解结果为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出、的值． 【变式1】在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 【答案】， 【分析】根据题意甲看错了b，分解结果为，可得a系数是正确的，乙看错了a，分解结果为，b系数是正确的，在利用因式分解是等式变形，可计算的参数a、b的值． 【详解】解：∵，小明看错了b， ∴， ∵，小张看错了a， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查因式分解的系数计算，解题的关键在于弄清哪个系数是正确的． 题型04 公因式 【典例1】把多项式分解因式，应提的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查提公因式法分解因式，熟知公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．据此求解即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：B． 【变式1】多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】多项式， 各项系数的最大公约数为， 各项都含有，的最低指数为， 该多项式的公因式为． 故答案为：． 【变式2】多项式分解因式时应提取的公因式是 ． 【答案】/ 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式，方法是：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照此方法即可找到公因式． 【详解】解：多项式的公因式为：； 故答案为：． 【变式3】多项式的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 题型05 提公因式法因式分解 【典例1】因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解．利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：． 【变式2】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式3】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键． （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）将变形为，再直接提公因式进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 题型06 利用提公因式法因式分解求值 【典例1】先分解因式，再代入求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】已知字母的值，化简求值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 【变式1】已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】由题意利用提取公因式的分解方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解的应用以及用因式分解解决求值问题，本题的关键是把所求代数式分解因式． 【变式2】如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用整体代入法求代数式的值，因式分解．根据题意得出，，然后将整式因式分解化简整体带入求解即可 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 故选：B． 【变式3】已知实数a、b满足，， (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)28 (2)96 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先将变形为，然后把已知条件代入计算即可； （2）先将变形为，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， 由（1）得， ∴ ． 1．多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案． 此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的． 【详解】多项式的公因式是． 故选：C． 2．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】A. ，左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，不符合定义． B. ，右边仍包含加法运算，未完全转化为乘积形式，不符合定义． C. ，左边为二次多项式，右边是与的乘积，符合因式分解的定义． D. ，左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法，与因式分解过程相反． 故选：C． 3．若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键．利用多项式乘多项式求得，进而可求解p值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 5．已知，，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 6．把分解因式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法方法和步骤是解题关键，注意提取符号时，各项符号得变化． 将变形为，再提公因式即可． 【详解】解： 故选：B． 7．因式分解： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了整式的因式分解，把看做一个整体，根据因式分解方法先提取公因式即可解决问题； 【详解】解：． 故答案为：． 8．多项式各项的公因式是 ． 【答案】 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式．熟练掌握公因式的定义是解题的关键．根据公因式的定义作答即可． 【详解】解：由题意知，多项式的公因式为， 故答案为：． 9．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 【答案】 积 整式乘法 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 10．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 【答案】 ①②/②① ③④/④③ 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 11．关于x的恒等式是x无论取何值等式总成立，它是解决某些问题的一种方法．若多项式可分解为．则的值为 ． 【答案】8 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解中十字相乘法．直接利用多项式乘法进而得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 则，， 解得：，， 故． 故答案为：8． 12．已知，则代数式 ． 【答案】2023 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是整体代入求值．由，得到，再将原式变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：因为， 所以， ． 故答案为：2023． 13．把下列各式分解因式： (1)    ； (2)； (3)； (4)    ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式． （1）利用提公因式法解答，即可求解； （2）利用提公因式法解答，即可求解； （3）利用提公因式法解答，即可求解； （4）利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 14．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底． （1）原式变形为，提取公因式分解即可； （2）原式提取公因式分解即可； （3）原式变形为，再提公因式分解即可． （4）原式提取公因式分解，整理后再提取公因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 15．若n为正整数，试说明一定能被3整除． 【答案】见解析 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题考查因式分解的运用，首先利用提取公因式法进行因式分解，根据数据特点，进一步证得结论即可． 【详解】解：原式 ， ∴一定能被3整除． 16．完成下面各题： (1)若二次三项式可分解为，求a的值． (2)若二次三项式可分解为，求b、c的值． 【答案】(1) (2)， 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，二者是一个式子的不同表现形式． （1）将展开，对比二次三项式的系数列方程求解即可； （2）将展开，对比二次三项式的系数列方程组求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 解得． 17．已知，． (1)求的值： (2)求的值： 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键． （1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得； （2）利用完全平方公式进行变形求值即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 18．综合与实践：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．综合实践课上田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设（为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 数学思考：（1）“”处的值为； 方法应用：（2）已知多项式有一个因式是，求的值； 深入探究：（3）若多项式有因式和，求，的值． 【答案】（1）4；（2）；（3）， 【知识点】加减消元法、因式分解的应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值及解二元一次方程组，做题的关键设出各个因式后转化为解方程即可． （1）直接解方程可得m的值； （2）直接把代入求解b的值即可； （3）把和代入求解方程组即可． 【详解】解：（1）依题意，由， 解得：， 故答案为：4； （2）由题意，设为整式）， 令，即，代入式子， 得， 解得； （3）依题意，设， 由于上式是恒等式，为方便计算， 取，得， 即， 取，得， 即， 解方程组， 解得， ，． 19．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 【答案】（1）；变式题：；（2） 【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式． （1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题； 变式题：根据将代入求解，即可解题； （2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题． 【详解】解：（1）． 把，代入上式， 原式． 变式题：，， ，即， 故答案为：． （2）原式． 把，代入上式， 原式． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，解得：， 另一个因式为的值为−21， 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为_____，的值为_____； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)，20 (2)另一个因式是的值为15 (3)另一个因式是， 【知识点】代入消元法、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干，设另一个因式为，再列方程组，解出，即可作答． （2）模仿题干，设另一个因式为，再列方程组，解出，即可作答． （3）模仿题干，设另一个因式为，再列方程组，解出，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次三项式有一个因式是， ∴设另一个因式为， 依题意，得， 则， 解得， ∴另一个因式为的值为20； 故答案为：，20； （2）解：二次三项式有一个因式是， 设另一个因式是， 则， 则， 解得， 另一个因式是的值为15． （3）解：依题意，二次三项式有一个因式是是正整数， ∴设另一个因式是， 则， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 故另一个因式是，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$