专题21 线段的比较与运算（5知识点+7大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

专题21 线段的比较与运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点02 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点03 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点04 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点05 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【题型1 作线段（尺规作图）】 例题：（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，接着以点C为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于D．最后以D为圆心，线段a的长为半径画弧交线段于B，则线段即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求； 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段，先作射线，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，即可得出答案． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是线段上的一点． (1)尺规作图：作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，画射线，线段的和差运算； （1）作射线，在上截取即可； （2）先求解，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：作图：作射线，在上截取， 如图所示，D即为所求（或线段为所求作）． （2）解： 3．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，已知平面上有三点A，B，C，按要求依次画图，并保留作图痕迹． (1)画直线，线段，射线． (2)在线段上找一点D，使得． (3)取中点E，连接，在线段上画出点P，使得最小，并写出理论依据． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析，两点之间线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算、两点之间线段最短 【分析】本题考查画直线，射线，线段，线段的中点，线段的性质： （1）根据要求画图即可； （2）在上截取即可； （3）根据中点的定义，得到点，连接，，根据两点之间线段最短，得到两条线段的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线，线段，射线即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，线段，点即为所求； 理论依据为：两点之间线段最短． 【题型2 两点之间线段最短】 例题：（24-25七年级下·河南郑州·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短的性质，正确将数学定理应用于实际生活是解题关键． 此题为数学知识的应用，由题意将弯曲的道路改直以缩短路程，就用到两点间线段最短的性质． 【详解】解：在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，依据是：两点之间线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在一个广场上的点和点两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了公理“两点之间，线段最短”，熟知公理是解题关键．根据两点之间，线段最短即可求解． 【详解】解：最短路线是②，其数学理由是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 2．（2025·吉林四平·一模）如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ． 【答案】两点之间线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解答本题的关键． 根据线段的性质，可得答案． 【详解】解：大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约，其中的数学道理是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）如图，从晋中市民之家去往晋中市生态环境局，与其它道路相比，走辽阳路路程最近，其蕴含的数学道理是 ． 【答案】两点之间，线段最短 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查了线段的性质，由线段的性质：两点之间线段最短，即可得到答案． 【详解】解：其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短． 【题型3 线段的和与差】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【知识点】线段的和与差、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作线段，线段的和与差，找准线段之间的和差关系，是解题的关键： （1）以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点即可； （2）根据比例关系求出的长，进而得到的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点是线段延长线上的一点，且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】线段的和与差、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了线段和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设为，则为，为，由，求出，则，然后由即可求解； （）设为，则为，为，先求出，则，同（）理求出，则，最后由线段和差即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设为，则为，为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据题意，设为，则为，为， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即长为． 2．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，，，三点在同一直线上． (1)用尺规作图在的延长线上画出线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】作线段(尺规作图)、线段的和与差 【分析】本题考查作图-复杂作图，两点间距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可； （2）由题意，根据，构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，C为线段上一点，点为的中点，且，．      (1)求的长． (2)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1)4cm (2)8cm或20cm 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系计算即可得到答案； （2）本小问要注意分类讨论，再根据线段的和差计算结果即可； 【详解】（1）解：∵ ∴   ∵点B为的中点， ∴． （2）解：由（1）可知 分一下两种情况讨论： 当点E在线段上时，， 当点E在线段的延长线上时，． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查了两点间的距离公式，解题的关键是正确识别图形，理解线段和线段之间的和差倍分的关系． 【题型4 线段中点的有关计算】 例题：（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 【答案】(1)6 (2)6 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段定义，两点间的距离，掌握线段定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据线段定义解答即可； （2）根据已知，由，根据点O是线段的中点，即可求出的长，再根据进行计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：观察图形可知，线段有：，共6条． 故答案为：6； （2）解：∵， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南信阳·期末）已知点在线段上，点在线段上， (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，，为线段的中点，，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的距离公式计算方法． （1）根据题意得出，再根据线段的中点可得出，最后根据线段的和差即可得出． （2）设，根据题意可得出，，进一步得出，再根据线段的中点可得出，再根据得出x的值，进一步即可得出． 【详解】（1）解：解：如图1所示： ，， 又为线段的中点 （2）解：如图2所示： 设 ， ，， 又， ， 又， ， 为线段的中点 又， 又 ， 解得：， ． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6，②； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差、两点确定一条直线 【分析】本题考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算． （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段， 故答案为：6； ②由题意得，， 故答案为：；； （2） D线段的中点，， ， ， ， ． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，是线段上的一点，． (1)若，求的长． (2)若，分别为线段，的中点，求的长． (3)在（1）的条件下，是直线上的一点，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差关系，熟练掌握线段和差的计算方法和分类讨论解题的关键． （1）根据，，可推出结果； （2）根据线段中点的定义可推出结果； （3）分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别求解． 【详解】（1）解： ，， ； （2）解：，分别为线段，的中点，如图， ，， ； （3）解：分两种情况讨论：①如图，当点在线段上时． ，， ， ， ； ②如图，当点在线段的延长线上时， ，， ， ． 综上所述，的值为或． 【题型5 线段n等分点的有关计算】 例题：（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由，可得，，然后根据求解即可； （2）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 2.（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 3．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【答案】(1)； (2)；；． 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 首先根据、分别是、的中点，可得、，从而可得； 由，分别是，的中点，可得，根据可得； 根据、，可知、，所以可得，故从而可得:； 由，，知，，即得，从而可得： 【详解】（1）解：因为，， ， 点、分别是、的中点， ，， ； 故答案为：； （2）因为、分别是、的中点， ，， ， ， ； 故答案为：； ，， ，， ， ， ； ，， ，， ， ， ， 故答案为：． 【题型6 与线段有关的动点问题】 例题：（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与线段有关的动点问题、线段的和与差 【分析】本题考查了线段上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）根据题意得出，，推得，根据，，即可求出的长，即可求解； （2）由（1）可得，根据，，求出，，即可得出点为的中点； （3）由（1）可得，即，根据题意可得，推得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设且运动时间为， ∴，， 故， 即， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则． 故答案为：． （2）解：由（1）可得， 当时，， 即， 若， 则， 可得出， 则， 即， 故点为的中点． （3）解：由（1）可得， 即， 若点，运动到任一时刻，总有， 即， 整理得， ∴， 故的长为． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 【答案】(1)， (2)①6.5；②或． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点以及倍数相关的计算．掌握线段和差的计算，利用数形结合思想是解题的关键． （1）观察图形可知，，由已知，可得出，即可求出的长，进而得出的长； （2）①根据题意，画出图形，同（1）方法求出，，，根据点E是的中点，可得出，由，再根据计算即可得出结果； ②根据题意，分两种情况，画出图形，（i）当点F在点C左侧时，（ii）当点F在点C的右侧时，利用线段的和差倍分计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，已知点C在上，． ∵，，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：①如图所示． ∵，， ∴， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②分两种情况： （i）如图1所示，当点F在点C右侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （ii）如图2所示，当点F在点C左侧时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【知识点】线段的和与差、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）根据题意算出，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【知识点】整式加减的应用、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 一、单选题 1．（2025·河南驻马店·二模）如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题考查线段的性质，两点之间线段最短，由此可解． 【详解】解：修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短， 故选B． 2．（24-25七年级下·山东威海·期中）平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 【答案】C 【知识点】画出直线、射线、线段、线段的和与差 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据A，B，C之间的距离画出图形，即可确定位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，点在线段的延长线上， 故选：C． 3．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，点在线段上，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的和差，线段的中点的含义，根据线段的和差关系可判断A，D，根据线段的中点的含义可判定B，C. 【详解】解：由题意可得：，， ∴A不符合题意，D符合题意； ∵不一定是的中点， ∴，不一定正确， 故B，C不符合题意； 故选：D 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点D是的中点，点B是的三等分点，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】A 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段和与差计算、有关线段中点的计算等知识，理解题意，弄清各线段之间的关系是解题关键．由点B是的三等分点求出，由点D是的中点求出，进而可求出的长． 【详解】解：∵点B是的三等分点，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴． 故选A． 5．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出红光， ∵图中共有线段、、、、、， ∵四点之中相邻两点之间的距离相等 ∵和中点是同一个， ∴光点P发出红光的次数为5． 故选：C． 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 【答案】6 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的定义，解题的关键是按照顺序，做到不重不漏． 根据线段有两个端点，写出所有的线段即可得到数量． 【详解】解：如图， 则图中线段有：线段、线段、线段、线段、线段、线段共6条． 故答案为：6． 8．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 【答案】7 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，线段的和差，正确理解题意、正确理解线段中点的性质是解题的关键． 首先求出，然后根据线段中点的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， ∵点O是线段的中点， ∴． 故答案为：7． 9．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，找准线段之间的数量关系，和差关系，是解题的关键． 根据，M为线段的中点，找准线段之间的数量关系，化简即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故． 故答案为：2． 10．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】①③④ 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键． ①设，，则，，，进而得，，则，据此可对①进行判断； ②根据，可对②进行判断； ③根据，可对③进行判断； ④根据，可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①设，， 为的中点， ， ，， 为的中点，为的中点， ，， ， ， 故①正确； ②， 又， ， 故②不正确； ③， 又， ， 故③正确； ④， 又， ， 故④正确， 综上所述：正确的是①③④． 故答案为：①③④． 11．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点A右侧，据此讨论求解即可． 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 【答案】 32 4 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算： （1）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段中点的定义结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）∵的中点是，的中点是， ∴，． ∵， ∴． 故答案为：32； （2）同理可得，，． 故答案为：4． 三、解答题 13．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）补全解题过程： 已知：如图，点在线段上，且，点和点分别是线段、的中点，，求线段的长． 解：点是线段的中点，， 　　　　． ， ． 　　　　． 点是线段的中点， 　　． 【答案】，3，，8，16 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差，线段中点的定义计算．解题的关键是掌握线段的和差，线段中点的定义． 【详解】解：点是线段的中点，， ， ， ， ， 点是线段的中点， ． 故答案为：，3，，8，16． 14．（23-24七年级上·广西河池·期末）如图，点B是线段上一点，且． (1)图中共有 条线段； (2)试求出线段的长； (3)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1)6 (2)26 (3)7 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的识别与计算，解题关键是准确识图，明确线段之间的和差关系，正确进行计算； （1）数出所有线段即可； （2）根据求解即可， （3）先求出，再根据线段和差求解即可． 【详解】（1）解：图中共有六条线段， 故答案为：6． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵点O是的中点， ∴， ∴． 15．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）四点位置如图所示，请用直尺和圆规按要求完成下列画图并回答问题． (1)连结，延长到，使； (2)分别画直线，射线； (3)在射线上找一点，使最小，画出点，此画图的依据是_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析；两点之间线段最短 【知识点】画出直线、射线、线段、两点之间线段最短、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查作直线、射线、线段、线段：两点之间线段最短、两点间的距离，掌握直线、射线、线段、线段的定义是解题的关键； （1）以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （2）根据直线、射线的定义画图即可． （3）根据两点之间线段最短，连接交射线于点，则点即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则即为所求． （2）如图，直线、射线即为所求． （3）如图，连接交射线于点，则点即为所求． 此画图的依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短． 16．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由； 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查的是线段的和差，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键． （1）由中点的性质得，，根据可得答案； （2）由中点的性质得，，根据可得答案． 【详解】（1）解：， ， 点，分别是，的中点， ，， ； （2）解：，理由如下： 、分别是、的中点， ，， ， ． 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点． (1)求数轴上点B、D、N所表示的数； (2)求线段的长． 【答案】(1)数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8 (2)3 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了数轴，非负数，解题的关键是掌握数轴知识和非负数的性质． （1）利用数轴知识和非负数的性质解答 （2）利用数轴和有理数的运算法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∵点M表示的数为， ∴， ∴点N表示的数为8，点D表示的数是6， ∴，点B表示的数是0， 答：数轴上点B、D、N所表示的数分别是0，6，8； （2）由（1）得， ∵点A，C分别是线段的中点，点M表示的数为，点B表示的数是0， ∴， ∴点C表示的数为2，点A表示的数是， ∴， 答：线段的长是3． 18．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)如图1，若，分别是，的中点，求的长度； (2)如图2，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，线段的和与差： （1）根据中点平分线段以及线段之间的和差关系，求出，即可； （2）根据线段之间的数量关系与和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【知识点】数字类规律探索、线段中点的有关计算 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，找出规律是解答本题的关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：因为， 所以， 两式相加，得， 所以； （3）解：，，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是， 故答案为：，，． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 线段的比较与运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01 尺规作图 仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图. 【说明】（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题． （2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度． （3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度． 知识点02 线段大小比较 1.比较线段大小的方法：（1）目测法；（2）度量法；（3）叠合法 2.叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：   【说明】线段的比较方法除了叠合比较法外，度量比较法也是常用的方法． 知识点03 线段的性质 两点之间的所有连线中，线段最短.简单地：两点之间线段最短.我们把两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离. 知识点04 线段的和与差 如下图：线段AB上有一点C，则AC+BC=AB；AC=AB - BC； BC=AB - AC， 在这里线段AC、BC、AB表示线段的长度，如AC+BC=AB表示AC长度与BC长度之和等于AB长度. 知识点05 线段的中点 线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图所示，点C是线段AB的中点，则AC=CB=AB，或AB=2AC=2BC． 【说明】若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【题型1 作线段（尺规作图）】 例题：（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）如图，已知线段a，b，利用尺规作图法求作线段，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是线段上的一点． (1)尺规作图：作射线，在射线上截取（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）如图，已知平面上有三点A，B，C，按要求依次画图，并保留作图痕迹． (1)画直线，线段，射线． (2)在线段上找一点D，使得． (3)取中点E，连接，在线段上画出点P，使得最小，并写出理论依据． 【题型2 两点之间线段最短】 例题：（24-25七年级下·河南郑州·期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在修建公路时，有时需将弯曲的道路改直，其依据是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在一个广场上的点和点两处，分别有一只小狗和一块骨头，小狗想走最短路程吃到骨头，我们知道最短路线是②，其数学理由是 ． 2．（2025·吉林四平·一模）如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ． 3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）如图，从晋中市民之家去往晋中市生态环境局，与其它道路相比，走辽阳路路程最近，其蕴含的数学道理是 ． 【题型3 线段的和与差】 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，B，C三点在同一直线上，点D在的延长线上，且． (1)请用圆规在图中确定D点的位置； (2)若，求的长． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·山东德州·期末）如图，点是线段延长线上的一点，且、将线段分成三部分，其中； (1)若，求的长． (2)若，求的长． 2．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，，，三点在同一直线上． (1)用尺规作图在的延长线上画出线段，使；（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 3．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，C为线段上一点，点为的中点，且，．      (1)求的长． (2)若点在直线上，且，求的长． 【题型4 线段中点的有关计算】 例题：（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，点B是线段上一点，且，．点O是线段的中点． (1)图中共有______条线段； (2)求线段的长． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·河南信阳·期末）已知点在线段上，点在线段上， (1)如图1，若，，为线段的中点，求线段的长度； (2)如图2，若，，为线段的中点，，求线段的长度． 2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，是线段上的一点，． (1)若，求的长． (2)若，分别为线段，的中点，求的长． (3)在（1）的条件下，是直线上的一点，且满足，求的值． 【题型5 线段n等分点的有关计算】 例题：（24-25七年级上·江西南昌·期末）已知线段，是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)若，，求的长； (2)在（1）的条件下，若且点在直线上，，求的长度． 【变式训练】 1.（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 2.（23-24七年级上·河南商丘·期末）如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 3．（24-25七年级上·全国·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长． (1)根据题意，小明求得______； (2)小明在求解的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，是线段上任意一点不与点，重合，小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． 如图，，分别是，的中点，则______； 如图，，分别是，的三等分点，即，，求的长； 若，分别是，的等分点，即，，则______． 【题型6 与线段有关的动点问题】 例题：（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为． (1)当时，若，的长为______； (2)当时，若，试说明点为的中点； (3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知点C在线段上，，线段在直线上移动（点D，E不与点A，B重合）． (1)若，求和的长； (2)若，，线段在线段上移动，且点D在点E的左侧． ①如图，当点E为中点时，求的长； ②点F（不与点A，B，C重合）在线段上，，，求的长． 2．（24-25七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．                图1                        图2 (1)若，当点C、D运动了，求的值； (2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 3．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 一、单选题 1．（2025·河南驻马店·二模）如图，修建曲桥与修建直的桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是（    ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．（24-25七年级下·山东威海·期中）平面上有三个点A，B，C，如果，则（   ） A．点C在线段上 B．点C在线段的延长线上 C．点C在线段的延长线上 D．不能确定 3．（24-25九年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，点在线段上，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点D是的中点，点B是的三等分点，若，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 5．（2025·河北唐山·二模）如图，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，四点之中相邻两点之间的距离相等，光点P沿着直线从点A运动到点D，当光点P到A，B，C，D四点中至少两点的距离相等时，光点P就会发出红光，则光点P发出红光的次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与的中点的距离是（） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25六年级上·上海·阶段练习）线段上有两点、（不与点、点重合），以、、、四点为端点，共有 条线段． 8．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）在直线l上顺次取A，B，C三点，使得．如果点O是线段的中点，那么线段的长度为 cm． 9．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图，点C是线段延长线上一点，点M为线段的中点，在线段上存在一点N（N在M的右侧且N不与B、C重合），使得则的值为 ． 10．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）如图，点、、在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 ．（填写正确的序号） 11．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 12．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，， （1） ； （2）连续这样操作4次，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）补全解题过程： 已知：如图，点在线段上，且，点和点分别是线段、的中点，，求线段的长． 解：点是线段的中点，， 　　　　． ， ． 　　　　． 点是线段的中点， 　　． 14．（23-24七年级上·广西河池·期末）如图，点B是线段上一点，且． (1)图中共有 条线段； (2)试求出线段的长； (3)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 15．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）四点位置如图所示，请用直尺和圆规按要求完成下列画图并回答问题． (1)连结，延长到，使； (2)分别画直线，射线； (3)在射线上找一点，使最小，画出点，此画图的依据是_______． 16．（24-25七年级下·云南昆明·开学考试）如图，点C在线段上，点M、N分别是线段的中点． (1)若，求线段的长度； (2)若，其他条件不变，请猜想线段的长度，并说明理由； 17．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，在数轴上的点M表示的数为﹣2，在点M的右侧依次描有点A，B，C，D，N五个点，其中，且m、n满足，点A，C分别是线段的中点． (1)求数轴上点B、D、N所表示的数； (2)求线段的长． 18．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知线段是线段上任意一点（不与点，重合）． (1)如图1，若，分别是，的中点，求的长度； (2)如图2，若，，求的长． 19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 20．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了次取线段中点实验：如图，该线段．第次，取的中点；第次，取的中点；第次，取的中点，第次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数 线段的长 第次 第次 第次 第次 第次 ________ ________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以． 两式相加，得． 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：________，________，随着取中点次数的不断增大，的长最终接近的值是________． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$